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林
【摘要】 课本例、习题具有典型性，充分利用好例习题潜在的教育价值，对例习题进行合理的改编，不但使教学更加贴近高考的实际，顺应高考命题的趋向，同时对培养学生良好的思维品质，提高教师的专业素养具有重要的意义.
【关键词】 编制题目；培养思维；提高素养
2013年5月笔者有幸参加了市命题说题比赛，比赛采用赛前命题现场做题说题的形式，现将赛前的命题情况展示出来，与同行交流.
1.试题的背景素材
人教版《选修5》第三章不等式第四节基本不等式中的例题1（2）：一段长为36 m的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？
本题的求解对学生来说是简单的，预计学生会通过降元或者是基本不等式处理.然而本题实际上是等周问题的一个特例.为此设想把围成图形从矩形改变为三角形，这样由于面积计算的方法不同，由此会带来求解方法的变化，而三角形的面积公式S= 1 2 absinC中，如何转化边角，进而求出面积的最值的过程，可以很好地培养学生的思维能力，提高思维品质.
于是考虑编制题目为：一段长为36 m的篱笆围成一个三角形菜园，问这个三角形的三边长各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？
即三角形三边长为定值，面积何时最大？
改编后的题用海伦公式和三维的基本不等式能很好解决，但是三维不等式在选修课中才学习，况且知道海伦公式的同学并不多，为了解决这个问题特意去介绍，笔者认为没必要.再者用例题的方法比较难解决，所以对例题直接这么改，跨度太大.
注意到是二维的基本不等式，所以可以考虑固定一条边，于是编制了下面这个题目：
一段长为7 m的篱笆围成一个三角形花坛，要求花坛一边长为2 m，问这个三角形另两边各为多少时，花坛面积最大，最大面积是多少？
为了摒弃较繁琐的数字计算，把数字改了下.
2.解法探究
方法一 化角为边
S= 1 2 absinC= 1 2 ab 1-cos2C = 1 2 ab 1- a2 b2-4 2ab 2 = 1 2 a2b2- a2 b2-4 2 4
= 1 2 4a2b2- a2 b2-4 2 4 = 1 4 4a2b2- a2 b2-4 2 .
采用消元法
∵a b=5，∴b=5-a， 1 4 4a2b2- a2 b2-4 2 = 21 2 1-（a-2.5）2 ≤ 21 2 .
a-b <2a b=5 3 2 这种处理方法直接将二元问题降到一元问题，虽然字母运算麻烦，但是思路简单.需要提醒的是对a范围的确定是本题的一个易错点，预计学生容易错定a的范围是（0，5），而忽略三角形成立的条件 a-b <2.
方法二 化边为角：c2=a2 b2-2abcosC，∴4=（a b）2-2ab-2abcosC，∴2ab= 21 1 cosC ，
∴S= 1 2 absinC= 21 4 sinC 1 cosC .
这种方法关键是确定角C的范围，利用余弦定理，基本不等式，可以求出角C的范围.
cosC= a2 b2-c2 2ab = （a b）2-2ab-c2 2ab = 21-2ab 2ab = 21 2ab -1≥ 21 2 a b 2 2 -1= 17 25 .
∴C∈（0，θ]，其中θ∈ 0， π 2 且cosθ= 17 25 .
由于角C的最大值不是特殊角，教师要指导学生正确地表示出角 C的范围.
求函数S= 21 4 sinC 1 cosC ，C∈（0，θ]，其中θ∈ 0， π 2 且cosθ= 17 25 的最大值.
预计学生可能有四种处理办法：
处理一：用辅助角公式
4S（1 cosC）=21sinC，4S= 212 （4S）2 sin（C-），
这种方法学生经常使用，但是由于本题的辅助角是未知的，很难运算.
处理二：导数法
S′= 21 4 sin′C（1 cosC）-（1 cosC）′sinC （1 cosC）2 = 21 4 1 1 cosC >0.
∴当C=θ时，S取到最大值，∴S= 21 4 sinC 1 cosC ≤ 21 4 sinθ 1 cosθ = 21 2 .
处理三：利用斜率的几何意义
sinC 1 cosC = sinC-0 cosC-（-1） ，所以上述式子可以看作是（cosC，sinC）与（-1，0）两点的斜率，从而求出S的最大值为 21 2 .
这种方法以形助数，体现了“数缺形时少直观，形缺数时难入微”.
处理四：利用三角函数单调性
S= 21 4 sinC 1 cosC = 21 4 2sin C 2 cos C 2 2cos2 C 2 = 21 4 tan C 2 .
这种方法预计学生不容易想到，但在三角函数化简，求解范围问题时经常使用.
方法三 解析法
设AB=2，BC=a，AC=b根据椭圆定义，C点的轨迹是以A，B
为焦点的椭圆（除与x轴的交点），显然点C在椭圆短轴端点处
取得最大值.
方法三体现了解析法在解题中巧妙，拓宽了学生的解题的视野，也抬高了本题的思维高度.
3.命题效果
通过对例题的改编所得到的题重点考查了不等式、解 三角形等重要知识，入口宽，角度多特别是方法一、方法二中的变形与运算、寻找与设计合理、要求学生有较强运算能力，由于问题处理过程中的复杂性，对学生良好思维品质优化提出了更高的要求.方法三用解析法创造性地解决问题，不但体现了数形结合思想，同时也培养了学生的创新意识.整个求解过程中，综合应用了不等式、解三角形、函数、解析几何等知识，渗透了化归与转化、函数与方程、数形结合的数学思想.
4.教学导向
（1）本题的命制适用于高三复习使用，题目入手容易，但是深入困难，学生的运算能力要求高，符合高考命题的导向.
（2）教师应该重视课本上的例习题，尽量挖掘课本例题的背景，在此基础上可以“借题发挥”进行一题多变，一题多解，强调通性通法，引导学生探索问题的本质，以达到触类旁通的教学效果.同时也激发了学生学习兴趣，渗透了数学思想，培养了学生数学思维品质.
【摘要】 课本例、习题具有典型性，充分利用好例习题潜在的教育价值，对例习题进行合理的改编，不但使教学更加贴近高考的实际，顺应高考命题的趋向，同时对培养学生良好的思维品质，提高教师的专业素养具有重要的意义.
【关键词】 编制题目；培养思维；提高素养
2013年5月笔者有幸参加了市命题说题比赛，比赛采用赛前命题现场做题说题的形式，现将赛前的命题情况展示出来，与同行交流.
1.试题的背景素材
人教版《选修5》第三章不等式第四节基本不等式中的例题1（2）：一段长为36 m的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？
本题的求解对学生来说是简单的，预计学生会通过降元或者是基本不等式处理.然而本题实际上是等周问题的一个特例.为此设想把围成图形从矩形改变为三角形，这样由于面积计算的方法不同，由此会带来求解方法的变化，而三角形的面积公式S= 1 2 absinC中，如何转化边角，进而求出面积的最值的过程，可以很好地培养学生的思维能力，提高思维品质.
于是考虑编制题目为：一段长为36 m的篱笆围成一个三角形菜园，问这个三角形的三边长各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？
即三角形三边长为定值，面积何时最大？
改编后的题用海伦公式和三维的基本不等式能很好解决，但是三维不等式在选修课中才学习，况且知道海伦公式的同学并不多，为了解决这个问题特意去介绍，笔者认为没必要.再者用例题的方法比较难解决，所以对例题直接这么改，跨度太大.
注意到是二维的基本不等式，所以可以考虑固定一条边，于是编制了下面这个题目：
一段长为7 m的篱笆围成一个三角形花坛，要求花坛一边长为2 m，问这个三角形另两边各为多少时，花坛面积最大，最大面积是多少？
为了摒弃较繁琐的数字计算，把数字改了下.
2.解法探究
方法一 化角为边
S= 1 2 absinC= 1 2 ab 1-cos2C = 1 2 ab 1- a2 b2-4 2ab 2 = 1 2 a2b2- a2 b2-4 2 4
= 1 2 4a2b2- a2 b2-4 2 4 = 1 4 4a2b2- a2 b2-4 2 .
采用消元法
∵a b=5，∴b=5-a， 1 4 4a2b2- a2 b2-4 2 = 21 2 1-（a-2.5）2 ≤ 21 2 .
a-b <2a b=5 3 2
方法二 化边为角：c2=a2 b2-2abcosC，∴4=（a b）2-2ab-2abcosC，∴2ab= 21 1 cosC ，
∴S= 1 2 absinC= 21 4 sinC 1 cosC .
这种方法关键是确定角C的范围，利用余弦定理，基本不等式，可以求出角C的范围.
cosC= a2 b2-c2 2ab = （a b）2-2ab-c2 2ab = 21-2ab 2ab = 21 2ab -1≥ 21 2 a b 2 2 -1= 17 25 .
∴C∈（0，θ]，其中θ∈ 0， π 2 且cosθ= 17 25 .
由于角C的最大值不是特殊角，教师要指导学生正确地表示出角 C的范围.
求函数S= 21 4 sinC 1 cosC ，C∈（0，θ]，其中θ∈ 0， π 2 且cosθ= 17 25 的最大值.
预计学生可能有四种处理办法：
处理一：用辅助角公式
4S（1 cosC）=21sinC，4S= 212 （4S）2 sin（C-），
这种方法学生经常使用，但是由于本题的辅助角是未知的，很难运算.
处理二：导数法
S′= 21 4 sin′C（1 cosC）-（1 cosC）′sinC （1 cosC）2 = 21 4 1 1 cosC >0.
∴当C=θ时，S取到最大值，∴S= 21 4 sinC 1 cosC ≤ 21 4 sinθ 1 cosθ = 21 2 .
处理三：利用斜率的几何意义
sinC 1 cosC = sinC-0 cosC-（-1） ，所以上述式子可以看作是（cosC，sinC）与（-1，0）两点的斜率，从而求出S的最大值为 21 2 .
这种方法以形助数，体现了“数缺形时少直观，形缺数时难入微”.
处理四：利用三角函数单调性
S= 21 4 sinC 1 cosC = 21 4 2sin C 2 cos C 2 2cos2 C 2 = 21 4 tan C 2 .
这种方法预计学生不容易想到，但在三角函数化简，求解范围问题时经常使用.
方法三 解析法
设AB=2，BC=a，AC=b根据椭圆定义，C点的轨迹是以A，B
为焦点的椭圆（除与x轴的交点），显然点C在椭圆短轴端点处
取得最大值.
方法三体现了解析法在解题中巧妙，拓宽了学生的解题的视野，也抬高了本题的思维高度.
3.命题效果
通过对例题的改编所得到的题重点考查了不等式、解 三角形等重要知识，入口宽，角度多特别是方法一、方法二中的变形与运算、寻找与设计合理、要求学生有较强运算能力，由于问题处理过程中的复杂性，对学生良好思维品质优化提出了更高的要求.方法三用解析法创造性地解决问题，不但体现了数形结合思想，同时也培养了学生的创新意识.整个求解过程中，综合应用了不等式、解三角形、函数、解析几何等知识，渗透了化归与转化、函数与方程、数形结合的数学思想.
4.教学导向
（1）本题的命制适用于高三复习使用，题目入手容易，但是深入困难，学生的运算能力要求高，符合高考命题的导向.
（2）教师应该重视课本上的例习题，尽量挖掘课本例题的背景，在此基础上可以“借题发挥”进行一题多变，一题多解，强调通性通法，引导学生探索问题的本质，以达到触类旁通的教学效果.同时也激发了学生学习兴趣，渗透了数学思想，培养了学生数学思维品质.