论文部分内容阅读
【摘要】人教版高中数学新教材已在部分省市推行。新教材要为学生提供学习方法的指导，促进学生形成良好的学习习惯和学习思维，按照课程标准的要求，培养学生的数学关键能力，还需要在教学过程中加以引导。作者以人教版高中数学新教材“立体几何初步”为例，结合2021年新高考全国I卷立体几何来解读新教材，对于学生高中数学关键能力的培养提供一点教学建议。
【关键词】新教材;立体几何;新高考;数学关键能力
立体几何作为高中数学不可或缺的一部分，也是让学生“恐懼”的内容，特别是对于空间想象能力比较弱的学生来说，即使通过直观图，也无法在脑海中形成立体与平面的转换。而作为高考必考的一个重要内容，学生在立体几何上花了很多功夫，但是，通过考试显现出来的效果却是比较微弱的。所以，作为教师要结合新高考解读新教材，利用信息技术，注重学生在空间视觉的锻炼，培养学生的数学关键能力，运用合理的方式来弥补学生的短板，从而更好地学习立体几何知识。本文以人教A版数学必修二“立体几何初步”为例，领会教材编写者的设计意图，从而更好地开展教学。
一、新教材分析——以立体几何初步为例
1.知识的整体性与数学关键能力培养的联系
旧教材关注知识点与基本技能的传授已满足不了现代社会的发展需求，知识是不断进步的，新课标的教学不能止步于知识点的传授，而应适应社会，引导学生学会思考，关注数学的学科思想与思维方式，培养学生的数学关键能力。数学关键能力中，立体几何的学习主要依赖于数学抽象能力和直观想象与化归能力。相比旧教材，2019年人教A版新教材搭建了全新的知识架构，凸显了知识的整体性，也打破老教材松散的知识体系;弥补了这个缺陷，梳理出一条清晰的教学主线，把旧教材中“空间几何体”与“点、直线、平面的位置关系”两章合并为一章，组成了新教材必修二第八章，让内容更连贯统一，也符合学生的认知规律。
原本从研究立体几何的数学逻辑来看，应该从点线面出发来研究其概念和基本性质，在此基础上再研究点线面的位置关系，再由特殊关系（垂直和平行）出发研究由这些基本元素组成的几何体，继而研究它们的结构特征和面积体积。这种从局部到整体，这种学习的思路结构严谨，但却与学生的认知规律相悖。新旧教材都认识到这一点，而新教材更加凸显了学生认知规律。学生观察世界，首先接触的是具体的几何体，因而学习立体几何也应从几何体的整体性入手。而对于那些与教学主线联系不紧密的，可有可无的内容或者学生暂且掌握不了的内容，新教材进行了删减。本章内容的主线如图1，将现实生活中的“基本立体图形”在平面上表示需要用到直观图，求几何体的表面积体积也需要用直观图来表示，所以，直观图起到了承上启下的作用。而三视图在辅助学生认识立体图形的作用甚微，为体现教学内容的整体性，对“三视图”内容进行了删除，在课后习题通过两道习题考查学生的直观想象力，但高考不作要求。这样的安排使得第一节内容更为连贯统一。同时，对于一些存在研究价值但又干扰主线内容的进行调整。例如，在点线面的位置关系中，将公理表述为基本事实，新教材将旧教材“直线与直线的位置关系”中的公理4、等角定理放在“空间直线、平面平行中直线与直线平行”这一节，使得“点、直线、平面的位置关系”这一节更加清晰顺畅。把旧教材中公理1和公理2调换顺序，由不共线三点确定一个平面再到直线与直线外一点确定一个平面即从点点再到点线，探究层层深入。而对于原来旧教材中“点、直线、平面的位置关系”的习题作为3个推论放在基本事实3后，这也反映了新教材更加符合培养学生化归能力。基本事实1、推论1、推论2和推论3都可以确定有且只有一个平面，而以上结论在研究后续的平行垂直也经常用到，总结升华。
图1
2.注重方法引领
新教材从学生的认知规律出发，注重研究路径的构建。直观感知、操作确认、推理论证、度量计算是认识立体图形的基本办法，也是学习研究立体几何的基本路径。所以，新教材从整体性出发的排序也是：基本立体图形（直观感知）—立体直观图（操作确认）—表面积体积（度量计算）—平行垂直关系（推理论证），有整体认知到局部学习再到整体，这对于学生研究解决立体几何问题是很有帮助的。
首先，基本立体图形，从现实世界中抽象出立体图形，数学抽象能力在这里得到体现，新教材从局部出发，在内容调整上也注重学生平时学习中的总结分类。如，旧教材把表面积体积分为“柱体、锥体、台体的表面积和体积”与“球的体积和表面积”两类。新教材从简单几何体—多面体和旋转体出发，分为“棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积”和“圆柱、圆锥、圆台、球的表面积体积”两类，首尾呼应。同时，新教材进而再通过圆柱、圆锥、圆台、球的表面积公式和体积公式探究公式与立体图形的联系，引导学生发现当圆台上底面积增大变为圆柱，反之缩小变为圆锥，深入挖掘数与形的内在联系，再精彩不过。旧教材也有对此进行探究，但没有给出结论。新教材，提供了生活化的语言让学生探究后，感知结论，学生在预习的过程中即能得到引导。这也是我们需要培养学生的数学直观想象与化归能力。对于球的体积、表面积，新旧教材在处理的过程中有明显的不同。新教材直接给出球的表面积公式，并利用表面积类比圆周长求圆面积的方法，利用球的表面积求体积。在教学参考中也给出旧教材的方法即利用祖暅原理从体积再推回表面积。简化学生学习立体几何的压力，教师可根据学情安排学习内容，同时也突出了教材表达的数学极限思想。体积计算又与前面学习锥体体积串联，更加完整统一。
学习几何体从按照数学模型—数学图形—文字描述—符号语言探究路径展开，学生可以举一反三，学习过程也可以得到知识概念的巩固。
细节上，新教材把“公理”改为“基本事实”体现了数学的严谨性。
3.学科关键能力培养的体现
新旧教材的变化还体现在选修的内容安排上。新教材将旧教材中关于空间角、空间距离的概念从原来的选修2-1中与空间向量结合，提前放到新教材必修二中的“空间直线、平面的垂直”，与立体几何初步合为一章。虽说缺少了以向量作为工具来解决空间角的问题对于有些题目而言，难度还是有的，但从培养学生数学抽象能力、直观想象与化归能力而言，却是更胜一筹的。空间角概念的确立离不开垂直，只有当学生对概念理解透彻，才能在空间中形成对空间角的直观图形，强化空间角的由来及其与垂直的关系与利用图形进行数学思考与想象的意识。再从高二数学选修中利用向量工具形成数与形的紧密联系，避免造成学生对于空间角的理解只停留在利用向量工具解题的层面上。从形到数，简化问题，再由数到形发现形新的规律和特点，使得学生的数学猜想与逻辑推理能力得到巩固。 二、新高考对于学生关键能力的考查
今年是山东实行新高考的第二年，是广东实行新高考的第一年。这两年新高考试题与新教材内容的融合对于我们的教学具有较强的参考价值。
1.真题再现
（1）试题问题分析
2020年新高考全國1卷第20题以四棱锥为载体，底面为正方形，一条侧棱和底面垂直，是学生非常熟悉的几何体。第（1）问考查线面垂直，但是该条直线却是图形没有出现的平面PAD与平面PBC的交线，找出这条交线是解决本题的关键点。第二问在需要依赖这条交线的动点Q，构造平面QCD，要找到定直线PB与动平面QCD所成角，并求出该角的正弦值。
2021年新高考全国卷1卷的第（1）问则考查线线垂直，利用面面垂直的性质证明。第（2）问则是求体积由二面角转化为所求三棱锥的高，在这里也是其命题的创新点。该题运用向量法或几何法都可以解决，几何法难度稍大但相较以往的立体几何大题还是比较简单的，特别是对比学生在此之前参加的八省联考数学卷中的立体几何大题。在题目设置上，我们都感受到了新高考数学试题明显的“反常规”“反套路”、创新之中求稳的特点。通过创新的设问，增加了题目的灵活度，注重考查学生的探究意识和创新意识，但也注重学生的学习基础，也体现了新高考新教材的理念。
（2）试题关键能力考查分析
2020年新高考1卷考查空间想象力、运算求解能力和逻辑思维能力，学生需要从题目给出的图形中延伸到两个平面的交线，需要学生在脑海中有两个平面的直观图的概念、发现，并寻找线面垂直的条件，进而把图形语言转化为符号语言。灵活选择向量或者几何法解决空间角的问题，这也需要学生有扎实的数学逻辑思维能力。
2021年新高考1卷考查学生的逻辑推理能力、直观想象能力、运算求解能力。学生在此题目中寻找线线垂直的条件，需要对“直线与平面垂直”的各个判定定理与性质具有清晰的逻辑判断。第二小问则需要灵活地选择几何法或者向量中求出体积。这里都需要一定的运算能力。若能从几何法入手解决，则对学生关于空间角与垂直与体积的关系的空间想象力要求是比较高的，若用空间向量解决，则对学生的数学运算求解能力也有一定的要求。
2.结合新高考，立体几何中学生需要突破的数学关键能力
相比八省联考，新高考全国卷本着“新中求稳”的节奏出题，从高考题可看出，一定量的练习确实对于考试颇有益处。但八省联考的立体几何大题也是一个启示，学生要能适应新变化，则更能在学习当中拔得头筹。高考在立体几何中考查学生的关键能力主要在于数学抽象能力、直观想象与化归能力、运算能力、逻辑推理能力。其中，直观想象与化归能力是学生所需要突破的难点。
三、教学建议
领会新教材的编写设计意图，我们应注重数学模型对于解题的应用，从模型入手认识立体模型。此处，教师若能通过信息技术来帮助学生认识，在脑海中形成立体图形的认识是很重要的。注重教学情境的创设，将教学引向概念本质的学习，从概念探究路径的教学，引导鼓励学生在解决问题时要注重探究方法与分析问题，而解决问题有多种途径，也应能灵活应用。同时，在表达过程中如何有条理地表达自己的思维过程，也是教师在教学过程所要注重引导的，即符号语言，自然语言与图形语言的转换。
参考文献：
[1]朱立明.高中生数学关键能力研究的追溯与前瞻[J].天津师范大学学报（基础教育版），2019.
【关键词】新教材;立体几何;新高考;数学关键能力
立体几何作为高中数学不可或缺的一部分，也是让学生“恐懼”的内容，特别是对于空间想象能力比较弱的学生来说，即使通过直观图，也无法在脑海中形成立体与平面的转换。而作为高考必考的一个重要内容，学生在立体几何上花了很多功夫，但是，通过考试显现出来的效果却是比较微弱的。所以，作为教师要结合新高考解读新教材，利用信息技术，注重学生在空间视觉的锻炼，培养学生的数学关键能力，运用合理的方式来弥补学生的短板，从而更好地学习立体几何知识。本文以人教A版数学必修二“立体几何初步”为例，领会教材编写者的设计意图，从而更好地开展教学。
一、新教材分析——以立体几何初步为例
1.知识的整体性与数学关键能力培养的联系
旧教材关注知识点与基本技能的传授已满足不了现代社会的发展需求，知识是不断进步的，新课标的教学不能止步于知识点的传授，而应适应社会，引导学生学会思考，关注数学的学科思想与思维方式，培养学生的数学关键能力。数学关键能力中，立体几何的学习主要依赖于数学抽象能力和直观想象与化归能力。相比旧教材，2019年人教A版新教材搭建了全新的知识架构，凸显了知识的整体性，也打破老教材松散的知识体系;弥补了这个缺陷，梳理出一条清晰的教学主线，把旧教材中“空间几何体”与“点、直线、平面的位置关系”两章合并为一章，组成了新教材必修二第八章，让内容更连贯统一，也符合学生的认知规律。
原本从研究立体几何的数学逻辑来看，应该从点线面出发来研究其概念和基本性质，在此基础上再研究点线面的位置关系，再由特殊关系（垂直和平行）出发研究由这些基本元素组成的几何体，继而研究它们的结构特征和面积体积。这种从局部到整体，这种学习的思路结构严谨，但却与学生的认知规律相悖。新旧教材都认识到这一点，而新教材更加凸显了学生认知规律。学生观察世界，首先接触的是具体的几何体，因而学习立体几何也应从几何体的整体性入手。而对于那些与教学主线联系不紧密的，可有可无的内容或者学生暂且掌握不了的内容，新教材进行了删减。本章内容的主线如图1，将现实生活中的“基本立体图形”在平面上表示需要用到直观图，求几何体的表面积体积也需要用直观图来表示，所以，直观图起到了承上启下的作用。而三视图在辅助学生认识立体图形的作用甚微，为体现教学内容的整体性，对“三视图”内容进行了删除，在课后习题通过两道习题考查学生的直观想象力，但高考不作要求。这样的安排使得第一节内容更为连贯统一。同时，对于一些存在研究价值但又干扰主线内容的进行调整。例如，在点线面的位置关系中，将公理表述为基本事实，新教材将旧教材“直线与直线的位置关系”中的公理4、等角定理放在“空间直线、平面平行中直线与直线平行”这一节，使得“点、直线、平面的位置关系”这一节更加清晰顺畅。把旧教材中公理1和公理2调换顺序，由不共线三点确定一个平面再到直线与直线外一点确定一个平面即从点点再到点线，探究层层深入。而对于原来旧教材中“点、直线、平面的位置关系”的习题作为3个推论放在基本事实3后，这也反映了新教材更加符合培养学生化归能力。基本事实1、推论1、推论2和推论3都可以确定有且只有一个平面，而以上结论在研究后续的平行垂直也经常用到，总结升华。
图1
2.注重方法引领
新教材从学生的认知规律出发，注重研究路径的构建。直观感知、操作确认、推理论证、度量计算是认识立体图形的基本办法，也是学习研究立体几何的基本路径。所以，新教材从整体性出发的排序也是：基本立体图形（直观感知）—立体直观图（操作确认）—表面积体积（度量计算）—平行垂直关系（推理论证），有整体认知到局部学习再到整体，这对于学生研究解决立体几何问题是很有帮助的。
首先，基本立体图形，从现实世界中抽象出立体图形，数学抽象能力在这里得到体现，新教材从局部出发，在内容调整上也注重学生平时学习中的总结分类。如，旧教材把表面积体积分为“柱体、锥体、台体的表面积和体积”与“球的体积和表面积”两类。新教材从简单几何体—多面体和旋转体出发，分为“棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积”和“圆柱、圆锥、圆台、球的表面积体积”两类，首尾呼应。同时，新教材进而再通过圆柱、圆锥、圆台、球的表面积公式和体积公式探究公式与立体图形的联系，引导学生发现当圆台上底面积增大变为圆柱，反之缩小变为圆锥，深入挖掘数与形的内在联系，再精彩不过。旧教材也有对此进行探究，但没有给出结论。新教材，提供了生活化的语言让学生探究后，感知结论，学生在预习的过程中即能得到引导。这也是我们需要培养学生的数学直观想象与化归能力。对于球的体积、表面积，新旧教材在处理的过程中有明显的不同。新教材直接给出球的表面积公式，并利用表面积类比圆周长求圆面积的方法，利用球的表面积求体积。在教学参考中也给出旧教材的方法即利用祖暅原理从体积再推回表面积。简化学生学习立体几何的压力，教师可根据学情安排学习内容，同时也突出了教材表达的数学极限思想。体积计算又与前面学习锥体体积串联，更加完整统一。
学习几何体从按照数学模型—数学图形—文字描述—符号语言探究路径展开，学生可以举一反三，学习过程也可以得到知识概念的巩固。
细节上，新教材把“公理”改为“基本事实”体现了数学的严谨性。
3.学科关键能力培养的体现
新旧教材的变化还体现在选修的内容安排上。新教材将旧教材中关于空间角、空间距离的概念从原来的选修2-1中与空间向量结合，提前放到新教材必修二中的“空间直线、平面的垂直”，与立体几何初步合为一章。虽说缺少了以向量作为工具来解决空间角的问题对于有些题目而言，难度还是有的，但从培养学生数学抽象能力、直观想象与化归能力而言，却是更胜一筹的。空间角概念的确立离不开垂直，只有当学生对概念理解透彻，才能在空间中形成对空间角的直观图形，强化空间角的由来及其与垂直的关系与利用图形进行数学思考与想象的意识。再从高二数学选修中利用向量工具形成数与形的紧密联系，避免造成学生对于空间角的理解只停留在利用向量工具解题的层面上。从形到数，简化问题，再由数到形发现形新的规律和特点，使得学生的数学猜想与逻辑推理能力得到巩固。 二、新高考对于学生关键能力的考查
今年是山东实行新高考的第二年，是广东实行新高考的第一年。这两年新高考试题与新教材内容的融合对于我们的教学具有较强的参考价值。
1.真题再现
（1）试题问题分析
2020年新高考全國1卷第20题以四棱锥为载体，底面为正方形，一条侧棱和底面垂直，是学生非常熟悉的几何体。第（1）问考查线面垂直，但是该条直线却是图形没有出现的平面PAD与平面PBC的交线，找出这条交线是解决本题的关键点。第二问在需要依赖这条交线的动点Q，构造平面QCD，要找到定直线PB与动平面QCD所成角，并求出该角的正弦值。
2021年新高考全国卷1卷的第（1）问则考查线线垂直，利用面面垂直的性质证明。第（2）问则是求体积由二面角转化为所求三棱锥的高，在这里也是其命题的创新点。该题运用向量法或几何法都可以解决，几何法难度稍大但相较以往的立体几何大题还是比较简单的，特别是对比学生在此之前参加的八省联考数学卷中的立体几何大题。在题目设置上，我们都感受到了新高考数学试题明显的“反常规”“反套路”、创新之中求稳的特点。通过创新的设问，增加了题目的灵活度，注重考查学生的探究意识和创新意识，但也注重学生的学习基础，也体现了新高考新教材的理念。
（2）试题关键能力考查分析
2020年新高考1卷考查空间想象力、运算求解能力和逻辑思维能力，学生需要从题目给出的图形中延伸到两个平面的交线，需要学生在脑海中有两个平面的直观图的概念、发现，并寻找线面垂直的条件，进而把图形语言转化为符号语言。灵活选择向量或者几何法解决空间角的问题，这也需要学生有扎实的数学逻辑思维能力。
2021年新高考1卷考查学生的逻辑推理能力、直观想象能力、运算求解能力。学生在此题目中寻找线线垂直的条件，需要对“直线与平面垂直”的各个判定定理与性质具有清晰的逻辑判断。第二小问则需要灵活地选择几何法或者向量中求出体积。这里都需要一定的运算能力。若能从几何法入手解决，则对学生关于空间角与垂直与体积的关系的空间想象力要求是比较高的，若用空间向量解决，则对学生的数学运算求解能力也有一定的要求。
2.结合新高考，立体几何中学生需要突破的数学关键能力
相比八省联考，新高考全国卷本着“新中求稳”的节奏出题，从高考题可看出，一定量的练习确实对于考试颇有益处。但八省联考的立体几何大题也是一个启示，学生要能适应新变化，则更能在学习当中拔得头筹。高考在立体几何中考查学生的关键能力主要在于数学抽象能力、直观想象与化归能力、运算能力、逻辑推理能力。其中，直观想象与化归能力是学生所需要突破的难点。
三、教学建议
领会新教材的编写设计意图，我们应注重数学模型对于解题的应用，从模型入手认识立体模型。此处，教师若能通过信息技术来帮助学生认识，在脑海中形成立体图形的认识是很重要的。注重教学情境的创设，将教学引向概念本质的学习，从概念探究路径的教学，引导鼓励学生在解决问题时要注重探究方法与分析问题，而解决问题有多种途径，也应能灵活应用。同时，在表达过程中如何有条理地表达自己的思维过程，也是教师在教学过程所要注重引导的，即符号语言，自然语言与图形语言的转换。
参考文献：
[1]朱立明.高中生数学关键能力研究的追溯与前瞻[J].天津师范大学学报（基础教育版），2019.