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数列求和是数列的重要内容之一,也是高考数学的重点考查对象笔者分析近几年高考数学试卷数列部分命题趋向,发现近年来数列部分试题越来越灵活,不再仅仅局限于考查学生对等差、等比数列求和公式的直接应用,重点转移到考查学生对公式掌握的熟练程度和综合分析问题的能力笔者认为数列求和的基本思路是:抓通项、找规律、套方法下面介绍数列求和的几种常用方法:
一、公式求和
利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法
1等差数列求和公式:n=n a1+an2=na1+n n-12d
25等比数列求和公式:n= na1, q=1a1 1-qn1-q=a1-anq1-q, q≠1
3n=∑DD nk=1DDk=12n n+1
4n=∑DD nk=1DDk2=16n n+1 2n+1
例 3(2010年北京)已知 an}为等差数列,且a3=-6,a6=0
1求 an}的通项公式;
2若等差数列 bn}满足b1=-8,b2=a1+a2+a3,求 bn}的前n项和公式
解: 1设等差数列 an}的公差d
因为a3=-6,a6=0,所以 a1+2d=-6a1+5d=0 ,解得a1=-10,d=2
所以an=-10+ n-1•2=2n-12
2设等比数列 bn}的公比为q
因为b2=a1+a2+a3=-24,b1=-8,所以-8q=-24,即q=3
3所以 bn}的前n项和公式为n=b1 1-qn1-q=4 1-3n
二、倒序求和
数列求和时,如果距首尾两端“等距离”的任意两项之和都相等,可利用倒序求和法
例 2 3设函数f x=14x+2,求=f 0+f 1n+f 2n+…+f n-1n+f 1的和
分析: 3注意到求和表达式中0+1=1n+n-1n=…=1,于是可先考查f x+f 1-x是否为定值,然后再运用之求和
解:∵f x+f 1-x=14x+2+141-x+2=14x+2+4x4+2•4x=2+4x4+2•4x=12(定值),
又∵=f 0+f 1n+f 2n+…+f n-1n+f 1, ①
∴=f 1+f n-1n+f n-2n+…+f 1n+f 0 ②
于是,由①+②得
32=f 0+f 1+f 1n+f n-1n+f 2n+f n-2n+…+f n-1n+f 1n+f 1+f 0
= n+1×12
所以=n+14
三、分组求和
先将一个数列分成几个等差、等比或常见的数列,然后分别求和,再将其合并求和其关键在于,对求和表达式重新进行归类组合
例 3(2010重庆)已知 an}是首项为19,公差为-2的等差数列,n为 an}的前n项和
1求通项an及n;
2设 bn-an}是首项为1,公比为3的等比数列,求数列 bn}的通项公式及其前n项和Tn
解: 1因为 an}是首项为19,公差为-2的等差数列
所以an=19-2 n-1=-2n+21
n=19n+n n-12• -2=-n2+20n
2由题意bn-an=3n-1,所以bn=3n-1-2n+21
3Tn= 19+17+15+…+21-2n= 1+3+32+…+3n-1=-n2+20n+3n-12
四、并项求和
如果数列的某些项合并在一起具有某种特殊的性质,那么在数列求和时,可先将这些项放在一起求和,然后再求
例 4已知数列3,-5,7,-9,…, -1n+1• 2n+1,…,求其前n项和n
分析:注意到3+ -5=7+ -9=…=-2,从而本题可利用并项转化法求和,但要特别注意对项数n的奇偶性进行讨论
解:当n为偶数时,
n=3+ -5+7+ -9+…+\ -1n• 2n-1+ -1n+1• 2n+1=-2•n2=-n
当n为奇数时,
n=3+ -5+7+ -9+…+\ -1n-1• 2n-3+ -1n• 2n-1+ -1n+1• 2n+1
=-2•n-12+ -1n+1• 2n+1=- n-1+2n+1=n+2
3综上知,所求n=1+ -1n2• -n+1- -1n2• n+2=1- -1n• n+1
五、裂项求和
遇到通项为分式形式的数列求和,往往要将通项变为差的形式,利用正负抵消的规律化简求和
常用裂项公式有:
1an=1n n+k=1k 1n-1n+k
2an=1n+k+n=1k n+k-n
例 5(2010山东)已知等差数列 an}满足:a3=7,a5+a7=26, an}的前n项和为n
1求an及n; 2令bn=1a2n-1,n∈N,求数列 bn}的前n项和Tn
解: 1设等差数列 an}的公差为d,因为a3=7,a5+a7=26,所以有 a1+2d=72a1+10d=26 ,解得a1=3,d=2,
所以an=3+2 n-1=2n+1,n=3n+n n-12×2=n2+2n
2由 1知an=2n+1,所以
bn=1a2n-1=1 2n+12-1=14•1n n+1=14• 1n-1n+1
所以Tn=14• 1-12+12-13+13-14+…+1n-1n+1=14 1-1n+1=n4 n+1
六、错位相减求和
设数列 an}是等比数列,数列 bn}是等差数列,则数列 anbn}的前n项和n求解,均可用错位相减法
例 6 3(2007高考)设 an}是等差数列, bn}是各项都为正数的等比数列,且a1=b1=1,a3+b5=21,a5+b3=13
1求 an}, bn}的通项公式; 2求数列 anbn}的前n项和n.
解: 1设 an}的公差为d, bn}的公比为q,则依题意有q>0且 1+2d+q4=21,1+4d+q2=13,
解得q=2,q=2.所以an=1+ n-1d=2n-1,bn=qn-1=2n-1.
2因为anbn=2n-12n-1.所以
n=1+321+522+…+2n-32n-2+2n-12n-1,①
2n=2+3+52+…+2n-32n-3+2n-12n-2②
由①-②得
3n=2+2+222+…+22n-2-2n-12n-1=2+× 1+12+122+…+12n-2-2n-12n-1
=2+2×1-12n-11-12-2n-12n-1=6-2n+32n-1.
七、归纳法求和
根据归纳猜想验证即数学归纳法求和
例 7设数列 an}的前n项和为n,且方程x2-anx-an=0有一根为n-1,n=1,2,3,…
1求a1,a2; 2 an}的通项公式
解: 1当n=1时,x2-a1x-a1=0有一根为1-1=a1-1,
于是 a1-12-a1 a1-1-a1=0,得a1=12
当n=2时,x2-a2x-a2=0有一根为2-1=a2-12,
于是 a2-122-a2 a2-12-a2=0,得a2=16
2由题设 n-12-an n-1-an=0得2n-2n+1-ann=0
当n≥2时,an=n- n-1,代入上式得n n-1-2 n-1+1=0
由 1知1=a1=12,2=a1+a2=12+16=23
由﹡可得3=34由此猜想n=nn+1,n=1,2,3,…
下面用数学归纳法证明这个结论
Ⅰn=1时已知结论成立
Ⅱ假设n=k时结论成立,即k=kk+1,
3当n=k+1时,由﹡得 k+1=12-k,即 k+1=k+1k+2
故n=k+1时结论也成立
综上可知n=nn+1对所有正整数n都成立
3当n≥2时,an=n- n-1=nn+1-n-1n=1n n+1,
又n=1时,a1=12=11×2,所以 an}的通项公式an=1n n+1,n=1,2,3,…
八、前n项和公式倒用
2010全国已知数列 an}的前n项和n= n2+n•3n
1求limDD n→00DDann; 2证明:a112+a222+…+ann2>3n
分析:本试题主要考查数列基本公式an= s1 n=1sn-s n-1 n≥2 的运用,数列极限和数列不等式的证明,考查考生运用所学知识解决问题的能力
解: 1limDD n→00DDann=limDD n→00DDn- n-1n=limDD n→00DD 1- n-1n=1-limDD n→00DD n-1n
而limDD n→00DD n-1n=limDD n→00DDn-1n+1•13所以limDD n→00DDann=23
2当n=1时,a112=1=6>3
当n>1时,
a112+a222+…+ann2=112+2-122+…+n- n-1n2
= 112-122•1+ 122-132•2+… 1 n-12-1n2• n-1+1n2•n>1n2•n=n2+nn2•3n>3n
所以,当n≥1时,a112+a222+…+ann2>3n
(作者:张建虎,甘肃省张掖市临泽一中)
一、公式求和
利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法
1等差数列求和公式:n=n a1+an2=na1+n n-12d
25等比数列求和公式:n= na1, q=1a1 1-qn1-q=a1-anq1-q, q≠1
3n=∑DD nk=1DDk=12n n+1
4n=∑DD nk=1DDk2=16n n+1 2n+1
例 3(2010年北京)已知 an}为等差数列,且a3=-6,a6=0
1求 an}的通项公式;
2若等差数列 bn}满足b1=-8,b2=a1+a2+a3,求 bn}的前n项和公式
解: 1设等差数列 an}的公差d
因为a3=-6,a6=0,所以 a1+2d=-6a1+5d=0 ,解得a1=-10,d=2
所以an=-10+ n-1•2=2n-12
2设等比数列 bn}的公比为q
因为b2=a1+a2+a3=-24,b1=-8,所以-8q=-24,即q=3
3所以 bn}的前n项和公式为n=b1 1-qn1-q=4 1-3n
二、倒序求和
数列求和时,如果距首尾两端“等距离”的任意两项之和都相等,可利用倒序求和法
例 2 3设函数f x=14x+2,求=f 0+f 1n+f 2n+…+f n-1n+f 1的和
分析: 3注意到求和表达式中0+1=1n+n-1n=…=1,于是可先考查f x+f 1-x是否为定值,然后再运用之求和
解:∵f x+f 1-x=14x+2+141-x+2=14x+2+4x4+2•4x=2+4x4+2•4x=12(定值),
又∵=f 0+f 1n+f 2n+…+f n-1n+f 1, ①
∴=f 1+f n-1n+f n-2n+…+f 1n+f 0 ②
于是,由①+②得
32=f 0+f 1+f 1n+f n-1n+f 2n+f n-2n+…+f n-1n+f 1n+f 1+f 0
= n+1×12
所以=n+14
三、分组求和
先将一个数列分成几个等差、等比或常见的数列,然后分别求和,再将其合并求和其关键在于,对求和表达式重新进行归类组合
例 3(2010重庆)已知 an}是首项为19,公差为-2的等差数列,n为 an}的前n项和
1求通项an及n;
2设 bn-an}是首项为1,公比为3的等比数列,求数列 bn}的通项公式及其前n项和Tn
解: 1因为 an}是首项为19,公差为-2的等差数列
所以an=19-2 n-1=-2n+21
n=19n+n n-12• -2=-n2+20n
2由题意bn-an=3n-1,所以bn=3n-1-2n+21
3Tn= 19+17+15+…+21-2n= 1+3+32+…+3n-1=-n2+20n+3n-12
四、并项求和
如果数列的某些项合并在一起具有某种特殊的性质,那么在数列求和时,可先将这些项放在一起求和,然后再求
例 4已知数列3,-5,7,-9,…, -1n+1• 2n+1,…,求其前n项和n
分析:注意到3+ -5=7+ -9=…=-2,从而本题可利用并项转化法求和,但要特别注意对项数n的奇偶性进行讨论
解:当n为偶数时,
n=3+ -5+7+ -9+…+\ -1n• 2n-1+ -1n+1• 2n+1=-2•n2=-n
当n为奇数时,
n=3+ -5+7+ -9+…+\ -1n-1• 2n-3+ -1n• 2n-1+ -1n+1• 2n+1
=-2•n-12+ -1n+1• 2n+1=- n-1+2n+1=n+2
3综上知,所求n=1+ -1n2• -n+1- -1n2• n+2=1- -1n• n+1
五、裂项求和
遇到通项为分式形式的数列求和,往往要将通项变为差的形式,利用正负抵消的规律化简求和
常用裂项公式有:
1an=1n n+k=1k 1n-1n+k
2an=1n+k+n=1k n+k-n
例 5(2010山东)已知等差数列 an}满足:a3=7,a5+a7=26, an}的前n项和为n
1求an及n; 2令bn=1a2n-1,n∈N,求数列 bn}的前n项和Tn
解: 1设等差数列 an}的公差为d,因为a3=7,a5+a7=26,所以有 a1+2d=72a1+10d=26 ,解得a1=3,d=2,
所以an=3+2 n-1=2n+1,n=3n+n n-12×2=n2+2n
2由 1知an=2n+1,所以
bn=1a2n-1=1 2n+12-1=14•1n n+1=14• 1n-1n+1
所以Tn=14• 1-12+12-13+13-14+…+1n-1n+1=14 1-1n+1=n4 n+1
六、错位相减求和
设数列 an}是等比数列,数列 bn}是等差数列,则数列 anbn}的前n项和n求解,均可用错位相减法
例 6 3(2007高考)设 an}是等差数列, bn}是各项都为正数的等比数列,且a1=b1=1,a3+b5=21,a5+b3=13
1求 an}, bn}的通项公式; 2求数列 anbn}的前n项和n.
解: 1设 an}的公差为d, bn}的公比为q,则依题意有q>0且 1+2d+q4=21,1+4d+q2=13,
解得q=2,q=2.所以an=1+ n-1d=2n-1,bn=qn-1=2n-1.
2因为anbn=2n-12n-1.所以
n=1+321+522+…+2n-32n-2+2n-12n-1,①
2n=2+3+52+…+2n-32n-3+2n-12n-2②
由①-②得
3n=2+2+222+…+22n-2-2n-12n-1=2+× 1+12+122+…+12n-2-2n-12n-1
=2+2×1-12n-11-12-2n-12n-1=6-2n+32n-1.
七、归纳法求和
根据归纳猜想验证即数学归纳法求和
例 7设数列 an}的前n项和为n,且方程x2-anx-an=0有一根为n-1,n=1,2,3,…
1求a1,a2; 2 an}的通项公式
解: 1当n=1时,x2-a1x-a1=0有一根为1-1=a1-1,
于是 a1-12-a1 a1-1-a1=0,得a1=12
当n=2时,x2-a2x-a2=0有一根为2-1=a2-12,
于是 a2-122-a2 a2-12-a2=0,得a2=16
2由题设 n-12-an n-1-an=0得2n-2n+1-ann=0
当n≥2时,an=n- n-1,代入上式得n n-1-2 n-1+1=0
由 1知1=a1=12,2=a1+a2=12+16=23
由﹡可得3=34由此猜想n=nn+1,n=1,2,3,…
下面用数学归纳法证明这个结论
Ⅰn=1时已知结论成立
Ⅱ假设n=k时结论成立,即k=kk+1,
3当n=k+1时,由﹡得 k+1=12-k,即 k+1=k+1k+2
故n=k+1时结论也成立
综上可知n=nn+1对所有正整数n都成立
3当n≥2时,an=n- n-1=nn+1-n-1n=1n n+1,
又n=1时,a1=12=11×2,所以 an}的通项公式an=1n n+1,n=1,2,3,…
八、前n项和公式倒用
2010全国已知数列 an}的前n项和n= n2+n•3n
1求limDD n→00DDann; 2证明:a112+a222+…+ann2>3n
分析:本试题主要考查数列基本公式an= s1 n=1sn-s n-1 n≥2 的运用,数列极限和数列不等式的证明,考查考生运用所学知识解决问题的能力
解: 1limDD n→00DDann=limDD n→00DDn- n-1n=limDD n→00DD 1- n-1n=1-limDD n→00DD n-1n
而limDD n→00DD n-1n=limDD n→00DDn-1n+1•13所以limDD n→00DDann=23
2当n=1时,a112=1=6>3
当n>1时,
a112+a222+…+ann2=112+2-122+…+n- n-1n2
= 112-122•1+ 122-132•2+… 1 n-12-1n2• n-1+1n2•n>1n2•n=n2+nn2•3n>3n
所以,当n≥1时,a112+a222+…+ann2>3n
(作者:张建虎,甘肃省张掖市临泽一中)