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这里所说的变式训练，包括两个方面：一是一题多变，二是一题多解，不管哪种类型，其宗旨就是变更概念或问题的认识角度，以突出概念或问题中那些隐蔽的本质特点，以便学生在变式中思维，从而使学生更好地掌握概念或问题的本质规律。具体点说，变式训练注重问题的情境变，把一些解决问题的思想和思路相同或相关的题目用变式的形式串联起来，在变式中（条件变化、形式变化、结论发散、适时引伸、过程变化、背景复杂化等等）求不变，从而使学生在解决变式的问题中，感受知识的形成过程，并获得对知识的概括性的认识，提高学生识别、应变、概括的能力，促进学生思维的发展。
变式训练其主導思想是：面向全体学生，抓基本，重宗旨，促进学生全面发展，提高学生综合素质。其教学思想采用从特殊到一般的归纳法，这有益于学生创新思维的发展。其教学方法不同于传统的“灌输”法，也不同于“题海战术”，它是在教师指导下，放手学生自己去探究、尝试、归纳、总结，从而使学生解决问题的思路由窄变宽，由低到高，分析问题、解决问题的能力逐渐提高，主动钻研的精神和创新思维得到培养，创新能力得到增强。
1.一题多变型
一题多变是用于数学概念的理解，掌握形成过程也可用于巩固知识，形成技能的过程。
每一个数学概念都有一个形成的过程，在进行对数学概念的教学过程中，教师向学生提供变式，让学生体验这个概念的形成过程，促使学生对相关知识进行比较，分析出其中最本质的成份，并对它们进行概括。如在学习三角形的高这一概念时，教师为学生提供一些在形状（锐角、直角、钝角三角形）位置等方面变化的不同三角形的高的典型题目，让学生多角度理解并对几种典型高的变式进行思维加工，从中抽象、概括出三角形高的概念。同时，通过变式训练，使学生懂得怎样从事物千变万化的复杂现象中抓住本质，举一反三，从而培养学生的概括能力以及思维的深刻性和灵活性。
在学习概念后，适时地对数学中的问题进行引伸变式，可以培养学生的应用能力和创新能力。如对高中解析几何题：△ABC的两个顶点，A，B的坐标分别是（-6，0），（6，0），边AC，BC所在直线的斜率乘积等于-4/9，求顶点C的轨迹方程。进行引伸变式练习，变式1：若边AC，BC所在直线的斜率乘积为4/9，求点C的轨迹方程。变式2：若两个顶点A，B的坐标分别是（a，0）（-a，0），边AC，BC所在直线的斜率乘积为-b2/a2（a＞b），求点C的轨迹方程。变式3：若AC，BC所在的直线的斜率乘积等于b2/a2（a＞b），求点C的轨迹方程。学生通过解决这些变式性的题目，可以创造性地发现椭圆和双曲线还可以有新定义。
2.一题多解
我们知道，一题多解训练的目的，不是单纯的解题。而是为了培养和锻炼学生的思维，发展学生的智力，提高学生创新、质疑的能力。
同一道题目，学生从不同的角度出发，就有许多不同的解题方法，所以在课堂上教师不要让学生满足于一种思考方式，要引导学生发现自己解题中存在的问题和不合理处，进而提出质疑“我为什么要这样解题呢？”、“是不是还有更好的方法呢？”、“除了这个角度出发外，还能从哪里找到突破口呢？”在一题多解中学生不断地在质疑，不断地在创新，不断地在迸发思维的火花。实践证明，学生的解法越多，表明学生的思维越灵活，思路越开阔。学生能够根据题意和数量关系，运用所学习和掌握的知识不拘泥、不守旧，乐于打破一般的框框去进行广阔的思维，十分用心地去探求各种解题方法，就越有利于促进其思维的发展，提高创造能力。如在讲函数性质时，我给学生这样以下一题，引导学生积极思考，充分讨论，得出如下几种解法：
求函数f(x)=x+1x(x0)的值域
方法一：判别式法
设y=x+1x，则x2-yx+1=0，由Δy2-4≥0y≥2
当y=2时，x2 -2x+1=0x=1， 因此当x=1 时，
f(x)=x+1x〗(x0)有最小值2，即值域为［2,+∞）
方法二：单调性法
先判断函数f(x)=x+1x〗(x0)的单调性；
任取0x1x2，则f(x1)-f(x2)=(x1-x2)(x1x2-1)x1x2 ；
当0x1x2≤2时，即f(x1)f(x2)，此时f(x)在(0,1］上是减函数；
当2x1x2时，f(x1)f(x2),f(x)在(2,+∞］上是增函数；
由f(x)在(0,1］上是减函数，f(x)在(1,+∞)上是增函数，知x=1时，f(x)有最小值2，即值域为［2,+∞)
方法三：配方法
f(x)=x+1x=(x-1x)2+2，当x-1x=0时，x=1，此时
f(x)有最小值2，即值域为［2,+∞)
方法四：基本不等式法
f(x)=x+1x=(x)2+(1x)2≥2x1x=2
f(x)有最小值2，即值域为［2，+∞)
这样训练，不仅创造性地解决问题，从而培养学生举一反三的能力。
总之，变式训练在中学数学解题教学中最富有成效的训练途径。它符合基础教育课程改革的新形势，有利于克服教学只重结果，轻过程的现象，也有利于避免学生思维单一，单纯接受知识的学习方式。对学生实施变式训练，不仅使中学数学的“双基”教学得到了进一步的加强，而且还可以使学生亲身体验到了数学知识的形成过程，提高了学生理解、探究、掌握和运用数学知识的能力，更重要的是培养了学生创新思维的综合品质，促进了学生创新能力的发展。
注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文
变式训练其主導思想是：面向全体学生，抓基本，重宗旨，促进学生全面发展，提高学生综合素质。其教学思想采用从特殊到一般的归纳法，这有益于学生创新思维的发展。其教学方法不同于传统的“灌输”法，也不同于“题海战术”，它是在教师指导下，放手学生自己去探究、尝试、归纳、总结，从而使学生解决问题的思路由窄变宽，由低到高，分析问题、解决问题的能力逐渐提高，主动钻研的精神和创新思维得到培养，创新能力得到增强。
1.一题多变型
一题多变是用于数学概念的理解，掌握形成过程也可用于巩固知识，形成技能的过程。
每一个数学概念都有一个形成的过程，在进行对数学概念的教学过程中，教师向学生提供变式，让学生体验这个概念的形成过程，促使学生对相关知识进行比较，分析出其中最本质的成份，并对它们进行概括。如在学习三角形的高这一概念时，教师为学生提供一些在形状（锐角、直角、钝角三角形）位置等方面变化的不同三角形的高的典型题目，让学生多角度理解并对几种典型高的变式进行思维加工，从中抽象、概括出三角形高的概念。同时，通过变式训练，使学生懂得怎样从事物千变万化的复杂现象中抓住本质，举一反三，从而培养学生的概括能力以及思维的深刻性和灵活性。
在学习概念后，适时地对数学中的问题进行引伸变式，可以培养学生的应用能力和创新能力。如对高中解析几何题：△ABC的两个顶点，A，B的坐标分别是（-6，0），（6，0），边AC，BC所在直线的斜率乘积等于-4/9，求顶点C的轨迹方程。进行引伸变式练习，变式1：若边AC，BC所在直线的斜率乘积为4/9，求点C的轨迹方程。变式2：若两个顶点A，B的坐标分别是（a，0）（-a，0），边AC，BC所在直线的斜率乘积为-b2/a2（a＞b），求点C的轨迹方程。变式3：若AC，BC所在的直线的斜率乘积等于b2/a2（a＞b），求点C的轨迹方程。学生通过解决这些变式性的题目，可以创造性地发现椭圆和双曲线还可以有新定义。
2.一题多解
我们知道，一题多解训练的目的，不是单纯的解题。而是为了培养和锻炼学生的思维，发展学生的智力，提高学生创新、质疑的能力。
同一道题目，学生从不同的角度出发，就有许多不同的解题方法，所以在课堂上教师不要让学生满足于一种思考方式，要引导学生发现自己解题中存在的问题和不合理处，进而提出质疑“我为什么要这样解题呢？”、“是不是还有更好的方法呢？”、“除了这个角度出发外，还能从哪里找到突破口呢？”在一题多解中学生不断地在质疑，不断地在创新，不断地在迸发思维的火花。实践证明，学生的解法越多，表明学生的思维越灵活，思路越开阔。学生能够根据题意和数量关系，运用所学习和掌握的知识不拘泥、不守旧，乐于打破一般的框框去进行广阔的思维，十分用心地去探求各种解题方法，就越有利于促进其思维的发展，提高创造能力。如在讲函数性质时，我给学生这样以下一题，引导学生积极思考，充分讨论，得出如下几种解法：
求函数f(x)=x+1x(x0)的值域
方法一：判别式法
设y=x+1x，则x2-yx+1=0，由Δy2-4≥0y≥2
当y=2时，x2 -2x+1=0x=1， 因此当x=1 时，
f(x)=x+1x〗(x0)有最小值2，即值域为［2,+∞）
方法二：单调性法
先判断函数f(x)=x+1x〗(x0)的单调性；
任取0x1x2，则f(x1)-f(x2)=(x1-x2)(x1x2-1)x1x2 ；
当0x1x2≤2时，即f(x1)f(x2)，此时f(x)在(0,1］上是减函数；
当2x1x2时，f(x1)f(x2),f(x)在(2,+∞］上是增函数；
由f(x)在(0,1］上是减函数，f(x)在(1,+∞)上是增函数，知x=1时，f(x)有最小值2，即值域为［2,+∞)
方法三：配方法
f(x)=x+1x=(x-1x)2+2，当x-1x=0时，x=1，此时
f(x)有最小值2，即值域为［2,+∞)
方法四：基本不等式法
f(x)=x+1x=(x)2+(1x)2≥2x1x=2
f(x)有最小值2，即值域为［2，+∞)
这样训练，不仅创造性地解决问题，从而培养学生举一反三的能力。
总之，变式训练在中学数学解题教学中最富有成效的训练途径。它符合基础教育课程改革的新形势，有利于克服教学只重结果，轻过程的现象，也有利于避免学生思维单一，单纯接受知识的学习方式。对学生实施变式训练，不仅使中学数学的“双基”教学得到了进一步的加强，而且还可以使学生亲身体验到了数学知识的形成过程，提高了学生理解、探究、掌握和运用数学知识的能力，更重要的是培养了学生创新思维的综合品质，促进了学生创新能力的发展。
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