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在小学阶段设置简单的“概率”内容,主要是为了培养学生的随机思想,让其学会用概率的眼光去观察大千世界,而不仅仅是以确定的、一成不变的思维方式去理解事物。所以概率教学的核心是培养学生的随机观念。那么什么是随机观念呢?包括两个方面:一是体会随机事件的不确定性。二是理解大量重复实验时呈现一种规律性,也就是频率稳定于概率。下面笔者以五下“可能性大小”第一课时为例,谈谈学生随机概念的培养。教材选择了掷硬币的实验,掷硬币是最典型的随机事件,也是学生熟悉并喜欢的一项活动。那么这节课究竟要做些什么?是否就是为了得到二分之一?我的观点是“重要的不是得到二分之一 ”。
一、凭经验就能判断,那还需要做实验吗?
学生并不是头脑空空地等着从我们教师口中得到概率的正确理论。在正式教学之前,学生已经积累了大量的随机经验。那么教学之前,他们是怎么看待、认识、理解可能性的?笔者对小学四年级30名学生作了一个小型的问卷调查。
调查题1:国际足球赛都采用掷一枚均匀的硬币决定谁开场,你觉得公平的理由是:(1)因为硬币只有一个正面和反面;(2)因为硬币掷下去正面和反面出现的可能性相等;(3)因为硬币掷下去正面出现的次数和反面出现的次数相等。……………………( )
调查题2:投掷一枚均匀的硬币一次,结果正面朝上,如果再投掷第二次,最有可能出现的情况是什么?(1)正面更有可能出现;(2)反面更有可能出现;(3)正面和反面出现的可能性相等。( )
调查结果显示,100%的学生都能判断掷硬币是公平的,并且有80%的学生知道正反面出现的可能性相等,部分学生还能用分数“”表示可能性大小,这充分说明学生已有等可能性的经验。
著名的专家张奠宙说过:“等可能事件发生的概率,是通过理性思考得出的,并不依赖于实验。”这句话的意思就是今天硬币正反面出现的概率“”不是靠实验得到的,而是专家通过实验理性分析得到的。
教师们发现,不做实验、不分析,学生似乎理解得很顺利:“抛硬币,正反面向上的可能性相等”;做了实验之后,却是另一番景象:越分析越糊涂——在一堆悬殊很大的数据面前,教师试图说服学生可能性相等是那么苍白无力,于是教师便想尽一切办法,选择相等的或接近相等的数据以支持“可能性相等”的结论而草草收场。更有甚者,干脆选择回避:不做说不清道不明的抛硬币实验,改做更容易驾驭的可能性有大小的实验;更极端的索性不做实验。
学生确实在正式学习概率之前就已经具备一定的经验了,在面临简单的可能事件时凭经验就能判断,那还需要做实验吗?学生和我们大人一样能判断抛硬币是公平性的,并且知道是等可能,但是同样回答“可能”,对可能事件的理解却可能有着天壤之别。孩子们知道公平,并不证明学生已经真正理解了等可能性的本质,已经有了随机思想,其实学生还潜存着大量的错误认识和偏见。笔者认为实验不仅要做,而且要多次做。
理由一,学生学习概率的一个重要目标是体会随机现象的特点,即:在相同的条件下重复同样的实验,其实验结果不确定,以至于在实验之前无法预料哪一个结果会出现。为了达到这一目标,概率实验是不可或缺的。
理由二,大量随机事件发生的概率是不能依靠计算得出的,实验是获取概率的更一般的方法。陈希孺先生指出:“一事件出现的可能性大小,应由在多次重复实验中其出现的频繁程度去刻画。”
理由三,概率实验可以帮助学生澄清一些误解。
总之,掷硬币实验本身重要的不是为了得到“”,而是澄清学生潜在的错误认识,体会到不确定也有稳定。我想,这就是在小学阶段学习概率的一个重要原因。
二、学生还存在哪些错误的认识?
学生会有哪些潜在的错误认识呢?通过调查我们发现:
1.对随机事件的不确定性认识不够,以为一切事情都有着明确的答案和确定的结果。例如:快到期末了,我们班40名同学中要评选一名三好学生,李明同学被评为三好学生的可能性是多少?
(1)可能性是(2)没有可能性; (3)无法解答。
以上问题因为不是等可能,所以无法解答。我们知道从“可能性的大小”到“可能性相等”,在认识上是一个飞跃:因为有“可能性相等”,可能性才可以用分数表示,从而实现可能性从定性到定量的过渡。
随机思想有时会与因果的、逻辑的、确定性的思维形成冲突。对于长期习惯于确定性思维的学生来说,要短时间建立随机思想是何等的艰难!他们很自然拥有的大量的貌似正确实际是错误的想法严重影响了这一目标的实现。
2.对可能性产生偏见。认为一件事情有几种结果,那么这几种结果出现的可能性是相等的。如:同时抛两枚同样的硬币,结果:认为两个都是正面朝上,两个都是反面朝上,一个正面朝上、一个反面朝上,这三种情况出现的可能性一样。(27%,因为各个年级差异不大,故没有分别统计)
3.预言结果。即预言每次实验的结果,将可能性估计建立在因果的联系上。如有58%的孩子对抛硬币出现正面朝上的可能是二分之一的理解是抛十次硬币出现五正五反,抛一百次硬币是50正50反就是二分之一; “盒子里有7个白球和3个黄球,任意摸5次,摸到白球的次数一定比黄球多,对吗?”认为对的占86.6%。
综上所述,没有接受过正式教学的学生,在生活中也已经积累了一些关于随机现象的经验,对可能、一定能加以区别,部分学生对可能性的大小也有所体验,但也存在着形形色色的潜在的对可能性的模糊、错误的认识。
关于概率,学生乃至成人还有相当多的认识误区,因此,这节课的重点就是澄清错误认识,只有这样才能真正培养学生的随机思想观念。
三、直面错误,亲手实验来澄清
要用一个正确的概念来代替一个错误概念、用第二直觉来代替第一直觉、用一个数学模型来代替直观评判是非常困难的,信念和概念的改变是缓慢的。李俊等学者的研究都显示,学生在正式开始学概率之前就已经形成一些错误概念了,在学概率期间还有可能产生新的错误概念,学习结束之后可能还存在某些错误概念,即便教学是基于对错误概念的了解之上,某些错误概念还是顽固得难以消除。概率说理有一个特殊问题,那就是它有时会与因果的、逻辑的、确定性的思维形成冲突,如果仅用口头说教的方式是难以改变学生直觉的。因此教师就该创设情境,鼓励学生用真实的数据、活动以及直观的模拟实验去检查、修正或改正自己对概率的认识。因此,实验就显得非常重要。孩子们会出现很多错误的认识,这是非常正常的,我们可以通过实验来帮助他澄清。比如有的孩子对抛硬币出现正面朝上的可能是二分之一的理解是抛十次硬币出现五正五反、抛一百次硬币是50正50反就是二分之一,通过实验可以帮助学生认识到可能性是二分之一并不是说正面朝上要正好占总次数的一半,要正好出现一半的可能性实际上是随着次数的增加而可能性越来越大,如十次中五正五反的可能性是24.6%,但是在五左右的可能性还是非常大的。
(浙江省海宁市紫微小学314000)
一、凭经验就能判断,那还需要做实验吗?
学生并不是头脑空空地等着从我们教师口中得到概率的正确理论。在正式教学之前,学生已经积累了大量的随机经验。那么教学之前,他们是怎么看待、认识、理解可能性的?笔者对小学四年级30名学生作了一个小型的问卷调查。
调查题1:国际足球赛都采用掷一枚均匀的硬币决定谁开场,你觉得公平的理由是:(1)因为硬币只有一个正面和反面;(2)因为硬币掷下去正面和反面出现的可能性相等;(3)因为硬币掷下去正面出现的次数和反面出现的次数相等。……………………( )
调查题2:投掷一枚均匀的硬币一次,结果正面朝上,如果再投掷第二次,最有可能出现的情况是什么?(1)正面更有可能出现;(2)反面更有可能出现;(3)正面和反面出现的可能性相等。( )
调查结果显示,100%的学生都能判断掷硬币是公平的,并且有80%的学生知道正反面出现的可能性相等,部分学生还能用分数“”表示可能性大小,这充分说明学生已有等可能性的经验。
著名的专家张奠宙说过:“等可能事件发生的概率,是通过理性思考得出的,并不依赖于实验。”这句话的意思就是今天硬币正反面出现的概率“”不是靠实验得到的,而是专家通过实验理性分析得到的。
教师们发现,不做实验、不分析,学生似乎理解得很顺利:“抛硬币,正反面向上的可能性相等”;做了实验之后,却是另一番景象:越分析越糊涂——在一堆悬殊很大的数据面前,教师试图说服学生可能性相等是那么苍白无力,于是教师便想尽一切办法,选择相等的或接近相等的数据以支持“可能性相等”的结论而草草收场。更有甚者,干脆选择回避:不做说不清道不明的抛硬币实验,改做更容易驾驭的可能性有大小的实验;更极端的索性不做实验。
学生确实在正式学习概率之前就已经具备一定的经验了,在面临简单的可能事件时凭经验就能判断,那还需要做实验吗?学生和我们大人一样能判断抛硬币是公平性的,并且知道是等可能,但是同样回答“可能”,对可能事件的理解却可能有着天壤之别。孩子们知道公平,并不证明学生已经真正理解了等可能性的本质,已经有了随机思想,其实学生还潜存着大量的错误认识和偏见。笔者认为实验不仅要做,而且要多次做。
理由一,学生学习概率的一个重要目标是体会随机现象的特点,即:在相同的条件下重复同样的实验,其实验结果不确定,以至于在实验之前无法预料哪一个结果会出现。为了达到这一目标,概率实验是不可或缺的。
理由二,大量随机事件发生的概率是不能依靠计算得出的,实验是获取概率的更一般的方法。陈希孺先生指出:“一事件出现的可能性大小,应由在多次重复实验中其出现的频繁程度去刻画。”
理由三,概率实验可以帮助学生澄清一些误解。
总之,掷硬币实验本身重要的不是为了得到“”,而是澄清学生潜在的错误认识,体会到不确定也有稳定。我想,这就是在小学阶段学习概率的一个重要原因。
二、学生还存在哪些错误的认识?
学生会有哪些潜在的错误认识呢?通过调查我们发现:
1.对随机事件的不确定性认识不够,以为一切事情都有着明确的答案和确定的结果。例如:快到期末了,我们班40名同学中要评选一名三好学生,李明同学被评为三好学生的可能性是多少?
(1)可能性是(2)没有可能性; (3)无法解答。
以上问题因为不是等可能,所以无法解答。我们知道从“可能性的大小”到“可能性相等”,在认识上是一个飞跃:因为有“可能性相等”,可能性才可以用分数表示,从而实现可能性从定性到定量的过渡。
随机思想有时会与因果的、逻辑的、确定性的思维形成冲突。对于长期习惯于确定性思维的学生来说,要短时间建立随机思想是何等的艰难!他们很自然拥有的大量的貌似正确实际是错误的想法严重影响了这一目标的实现。
2.对可能性产生偏见。认为一件事情有几种结果,那么这几种结果出现的可能性是相等的。如:同时抛两枚同样的硬币,结果:认为两个都是正面朝上,两个都是反面朝上,一个正面朝上、一个反面朝上,这三种情况出现的可能性一样。(27%,因为各个年级差异不大,故没有分别统计)
3.预言结果。即预言每次实验的结果,将可能性估计建立在因果的联系上。如有58%的孩子对抛硬币出现正面朝上的可能是二分之一的理解是抛十次硬币出现五正五反,抛一百次硬币是50正50反就是二分之一; “盒子里有7个白球和3个黄球,任意摸5次,摸到白球的次数一定比黄球多,对吗?”认为对的占86.6%。
综上所述,没有接受过正式教学的学生,在生活中也已经积累了一些关于随机现象的经验,对可能、一定能加以区别,部分学生对可能性的大小也有所体验,但也存在着形形色色的潜在的对可能性的模糊、错误的认识。
关于概率,学生乃至成人还有相当多的认识误区,因此,这节课的重点就是澄清错误认识,只有这样才能真正培养学生的随机思想观念。
三、直面错误,亲手实验来澄清
要用一个正确的概念来代替一个错误概念、用第二直觉来代替第一直觉、用一个数学模型来代替直观评判是非常困难的,信念和概念的改变是缓慢的。李俊等学者的研究都显示,学生在正式开始学概率之前就已经形成一些错误概念了,在学概率期间还有可能产生新的错误概念,学习结束之后可能还存在某些错误概念,即便教学是基于对错误概念的了解之上,某些错误概念还是顽固得难以消除。概率说理有一个特殊问题,那就是它有时会与因果的、逻辑的、确定性的思维形成冲突,如果仅用口头说教的方式是难以改变学生直觉的。因此教师就该创设情境,鼓励学生用真实的数据、活动以及直观的模拟实验去检查、修正或改正自己对概率的认识。因此,实验就显得非常重要。孩子们会出现很多错误的认识,这是非常正常的,我们可以通过实验来帮助他澄清。比如有的孩子对抛硬币出现正面朝上的可能是二分之一的理解是抛十次硬币出现五正五反、抛一百次硬币是50正50反就是二分之一,通过实验可以帮助学生认识到可能性是二分之一并不是说正面朝上要正好占总次数的一半,要正好出现一半的可能性实际上是随着次数的增加而可能性越来越大,如十次中五正五反的可能性是24.6%,但是在五左右的可能性还是非常大的。
(浙江省海宁市紫微小学314000)