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数形结合思想是重要的数学思想方法. 著名数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形少数时难入微.”在数学教学时，利用代数和几何的双面工具实现数与形的相互转化，可以揭示数学知识的本质，有利于我们准确掌握数学知识.
一、 用线形示意图解决行程问题
线形示意图通常可以画成直线或环形图，用线段的长或曲线的长来表示某些量，并根据这些线段或曲线的长度关系列出方程. 许多行程问题中的数量关系可以用线形图表示.
例1 A、B两地间的路程为360千米，甲车从A地出发开往B地，速度为72千米/小时，乙车从B地出发开往A地，速度为48千米/小时，两车同时出发，多少小时后两车相遇？
【分析】 可以画出线形示意图：
根据线形示意图我们可以找到这个问题中数量之间的相等关系是：
甲车行的路程 乙车行的路程=总路程.
解：设两车同时出发后x小时相遇.
根据题意，得72x 48x=360.
解这个方程，得x=3.
答：两车同时出发3小时后相遇.
【点评】 线形示意图具有直观性，可以清晰地反映事物的发展规律或变化趋势.线形示意图用线段表示数量，可根据线段的和或差找出相等关系.
变式一：若甲车出发30分钟后乙车再出发，求乙车出发几小时后两车相遇.
【分析】 可以画出线形示意图：
根据线形示意图我们可以找到这个问题中数量之间的相等关系是：
甲车前30分钟行的路程 甲车30分钟后行的路程 乙车行的路程=总路程.
解：设乙车出发x小时后两车相遇.
30分钟=0.5小时.
根据题意，得72（x 0.5） 48x=360.
解这个方程，得x=2.7.
答：乙车出发2.7小时后两车相遇.
变式二：两车同时出发，几小时后两车相距60千米？
【分析】 两车相距60千米要注意分为相遇前相距60千米和相遇后相距60千米两种情况. 可以画出线形示意图：
情况一：
根据线形示意图我们可以找到这个问题中数量之间的相等关系是：
甲车行的路程 乙车行的路程 60 km=总路程.
情况二：
根据线形示意图我们可以找到这个问题中数量之间的相等关系是：
甲车行的路程 乙车行的路程-60 km=总路程.
解：情况一：设两车同时出发x小时后两车在相遇前相距60千米.
根据题意，得72x 48x 60=360.
解这个方程，得x=2.5.
情况二：设两车同时出发x小时后两车在相遇后相距60千米.
根据题意，得72x 48x-60=360.
解这个方程，得x=3.5.
答：两车同时出发，2.5小时或者3.5小时后两车相距60千米.
二、 用圆形示意图解决工程问题
画圆形示意图时，用整个圆的面积表示工作量1. 先画一个圆，再画圆的几条半径，把圆分成几个扇形，用扇形面积来表示有关工作量.
例2 用甲、乙、丙三部抽水机从矿井里抽水，单独用一部抽水机抽尽，用甲需要24小时，用乙需要30小时，用丙需要40小时，现甲、丙同抽了6小时后，乙机加入，问从开始到结束，一共用了多少小时才能把井里的水抽完？
【分析】 可以画出圆形示意图：
根据圆形示意图我们可以找到这个问题中数量之间的相等关系是：
甲、丙合作时完成的工作量 乙机加入后甲、乙、丙完成的工作量=总工作量.
工程中的等量关系是：
工作量=工作效率×工作时间.
如果把全部工作量看作1，那么甲单独抽水1小时完成全部工作量的，乙单独抽水1小时完成全部工作量的，丙单独抽水1小时完成全部工作量的.
解：设从开始到结束，一共用了x小时才能把井里的水抽完.
根据题意，得
×6
×（x-6）=1.
解这个方程，得x=12.
答：从开始到结束，一共用了12小时才能把井里的水抽完.
【议一议】 解上述问题时，小明列出的方程是
×x ×（x-6）=1. 你能说出它的意义吗？
【点评】 圆形示意图可以表示出各部分数量和总体的关系.
数与图形作为数学这门学科的两种重要载体与表达工具，彼此之间有着内在的本质联系，对充分认识数学内涵有着重要作用. 数形结合思想便是对数与形之间联系的形象表达，它作为一种重要的解题思想，在初中数学中有着重要的应用.
（作者单位：江苏省常州外国语学校）
一、 用线形示意图解决行程问题
线形示意图通常可以画成直线或环形图，用线段的长或曲线的长来表示某些量，并根据这些线段或曲线的长度关系列出方程. 许多行程问题中的数量关系可以用线形图表示.
例1 A、B两地间的路程为360千米，甲车从A地出发开往B地，速度为72千米/小时，乙车从B地出发开往A地，速度为48千米/小时，两车同时出发，多少小时后两车相遇？
【分析】 可以画出线形示意图：
根据线形示意图我们可以找到这个问题中数量之间的相等关系是：
甲车行的路程 乙车行的路程=总路程.
解：设两车同时出发后x小时相遇.
根据题意，得72x 48x=360.
解这个方程，得x=3.
答：两车同时出发3小时后相遇.
【点评】 线形示意图具有直观性，可以清晰地反映事物的发展规律或变化趋势.线形示意图用线段表示数量，可根据线段的和或差找出相等关系.
变式一：若甲车出发30分钟后乙车再出发，求乙车出发几小时后两车相遇.
【分析】 可以画出线形示意图：
根据线形示意图我们可以找到这个问题中数量之间的相等关系是：
甲车前30分钟行的路程 甲车30分钟后行的路程 乙车行的路程=总路程.
解：设乙车出发x小时后两车相遇.
30分钟=0.5小时.
根据题意，得72（x 0.5） 48x=360.
解这个方程，得x=2.7.
答：乙车出发2.7小时后两车相遇.
变式二：两车同时出发，几小时后两车相距60千米？
【分析】 两车相距60千米要注意分为相遇前相距60千米和相遇后相距60千米两种情况. 可以画出线形示意图：
情况一：
根据线形示意图我们可以找到这个问题中数量之间的相等关系是：
甲车行的路程 乙车行的路程 60 km=总路程.
情况二：
根据线形示意图我们可以找到这个问题中数量之间的相等关系是：
甲车行的路程 乙车行的路程-60 km=总路程.
解：情况一：设两车同时出发x小时后两车在相遇前相距60千米.
根据题意，得72x 48x 60=360.
解这个方程，得x=2.5.
情况二：设两车同时出发x小时后两车在相遇后相距60千米.
根据题意，得72x 48x-60=360.
解这个方程，得x=3.5.
答：两车同时出发，2.5小时或者3.5小时后两车相距60千米.
二、 用圆形示意图解决工程问题
画圆形示意图时，用整个圆的面积表示工作量1. 先画一个圆，再画圆的几条半径，把圆分成几个扇形，用扇形面积来表示有关工作量.
例2 用甲、乙、丙三部抽水机从矿井里抽水，单独用一部抽水机抽尽，用甲需要24小时，用乙需要30小时，用丙需要40小时，现甲、丙同抽了6小时后，乙机加入，问从开始到结束，一共用了多少小时才能把井里的水抽完？
【分析】 可以画出圆形示意图：
根据圆形示意图我们可以找到这个问题中数量之间的相等关系是：
甲、丙合作时完成的工作量 乙机加入后甲、乙、丙完成的工作量=总工作量.
工程中的等量关系是：
工作量=工作效率×工作时间.
如果把全部工作量看作1，那么甲单独抽水1小时完成全部工作量的，乙单独抽水1小时完成全部工作量的，丙单独抽水1小时完成全部工作量的.
解：设从开始到结束，一共用了x小时才能把井里的水抽完.
根据题意，得
×6
×（x-6）=1.
解这个方程，得x=12.
答：从开始到结束，一共用了12小时才能把井里的水抽完.
【议一议】 解上述问题时，小明列出的方程是
×x ×（x-6）=1. 你能说出它的意义吗？
【点评】 圆形示意图可以表示出各部分数量和总体的关系.
数与图形作为数学这门学科的两种重要载体与表达工具，彼此之间有着内在的本质联系，对充分认识数学内涵有着重要作用. 数形结合思想便是对数与形之间联系的形象表达，它作为一种重要的解题思想，在初中数学中有着重要的应用.
（作者单位：江苏省常州外国语学校）