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[摘要]极限理论是整个微积分学，乃至后续的微分方程及分析理论体系的理论基础，在整个高等数学分析课程中占有不可替代的重要作用。本文抽取微积分学中几个最基本的概念，将他们表示为统一的极限形式，以加深对极限概念的理解，同时揭示出几个相关概念间本质联系
[关键词]极限 微积分 统一形式
在整个微积分知识体系中，极限理论贯穿始终，许多重要概念都是用极限形式定义的.因此，极限理论是整个微积分学，乃至后续的微分方程及分析理论体系的理论基础，在整个高等数学分析课程中占有不可替代的重要作用。
关于极限思想，我国古代数学家刘徽（公元3世纪）提出的“割圆术”中已有深刻的反映：为了求得圆的面积，在圆内作内接正六边形，其面积（所有直线形图形的面积都由初等数学知识圆满解决）可以作为圆面积的一个近似值；然后把每条边二等分，作圆内接正十二边形，又得到圆面积的一个较前为好的近似值；再作圆内接正二十四边形，……；依次进行，就可以逐步得到非常接近于圆面积的一列数值.刘徽说：“割之弥细，所失弥少；割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣.”其中，割之又割，以至于不可割，就是一个无限的过程；与圆周合体而无所失矣，就意味着依次得到的正多边形的面积逐步接近而最终达到一个极限——圆的面积.
如果我们从哲学上来看待极限概念，它同样具有丰富的内涵.首先，它体现了量变质变律：量的变化引起了质的变化.例如，有理数序列可以以无理数为极限；正数序列可以以零为极限，等等.还有近似转化为精确，也是量变引起的质变.其次，它体现了否定之否定律：有限─无限─有限.最后，它体现了对立统一律：有限与无限的对立统一，近似与精确的对立统一，质与量的对立统一，运动与静止的对立统一，等等.
数列是一种特殊的函数：自变量n取正整数集时，对应的函数值xn=f（n）构成数列{xn}.数列的极限就是当n无限增大时，对应的函数值f（n）无限地接近于某个常数a.为了抽象出函数极限的概念，抛开数列的特殊形式，将数列极限理解为：在自变量（n）的某个变化过程（n→∞）中，对应的函数值（f（n））无限地接近于某个常数.
上述抽象过程就是由具体的、特殊的对象上升到包含该对象为特殊形式的一般对象的数学方法.只要理解了数列——特殊函数的极限概念，就容易理解一般函数的极限概念.但是，又要考虑到函数与数列在形式上的差别：数列中的变量只能按n→∞这一种方式变化，而函数的定义域可以是各种形式的数集，自变量也就有多种变化趋势.
由此可知，函数的极限形式具有一般性。包括后面的微分、定积分、曲线积分、曲面积分，他们的本质也是极限。尽管他们形式多样，意义不同.但是，他们的极限本质是相同的：当自变量趋于某个状态时，对应的函数值总是趋近于一个确定的常数.
一元函数的极限形式是 .
1.多元函数：u=f（x1，x2，…，xn）的极限
可以看作动点P（x1，x2，…，xn）趋于定点P0（x01，x02，…，x0n）时的极限：
对 ，对于适合不等式0<|P-P0|<δ的一切点P，f（P）都满足不等式
|f（P）-A|<ε.
那末常数A就叫做函数f（P）当P→P0时的极限，记作
.
如果將上述定义中的P和P0视为x和x0，这与一元函数的极限形式是完全相同的.所以，如果将多元函数看作点函数，则极限的讨论就与一元函数相同.只不过，这里P→P0的方式更为复杂一些而已.
2.导数是一种极限： 当函数f（x）给定后，对于确定的x0，分式
是△x的一元函数，若记为F（△x），则函数f（x）在x0点的导数就转化为新构造的函数F（△x）当△x→0时的极限： .将△x看作x，形式完全与一元函数的极限形式相同.
3.定积分是一种极限： .
对于区间[a，b]的任意分割和△xi=[xi-1，xi]中任意选取的ζi而言，在λ→0的过程中，△xi的长度趋于0，此时△xi的划分和ζi的选取都是象征性的符号，已没有具体的实际意义.所以，上述极限可以看作是变量λ趋于0时的极限.
由前述各极限定义可以看出，函数f（x）的导数与定积分都不是对函数本身直接求极限，而是以该函数为基础，构造出一个新的一元函数F（x），然后由这个函数引申出一种极限.
事实上，定积分中的和式若记为F（Pi）（Pi随λ→0而变化），所求极限为
则该极限形式也包含着其它的各种积分：
（i）若
（即△Ωi既表示区域，也表示该区域的度量，以下同），
.则上式就是二重积分的极限
.
（ii）若 ，则（*）式就是三重积分中的极限.
（iii）若Ω是空间中曲面S： z=z（x，y），
.
则（*）式就是对面积的曲面积分
（iv）若Ω是空间中曲面 ，此时取△Ωi=（△Ωi）xy=±△xi·△yi（式中正或负以积分曲面的侧而定）.则（*）式就是函数F（P）在有向曲面S上对坐标x、y的曲面积分.
（v）若Ω是一条空间曲线L， ，则（*）就是对弧长的曲线积分.
（vi）若Ω是一条空间曲线L，取△Ωi=（△Ωi）x=±△xi（式中正或负号以曲线的方向与 轴的正向之夹角为锐角或钝角而定）.则（*）式就是对坐标的曲线积分.
由各种类型极限定义到这个统一定义，由统一定义指导各类极限研究.即由特殊到一般，再由一般到特殊，是认识的进一步提高和不断深化.统一定义是各类型极限概念更高一级的抽象与概括，综合描述了各种类型的共同的本质.深刻理解统一定义，对掌握极限统一的思想方法、使极限概念系统化、更深入地研究各种类型极限具有重要意义.同时应用统一定义，易于把一元函数概念推广到 维欧氏空间.
[参考文献]
[1]王青建.数学史简编[M].北京：科学出版社，2004
[2]王树禾.数学思想史[M].北京：国防工业出版社，2003
[3]刘鸿基.《高等数学》教学中学生创新能力培养的实践与认识[J].商丘师范学院学报，2006，22（2）：171-173
（作者单位：商丘师范学院 河南商丘）
[关键词]极限 微积分 统一形式
在整个微积分知识体系中，极限理论贯穿始终，许多重要概念都是用极限形式定义的.因此，极限理论是整个微积分学，乃至后续的微分方程及分析理论体系的理论基础，在整个高等数学分析课程中占有不可替代的重要作用。
关于极限思想，我国古代数学家刘徽（公元3世纪）提出的“割圆术”中已有深刻的反映：为了求得圆的面积，在圆内作内接正六边形，其面积（所有直线形图形的面积都由初等数学知识圆满解决）可以作为圆面积的一个近似值；然后把每条边二等分，作圆内接正十二边形，又得到圆面积的一个较前为好的近似值；再作圆内接正二十四边形，……；依次进行，就可以逐步得到非常接近于圆面积的一列数值.刘徽说：“割之弥细，所失弥少；割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣.”其中，割之又割，以至于不可割，就是一个无限的过程；与圆周合体而无所失矣，就意味着依次得到的正多边形的面积逐步接近而最终达到一个极限——圆的面积.
如果我们从哲学上来看待极限概念，它同样具有丰富的内涵.首先，它体现了量变质变律：量的变化引起了质的变化.例如，有理数序列可以以无理数为极限；正数序列可以以零为极限，等等.还有近似转化为精确，也是量变引起的质变.其次，它体现了否定之否定律：有限─无限─有限.最后，它体现了对立统一律：有限与无限的对立统一，近似与精确的对立统一，质与量的对立统一，运动与静止的对立统一，等等.
数列是一种特殊的函数：自变量n取正整数集时，对应的函数值xn=f（n）构成数列{xn}.数列的极限就是当n无限增大时，对应的函数值f（n）无限地接近于某个常数a.为了抽象出函数极限的概念，抛开数列的特殊形式，将数列极限理解为：在自变量（n）的某个变化过程（n→∞）中，对应的函数值（f（n））无限地接近于某个常数.
上述抽象过程就是由具体的、特殊的对象上升到包含该对象为特殊形式的一般对象的数学方法.只要理解了数列——特殊函数的极限概念，就容易理解一般函数的极限概念.但是，又要考虑到函数与数列在形式上的差别：数列中的变量只能按n→∞这一种方式变化，而函数的定义域可以是各种形式的数集，自变量也就有多种变化趋势.
由此可知，函数的极限形式具有一般性。包括后面的微分、定积分、曲线积分、曲面积分，他们的本质也是极限。尽管他们形式多样，意义不同.但是，他们的极限本质是相同的：当自变量趋于某个状态时，对应的函数值总是趋近于一个确定的常数.
一元函数的极限形式是 .
1.多元函数：u=f（x1，x2，…，xn）的极限
可以看作动点P（x1，x2，…，xn）趋于定点P0（x01，x02，…，x0n）时的极限：
对 ，对于适合不等式0<|P-P0|<δ的一切点P，f（P）都满足不等式
|f（P）-A|<ε.
那末常数A就叫做函数f（P）当P→P0时的极限，记作
.
如果將上述定义中的P和P0视为x和x0，这与一元函数的极限形式是完全相同的.所以，如果将多元函数看作点函数，则极限的讨论就与一元函数相同.只不过，这里P→P0的方式更为复杂一些而已.
2.导数是一种极限： 当函数f（x）给定后，对于确定的x0，分式
是△x的一元函数，若记为F（△x），则函数f（x）在x0点的导数就转化为新构造的函数F（△x）当△x→0时的极限： .将△x看作x，形式完全与一元函数的极限形式相同.
3.定积分是一种极限： .
对于区间[a，b]的任意分割和△xi=[xi-1，xi]中任意选取的ζi而言，在λ→0的过程中，△xi的长度趋于0，此时△xi的划分和ζi的选取都是象征性的符号，已没有具体的实际意义.所以，上述极限可以看作是变量λ趋于0时的极限.
由前述各极限定义可以看出，函数f（x）的导数与定积分都不是对函数本身直接求极限，而是以该函数为基础，构造出一个新的一元函数F（x），然后由这个函数引申出一种极限.
事实上，定积分中的和式若记为F（Pi）（Pi随λ→0而变化），所求极限为
则该极限形式也包含着其它的各种积分：
（i）若
（即△Ωi既表示区域，也表示该区域的度量，以下同），
.则上式就是二重积分的极限
.
（ii）若 ，则（*）式就是三重积分中的极限.
（iii）若Ω是空间中曲面S： z=z（x，y），
.
则（*）式就是对面积的曲面积分
（iv）若Ω是空间中曲面 ，此时取△Ωi=（△Ωi）xy=±△xi·△yi（式中正或负以积分曲面的侧而定）.则（*）式就是函数F（P）在有向曲面S上对坐标x、y的曲面积分.
（v）若Ω是一条空间曲线L， ，则（*）就是对弧长的曲线积分.
（vi）若Ω是一条空间曲线L，取△Ωi=（△Ωi）x=±△xi（式中正或负号以曲线的方向与 轴的正向之夹角为锐角或钝角而定）.则（*）式就是对坐标的曲线积分.
由各种类型极限定义到这个统一定义，由统一定义指导各类极限研究.即由特殊到一般，再由一般到特殊，是认识的进一步提高和不断深化.统一定义是各类型极限概念更高一级的抽象与概括，综合描述了各种类型的共同的本质.深刻理解统一定义，对掌握极限统一的思想方法、使极限概念系统化、更深入地研究各种类型极限具有重要意义.同时应用统一定义，易于把一元函数概念推广到 维欧氏空间.
[参考文献]
[1]王青建.数学史简编[M].北京：科学出版社，2004
[2]王树禾.数学思想史[M].北京：国防工业出版社，2003
[3]刘鸿基.《高等数学》教学中学生创新能力培养的实践与认识[J].商丘师范学院学报，2006，22（2）：171-173
（作者单位：商丘师范学院 河南商丘）