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摘 要：分数应用题是小学数学的重点内容，是小学生数学学习的难点所在。初学者在解决分数应用题方面会由于数量关系分析不得当、误判单位“1”、分量与分率理解不到位、量率不对应等导致各式各样的错误。根据皮亚杰的认知发展观理论，错误的主要原因是由于学生已有图式无法修改，新的图式尚未建立，同化—顺应—平衡未实现;已有图式不足以支撑新情境下的问题解决;已有知识经验干扰;新知识不牢固;直觉等因素影响学生的判断。学生分数应用题常见错误以及错误原因值得一线小学数学教师关注与反思，旨在为教师教学设计提供支持。
关键词：认知发展观;分数应用题;常见错误;成因分析
【中图分类号】G648 【文献标识码】A 【文章编号】1005-8877（2020）27-0179-02
分数应用题在学生数学学习中占有非常重要的地位，是教师教学的重点，也是小学生学习的难点。分数应用题一向是小学生的老大难问题，题目难度大，问题情境复杂，数量关系不易厘清，计算步骤繁琐等特点，给人一种枯燥、乏味、不好切入的印象，学生常常会在分数应用题中栽跟头，教师面对学生的错误，常常伴随着苦恼和无奈的心情。无论分数应用题如何讲解，仍然有学生出现各种各样的问题。学生的常见错误是什么？有哪些常见的错误类型？错误的原因是什么？学生在解决分数应用题的思维规律是什么？这些问题显得尤为重要了。本研究基于皮亚杰认知发展观重新审视学生在分数应用题中的学习困难、障碍、错误类型，成因分析，这应当成为数学教育工作者不断反思的议题。
1.皮亚杰认知发展观理论
皮亚杰，瑞士儿童心理学家，建构主义认知理论的先驱。皮亚杰的认知发展观中涉及到了图式、同化、顺应、平衡几个核心概念。其中，图式是指活动的结构和组织，是一种认知结构，一种有组织的、可重复的行为或者思维模式。儿童先天具有遗传图式，随着儿童通过活动，有机体不断变化，丰富已有图式，这些变化包括同化和顺应两个方面。具体而言，学生在学习新知识时，起初是平衡状态的，当新知识进入到已有的认知结构中，如果能被顺利地吸收，则新知识顺利地被同化。当然，还可能是学生自认为同化成功了，但是出现了误解，事实上并没有同化成功，那么就需要澄清误解，修改图式，把新的元素加入到已有的认知结构中，从而达到平衡。（见图1）如果不能被同化，这时候就产生了认知不平衡的状态，教师需要修改学生头脑中的图式或者创建新的图式，帮助学生同化新的知识，当新的知识能够进入到已有的认知结构中，那么新知识就被很好的顺应，再次达到了平衡的状态。如果学生不能够创造新的图式或者旧的图式没有被很好地修改，那么新知识就没有被学生吸收，也就没有顺应的过程。同化实际上是主体能够利用已有图式或者认知结构把刺激整合到自己的认知结构中。顺应就是结构受到了它所同化元素的影响而发生了改变。换言之，同化即将客体纳入主体已有的图式之中，引起图式的量变;顺应即当主体的图式与客体发生冲突时，就调节原有的图式，创立新的图式，从而引起质变。最后，个体在与外界环境的不断接触中，通过同化和顺应两种变化来达到某种相对稳定的状态，即平衡状态。学生自身未能实现同化的，出现各式各样的误解或者错误，这正是教师教学需要下功夫之处。
2.分数应用题常见错误及成因分析
学生解答分数应用题常见错误有数量关系分析不得当、误判单位“1”、分量与分率理解不到位、量率不对应、计算等导致错误等，具体分析如下。
（1）数量关系分析不得当
例题1：有两包糖，甲包比乙包多千克，如果从乙包中取出千克放入甲包，这时甲包比乙包多多少千克？
是没有仔细分析清楚数量关系，凭借直觉简单的对两个分数相加;学生感知到两个分数，但仅仅感知了两个分数，没有理解数量关系背后的意义。即感知到了数字，没有感知到问题情境的真实含义。在分析数量关系时，学生没有理解清楚从乙包中取出五分之一放入甲包，并非仅仅意味着甲包增加了，还有一个情况是乙包也面临减少了五分之一，学生头脑中已有的图式未被准确的同化、顺应、平衡，于是出现了错误，此题正确答案是，，所以甲包比乙包多，为了提高小学生的认识以及正确率，此题可以通过画图的方式给小学生演示甲包、乙包取出和放入的过程。
（2）误判单位“1”
例题2：一台电脑5000元，先降价，再涨价，小红说：这台电脑现价与原价相等。小明说：这台电脑低于原价。谁说的对？现价是多少元？
学生的错误答案是小红对，现价和原价相等。此题从直觉角度看，两个十分之一会给人一种误解，误认为是一样多。另外，从学生已有的整数经验来看，如果题目改为一台电脑5000元，先降价500，再涨价500元，问现价与原价之间的关系，那么这样是一样多的。学生发生错误的原因还有一种可能是，已有的图式在遇到新情况时不能被很好同化与顺应，也就是学生意识到了此题的情况与整数情况是不同的，但是无法找到变化后的单位“1”，于是做出了错误的判断。正确的解法是：两次单位“1”不同。第一次的单位1是5000元，第二次的单位“1”是5000×（1-）=4500元，所以，4500×（1+）=4950，4950<5000，所以小明说的对。
（3）分量与分率理解不到位
例题3：两根同样长的绳子，从第一根截取它的，从第二根上截取米，余下部分哪个长？
学生的经典错误答案是认为两条绳子余下的部分是一样长的。学生已有的整数学习经验表明，如果此题改为两根同样长的绳子，第一根截取3米，第二根上截取3米，剩下的部分哪个长？如果改为这样的题目，两根绳子余下的一定是一樣多的，但是如果是分数，虽然分数都是，但是一个表示分率，一个表示分量，量是有单位的，率是没有单位的，学生出错是因为受到了已有知识经验的影响;还有学生发现了和米之间的区别，但是因为未能顺利的进行同化和顺应，不知道此题应该如何下手分析，即整数经验的图式在新的问题情境下已不适用了，需要修改图式以适应新的问题情。所以正确的答案是两根绳子无法比较，从情感角度来看，小学生更希望做出具体答案，比如，第一根长、第二根长或者同样长，学生更不愿意选择无法比较这样的选项。为了准确的做出判断，通常会用设数的方法来解答此题，设绳子长1米和7米进行分析判断。
（4）量率不对应
例题4：一辆车从甲地开往乙地，如果把车速减少，那么要比原定时间迟到1小时到达，如果以原始行驶180千米，再把车速提高，那么可以比原定时间早1小时到达。甲、乙两地之间的距离是多少千米？
此题是小升初考试的一道原题。学生处理此题时，能够正确计算第一种情况下原定时间1÷×（1-）=9小时，或者计算V原：V现=10：9，T原：T现=9：10;第二种情况中，V原：V剩现=5：6，T原：T剩现=6：5，学生的错误在于用180对应的是先行的路程，而前边讨论的剩下部分的速度和时间问题，所以，不能用量“180”除以率，量率是不对应的，如果此题教师讲解后学生仍找不到量率对应关系，教师可以通过画图的方式辅助学生理解。
（5）逆向思维
例题5：孙悟空从山上采回一堆桃子，打算四天吃完，第一天吃了全部桃子的又3个，第二天它吃了剩下桃子的又2个，第三天吃了这时剩下的又一个，第四天正好只能吃1个。孙悟空从山上采回了多少个桃子？这道题目是分数应用题中非常经典的一道题，通常学生习惯于正向的数量关系来分析，尝试列方程解应用题，但是，列式过于复杂，计算量过大导致各式各样的错误。当然，学生拿到之后会感到无从下手，即头脑中已有的图式不足以分析解答孙悟空采桃子的问题。这道题和以往的题目不同的是，要逆向思维从第四天开始分析，倒推第三天、第二天、第一天最后求出所有的桃子总量。（1+1）÷（1-）=4（个） 4+2=6（个） 6÷=9（个） 9+3=12（个） 12÷=16（个）
学生在初学分数应用题会出现各式各样的错误，教师可把学生的错误进行收集、归纳、分类、整理，分析，真正实现“预测错误—辨别错误—解释错误—应用错误。”预测错误是在学生未发生错误之前，教师进行的预判，出现错误之后，教师需要辨别错误，呈现错误，澄清误解，修正错误，解释应用，帮助学生实现从“误”到“悟”的转变。
参考文献
[1]陈琦，刘德儒.当代教育心理学[J].北京：北京师范大学出版社，2015（07）：30-37
[2]李友莉.皮亚杰认知发展理论对小学数学教学的启示[J].现代教育科学，2019（02）：141-146
关键词：认知发展观;分数应用题;常见错误;成因分析
【中图分类号】G648 【文献标识码】A 【文章编号】1005-8877（2020）27-0179-02
分数应用题在学生数学学习中占有非常重要的地位，是教师教学的重点，也是小学生学习的难点。分数应用题一向是小学生的老大难问题，题目难度大，问题情境复杂，数量关系不易厘清，计算步骤繁琐等特点，给人一种枯燥、乏味、不好切入的印象，学生常常会在分数应用题中栽跟头，教师面对学生的错误，常常伴随着苦恼和无奈的心情。无论分数应用题如何讲解，仍然有学生出现各种各样的问题。学生的常见错误是什么？有哪些常见的错误类型？错误的原因是什么？学生在解决分数应用题的思维规律是什么？这些问题显得尤为重要了。本研究基于皮亚杰认知发展观重新审视学生在分数应用题中的学习困难、障碍、错误类型，成因分析，这应当成为数学教育工作者不断反思的议题。
1.皮亚杰认知发展观理论
皮亚杰，瑞士儿童心理学家，建构主义认知理论的先驱。皮亚杰的认知发展观中涉及到了图式、同化、顺应、平衡几个核心概念。其中，图式是指活动的结构和组织，是一种认知结构，一种有组织的、可重复的行为或者思维模式。儿童先天具有遗传图式，随着儿童通过活动，有机体不断变化，丰富已有图式，这些变化包括同化和顺应两个方面。具体而言，学生在学习新知识时，起初是平衡状态的，当新知识进入到已有的认知结构中，如果能被顺利地吸收，则新知识顺利地被同化。当然，还可能是学生自认为同化成功了，但是出现了误解，事实上并没有同化成功，那么就需要澄清误解，修改图式，把新的元素加入到已有的认知结构中，从而达到平衡。（见图1）如果不能被同化，这时候就产生了认知不平衡的状态，教师需要修改学生头脑中的图式或者创建新的图式，帮助学生同化新的知识，当新的知识能够进入到已有的认知结构中，那么新知识就被很好的顺应，再次达到了平衡的状态。如果学生不能够创造新的图式或者旧的图式没有被很好地修改，那么新知识就没有被学生吸收，也就没有顺应的过程。同化实际上是主体能够利用已有图式或者认知结构把刺激整合到自己的认知结构中。顺应就是结构受到了它所同化元素的影响而发生了改变。换言之，同化即将客体纳入主体已有的图式之中，引起图式的量变;顺应即当主体的图式与客体发生冲突时，就调节原有的图式，创立新的图式，从而引起质变。最后，个体在与外界环境的不断接触中，通过同化和顺应两种变化来达到某种相对稳定的状态，即平衡状态。学生自身未能实现同化的，出现各式各样的误解或者错误，这正是教师教学需要下功夫之处。
2.分数应用题常见错误及成因分析
学生解答分数应用题常见错误有数量关系分析不得当、误判单位“1”、分量与分率理解不到位、量率不对应、计算等导致错误等，具体分析如下。
（1）数量关系分析不得当
例题1：有两包糖，甲包比乙包多千克，如果从乙包中取出千克放入甲包，这时甲包比乙包多多少千克？
是没有仔细分析清楚数量关系，凭借直觉简单的对两个分数相加;学生感知到两个分数，但仅仅感知了两个分数，没有理解数量关系背后的意义。即感知到了数字，没有感知到问题情境的真实含义。在分析数量关系时，学生没有理解清楚从乙包中取出五分之一放入甲包，并非仅仅意味着甲包增加了，还有一个情况是乙包也面临减少了五分之一，学生头脑中已有的图式未被准确的同化、顺应、平衡，于是出现了错误，此题正确答案是，，所以甲包比乙包多，为了提高小学生的认识以及正确率，此题可以通过画图的方式给小学生演示甲包、乙包取出和放入的过程。
（2）误判单位“1”
例题2：一台电脑5000元，先降价，再涨价，小红说：这台电脑现价与原价相等。小明说：这台电脑低于原价。谁说的对？现价是多少元？
学生的错误答案是小红对，现价和原价相等。此题从直觉角度看，两个十分之一会给人一种误解，误认为是一样多。另外，从学生已有的整数经验来看，如果题目改为一台电脑5000元，先降价500，再涨价500元，问现价与原价之间的关系，那么这样是一样多的。学生发生错误的原因还有一种可能是，已有的图式在遇到新情况时不能被很好同化与顺应，也就是学生意识到了此题的情况与整数情况是不同的，但是无法找到变化后的单位“1”，于是做出了错误的判断。正确的解法是：两次单位“1”不同。第一次的单位1是5000元，第二次的单位“1”是5000×（1-）=4500元，所以，4500×（1+）=4950，4950<5000，所以小明说的对。
（3）分量与分率理解不到位
例题3：两根同样长的绳子，从第一根截取它的，从第二根上截取米，余下部分哪个长？
学生的经典错误答案是认为两条绳子余下的部分是一样长的。学生已有的整数学习经验表明，如果此题改为两根同样长的绳子，第一根截取3米，第二根上截取3米，剩下的部分哪个长？如果改为这样的题目，两根绳子余下的一定是一樣多的，但是如果是分数，虽然分数都是，但是一个表示分率，一个表示分量，量是有单位的，率是没有单位的，学生出错是因为受到了已有知识经验的影响;还有学生发现了和米之间的区别，但是因为未能顺利的进行同化和顺应，不知道此题应该如何下手分析，即整数经验的图式在新的问题情境下已不适用了，需要修改图式以适应新的问题情。所以正确的答案是两根绳子无法比较，从情感角度来看，小学生更希望做出具体答案，比如，第一根长、第二根长或者同样长，学生更不愿意选择无法比较这样的选项。为了准确的做出判断，通常会用设数的方法来解答此题，设绳子长1米和7米进行分析判断。
（4）量率不对应
例题4：一辆车从甲地开往乙地，如果把车速减少，那么要比原定时间迟到1小时到达，如果以原始行驶180千米，再把车速提高，那么可以比原定时间早1小时到达。甲、乙两地之间的距离是多少千米？
此题是小升初考试的一道原题。学生处理此题时，能够正确计算第一种情况下原定时间1÷×（1-）=9小时，或者计算V原：V现=10：9，T原：T现=9：10;第二种情况中，V原：V剩现=5：6，T原：T剩现=6：5，学生的错误在于用180对应的是先行的路程，而前边讨论的剩下部分的速度和时间问题，所以，不能用量“180”除以率，量率是不对应的，如果此题教师讲解后学生仍找不到量率对应关系，教师可以通过画图的方式辅助学生理解。
（5）逆向思维
例题5：孙悟空从山上采回一堆桃子，打算四天吃完，第一天吃了全部桃子的又3个，第二天它吃了剩下桃子的又2个，第三天吃了这时剩下的又一个，第四天正好只能吃1个。孙悟空从山上采回了多少个桃子？这道题目是分数应用题中非常经典的一道题，通常学生习惯于正向的数量关系来分析，尝试列方程解应用题，但是，列式过于复杂，计算量过大导致各式各样的错误。当然，学生拿到之后会感到无从下手，即头脑中已有的图式不足以分析解答孙悟空采桃子的问题。这道题和以往的题目不同的是，要逆向思维从第四天开始分析，倒推第三天、第二天、第一天最后求出所有的桃子总量。（1+1）÷（1-）=4（个） 4+2=6（个） 6÷=9（个） 9+3=12（个） 12÷=16（个）
学生在初学分数应用题会出现各式各样的错误，教师可把学生的错误进行收集、归纳、分类、整理，分析，真正实现“预测错误—辨别错误—解释错误—应用错误。”预测错误是在学生未发生错误之前，教师进行的预判，出现错误之后，教师需要辨别错误，呈现错误，澄清误解，修正错误，解释应用，帮助学生实现从“误”到“悟”的转变。
参考文献
[1]陈琦，刘德儒.当代教育心理学[J].北京：北京师范大学出版社，2015（07）：30-37
[2]李友莉.皮亚杰认知发展理论对小学数学教学的启示[J].现代教育科学，2019（02）：141-146