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摘 要： 数控加工仿真是计算机辅助设计与制造的关键技术之一。复杂曲面加工的仿真技术对于加工精度和加工表面质量分析具有重要意义。作者通过对数控加工基本运动单元的深入分析，归纳出利用数控运动参数求解刀具表面与工件表面之间相对运动的方法。该方法简单，计算效率高，为数控加工仿真的通用算法打下基础。
关键词： 数控加工仿真 复杂曲面 运动单元 相对运动
1.引言
由于数控机床加工复杂曲面时，可以根据曲面特性，将包络过程分为行切和环切。刀具通过在加工方向和进给方向两个方向的运动，包络出所需的工件廓形。行切法是数控加工中常用的方式，本文首先对此加工方式进行分析。
一般五坐标数控机床都有三个直线坐标轴，以及一个绕X（Y）轴转动的A′（B′）轴转台和一个绕Y（X）轴转动的刀具摆动头（B）A。对于点接触包络法加工复杂曲面，刀具需要沿第一进给方向和第二进给方向运动，才能最终包络出复杂曲面的廓行。为了分析方便，我们先假设刀具摆动头只是间断地摆动角度，以便消除刀具干涉，而不参与插补运动。因此，可以认为在铣削加工过程中，刀具表面与工件表面的相对运动速度υ■就是刀具中心相对工件的运动速度。
2.刀具沿第一进给方向的运动速度υ■■
因为包络法加工复杂曲面时，一般采用直线插补（G01指令）来近似加工，所以在相邻两个编程点之间各个数控轴的运动均为匀速运动。刀具表面与工件表面的相对运动速度υ■■等于各数控轴的运动速度之和，而且各数控轴的运动速度之间存在一定的比例关系。对于三坐标数控铣床，仅有X、Y、Z三个数控轴的直线运动，所以，
υ■■=υ■i+υ■j+υ■k（1）
式中，υ■、υ■、υ■分别为X、Y、Z轴的插补运动速率，设同一切削行（第j行，j=0，1，…，n）上的相邻两编程点的刀位点为P■（X■，Y■，Z■）和P■（X■，Y■，Z■），则：
υ■=X′（t）=■=■（2）
υ■=Y′（t）=■=■（3）
υ■=Z′（t）=■=■（4）
υ■、υ■、υ■三者不能同时为零，设υ■≠0，则由式（1）～（4）可得：
υ■■=υ■（i+■j+■k）
=υ■（i+■j+■k）（5）
根据啮合基本原理υ■■·n=0，我们可以得到只有X、Y、Z三个数控轴的直线插补运动时，计算工件上刀触点的一个啮合方程：
n■+■n■+■n■=0（6）
式中，n■，n■，n■为通用道具模型表面的单位法矢量的三个分量。
对于有回转工作台的数控机床，刀具表面与工件表面的相对运动速度υ■■等于各直线运动数控轴的合速度与回转运动速度的矢量和。
υ■■=υ■i+υ■j+υ■k+υ■+υ■+υ■（7）
式中，υ■、υ■、υ■分别为工件上刀触点绕A′、B′、C′轴旋转运动的速度矢量。设相邻两编程点的刀位点为P■（X■，Y■，Z■，A■，B■，C■）和P■（X■，Y■，Z■，A■，B■，C■）回转工作台绕A′、B′、C′轴的运动的角速率分别为ω′■（=-ω■）、ω′■（=-ω■）、ω′■（=-ω■），则：
ω■=■=■（8）
ω■=■=■（9）
ω■=■=■（10）
设机床坐标系原点到三个回转轴线交点的变换矢量为R■（X■，Y■，Z■）；r为在以三个回转轴线的交点为原点的坐标系内，工件上的刀触点矢量；在机床坐标系下的刀触点为P（X，Y，Z），则：
r=P-R■=（X-X■）i+（Y-Y■）j+（Z-Z■）k（11）
从而，可以得到工件上刀触点的旋转运动速度分别为：
υ■=ω■i×r=ω■（-（Z-Z■）j+（X-X■）k）（12）
υ■=ω■j×r=ω■（（Z-Z■）i-（X-X■）k）（13）
υ■=ω■k×r=ω■（-（Y-Y■）i+（X-X■）j）（14）
在多轴数控加工中，很少有多个旋转轴同时进行插补运动的。不失一般性，我们以X、Y、Z和C轴同时插补运动为例进行分析。此时，刀具表面与工件表面的相对运动速度υ■■为：
υ■■=υ■i+υ■j+υ■k+υ■
=υ■i+υ■j+υ■k+ω■（-（Y-Y■）i+（X-X■）j）（15）
令，K■=■；K■=■；K■=■，则：
υ■■=ω■（（K■-Y+Y■）i+（K■+X-X■）j+K■k）（16）
从而，我们也可以得到只有X、Y、Z、A四个数控轴的插补运动时，计算工件上刀触点的一个啮合方程：
（K■-Y+Y■）n■+（K■+X-X■）n■+K■n■=0（17）
3.结语
本文根据点啮合的基本原理，提出了一种在已知刀位数据和刀具表面的条件下，基于啮合基本定理的点接触包络加工表面的几何仿真算法。利用第一进给方向和第二进给方向的两个相对运动速度在刀触点上与刀具法矢量垂直原理，得到刀触点的啮合方程式，从而可求得加工表面上的刀触点，即几何仿真点。该仿真算法以数控程序中的刀具运动参数为基本信息，把几何仿真问题转化成了非线性方程组求解问题，原理简单，计算量较小，对于一般的复杂曲面加工具有较大推广价值。
关键词： 数控加工仿真 复杂曲面 运动单元 相对运动
1.引言
由于数控机床加工复杂曲面时，可以根据曲面特性，将包络过程分为行切和环切。刀具通过在加工方向和进给方向两个方向的运动，包络出所需的工件廓形。行切法是数控加工中常用的方式，本文首先对此加工方式进行分析。
一般五坐标数控机床都有三个直线坐标轴，以及一个绕X（Y）轴转动的A′（B′）轴转台和一个绕Y（X）轴转动的刀具摆动头（B）A。对于点接触包络法加工复杂曲面，刀具需要沿第一进给方向和第二进给方向运动，才能最终包络出复杂曲面的廓行。为了分析方便，我们先假设刀具摆动头只是间断地摆动角度，以便消除刀具干涉，而不参与插补运动。因此，可以认为在铣削加工过程中，刀具表面与工件表面的相对运动速度υ■就是刀具中心相对工件的运动速度。
2.刀具沿第一进给方向的运动速度υ■■
因为包络法加工复杂曲面时，一般采用直线插补（G01指令）来近似加工，所以在相邻两个编程点之间各个数控轴的运动均为匀速运动。刀具表面与工件表面的相对运动速度υ■■等于各数控轴的运动速度之和，而且各数控轴的运动速度之间存在一定的比例关系。对于三坐标数控铣床，仅有X、Y、Z三个数控轴的直线运动，所以，
υ■■=υ■i+υ■j+υ■k（1）
式中，υ■、υ■、υ■分别为X、Y、Z轴的插补运动速率，设同一切削行（第j行，j=0，1，…，n）上的相邻两编程点的刀位点为P■（X■，Y■，Z■）和P■（X■，Y■，Z■），则：
υ■=X′（t）=■=■（2）
υ■=Y′（t）=■=■（3）
υ■=Z′（t）=■=■（4）
υ■、υ■、υ■三者不能同时为零，设υ■≠0，则由式（1）～（4）可得：
υ■■=υ■（i+■j+■k）
=υ■（i+■j+■k）（5）
根据啮合基本原理υ■■·n=0，我们可以得到只有X、Y、Z三个数控轴的直线插补运动时，计算工件上刀触点的一个啮合方程：
n■+■n■+■n■=0（6）
式中，n■，n■，n■为通用道具模型表面的单位法矢量的三个分量。
对于有回转工作台的数控机床，刀具表面与工件表面的相对运动速度υ■■等于各直线运动数控轴的合速度与回转运动速度的矢量和。
υ■■=υ■i+υ■j+υ■k+υ■+υ■+υ■（7）
式中，υ■、υ■、υ■分别为工件上刀触点绕A′、B′、C′轴旋转运动的速度矢量。设相邻两编程点的刀位点为P■（X■，Y■，Z■，A■，B■，C■）和P■（X■，Y■，Z■，A■，B■，C■）回转工作台绕A′、B′、C′轴的运动的角速率分别为ω′■（=-ω■）、ω′■（=-ω■）、ω′■（=-ω■），则：
ω■=■=■（8）
ω■=■=■（9）
ω■=■=■（10）
设机床坐标系原点到三个回转轴线交点的变换矢量为R■（X■，Y■，Z■）；r为在以三个回转轴线的交点为原点的坐标系内，工件上的刀触点矢量；在机床坐标系下的刀触点为P（X，Y，Z），则：
r=P-R■=（X-X■）i+（Y-Y■）j+（Z-Z■）k（11）
从而，可以得到工件上刀触点的旋转运动速度分别为：
υ■=ω■i×r=ω■（-（Z-Z■）j+（X-X■）k）（12）
υ■=ω■j×r=ω■（（Z-Z■）i-（X-X■）k）（13）
υ■=ω■k×r=ω■（-（Y-Y■）i+（X-X■）j）（14）
在多轴数控加工中，很少有多个旋转轴同时进行插补运动的。不失一般性，我们以X、Y、Z和C轴同时插补运动为例进行分析。此时，刀具表面与工件表面的相对运动速度υ■■为：
υ■■=υ■i+υ■j+υ■k+υ■
=υ■i+υ■j+υ■k+ω■（-（Y-Y■）i+（X-X■）j）（15）
令，K■=■；K■=■；K■=■，则：
υ■■=ω■（（K■-Y+Y■）i+（K■+X-X■）j+K■k）（16）
从而，我们也可以得到只有X、Y、Z、A四个数控轴的插补运动时，计算工件上刀触点的一个啮合方程：
（K■-Y+Y■）n■+（K■+X-X■）n■+K■n■=0（17）
3.结语
本文根据点啮合的基本原理，提出了一种在已知刀位数据和刀具表面的条件下，基于啮合基本定理的点接触包络加工表面的几何仿真算法。利用第一进给方向和第二进给方向的两个相对运动速度在刀触点上与刀具法矢量垂直原理，得到刀触点的啮合方程式，从而可求得加工表面上的刀触点，即几何仿真点。该仿真算法以数控程序中的刀具运动参数为基本信息，把几何仿真问题转化成了非线性方程组求解问题，原理简单，计算量较小，对于一般的复杂曲面加工具有较大推广价值。