向量，因它在数学、物理学等领域的广泛应用，已经作为当今中学生的必修知识列入了中学数学的教科书.向量作为数形结合的工具，不仅能够解决几何问题，同样也能够解决代数问题.本文就构造向量，利用其内积（数量积）证明不等式，作一粗浅的探讨.
　　利用向量的内积证明不等式，解法极为简捷规范，其关键与难点在于根据题给不等式的结构特征巧构两个向量.
　　现例说如下：
　　例1 设a,b,c为任意实数，求证：a2b2+b2c2+c2a2≥abc(a+b+c).
　　证明 设OA=(ab,bc,ca),OB=(bc,ca,ab),向量OA与OB的夹角为θ(0≤θ≤π).因为|OA|=|OB|=a2b2+b2c2+c2a2,所以OA•OB=|OA||OB|cosθ=(a2b2+b2c2+c2a2)cosθ.又OA•OB=ab2c+bc2a+ca2b=abc(a+b+c),所以(a2b2+b2c2+c2a2)cosθ=abc(a+b+c),而|cosθ|≤1，因此a2b2+b2c2+c2a2≥abc(a+b+c).
　　例2 设a,b,c∈R+，求证：ab+c+bc+a+ca+b≥32.
　　证明 设OA=ab+c， bc+a， ca+b，OB=(a(b+c),b(c+a)，c(a+b)),向量OA与OB的夹角为θ（0≤θ≤π）.因为|OA|=ab+c+bc+a+ca+b,|OB|=2(ab+bc+ca),所以OA•OB=|OA||OB|cosθ=ab+c+bc+a+ca+b2(ab+bc+ca)cosθ.又OA•OB=a+b+c,所以ab+c+bc+a+ca+b•2(ab+bc+ca)cosθ=a+b+c,而|cosθ|≤1,故ab+c+bc+a+ca+b≥(a+b+c)22(ab+bc+ca).因为(a+b+c)2=(a2+b2+c2)+2(ab+bc+ca)≥3(ab+bc+ca),因此ab+c+bc+a+ca+b≥32.
　　例3 (1988年第二届《友谊杯》国际中学数学竞赛题)设a,b,c∈R+，求证：a2b+c+b2c+a+c2a+b≥a+b+c2.
　　证明 设OA=ab+c， bc+a， ca+b,OB=(b+c,c+a,a+b),向量OA与OB的夹角为θ(0≤θ≤π).因为|OA|=a2b+c+b2c+a+c2a+b，|OB|=2(a+b+c),所以OA•OB=|OA||OB|cosθ=a2b+c+b2c+a+c2a+b•2(a+b+c)cosθ.又OA•OB=a+b+c,所以a2b+c+b2c+a+c2a+b•2(a+b+c)cosθ=a+b+c,而|cosθ|≤1,因此a2b+c+b2c+a+c2a+b≥a+b+c2.
　　例4 (1995年第36届IMO试题)设a,b,c∈R+,且abc=1,求证:1a3(b+c)+1b3(c+a)+1c3(a+b)≥32.
　　证明 设OA=(a(b+c),b(c+a),c(a+b)),OB=bca(b+c)，cab(c+a)，abc(a+b),向量OA与OB的夹角为θ(0≤θ≤π).因为|OA|=2(ab+bc+ca),|OB|=b2c2a(b+c)+c2a2b(c+a)+a2b2c(a+b),所以OA•OB=|OA||OB|cosθ=2(ab+bc+ca)b2c2a(b+c)+c2a2b(c+a)+a2b2c(a+b)cosθ.又OA•OB=ab+bc+ca,所以2(ab+bc+ca)•b2c2a(b+c)+c2a2b(c+a)+a2b2c(a+b)cosθ=ab+bc+ca,而|cosθ|≤1,故b2c2a(b+c)+c2a2b(c+a)+a2b2c(a+b)≥ab+bc+ca2.注意到a,b,c∈R+,abc=1,所以ab+bc+ca≥33(abc)2=3,且1a3(b+c)+1b3(c+a)+1c3(a+b)=b2c2a(b+c)+c2a2b(c+a)+a2b2c(a+b)，因此1a3(b+c)+1b3(c+a)+1c3(a+b)≥32.
　　例5 (第19届莫斯科数学竞赛题)设实数x,y满足|x|<1,|y|<1，求证：11-x2+11-y2≥21-xy.
　　证明 设OA=11-x2，11-y2，OB=11-y2，11-x2,向量OA与OB的夹角为θ(0≤θ≤π).因为|OA|=|OB|= 11-x2+11-y2,所以OA•OB=|OA|•|OB|cosθ=11-x2+11-y2cosθ.又OA•OB=2(1-x2)(1-y2),所以11-x2+11-y2cosθ=2(1-x2)(1-y2),而|cosθ|≤1，故11-x2+11-y2≥2(1-x2)(1-y2),注意到(1-x2)(1-y2)=1+x2y2-(x2+y2)≤(1-xy)2=|1-xy|=1-xy,因此11-x2+11-y2≥21-xy.
　　从上述数例不等式的证明中可以看出，巧妙地构造向量，利用其内积（数量积）证明不等式，解法思路简捷、规范，起到了化繁为简，化难为易，解法新颖，事半功倍的效果.
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