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摘 要：数学教学进入高中阶段之后，教学重点逐渐由具体的知识内容扩大至解决数学问题的思想方法. 其中包括利用图形解决数学问题. 本文结合笔者工作的实践经验，简要阐述了如何合理使用图形，最大化地发挥其在高中数学中的教育功能.
关键词：高中；数学教学；图形；教育
在高中阶段的数学学习当中，知识数量较之从前显著增加，难度提升也是十分明显的. 很多学生反映，之所以对很多数学知识感到困惑，对问题的解决无从下手，很大一部分原因在于知识本身过于抽象. 因此，教师在进行教学设计时，很重要的一个任务便是将抽象的内容具体化，降低学生的接受与理解难度. 仅仅将目光聚焦于概念、公式本身是远远不够的，笔者们可以将图形的方式引入到教学思考范围当中来.
[?] 抓住时机使用图形，适时发挥作用
图形在数学问题解决过程当中所具有的重要作用毋庸置疑，但并不代表图形的方法可以应用于任何问题类型解决之中的任意阶段. 一个方法，只有被应用于合理的时间阶段，才能发挥出最为显著的效果，图形的使用也是如此. 因此，在向学生教学以图形方式解决数学问题的途径时，一定要强调对于使用时机的准确把握.
例如，在学习一些代数属性较强的内容时，考查重点往往在于学生的逻辑能力与计算能力，无需将精力过多集中在如何将问题解答与图形转化相连接的过程中，而在一些几何属性较强，或是知识本身与图形关系紧密的内容时，图形的使用往往能够将思维过程简化不少. 在学习三角函数及其图形的过程当中，笔者便尤其强调图形的使用. 有这样一道看似简单的习题：请问，方程sin2x=sinx在区间（0，2π）上有几个解？问题虽然简短，却要求学生建立起一个数形结合的思维过程. 解题关键在于，怎样理解方程的解？如果学生能够将题目中方程的解理解为y=f（x）=sin2x与y=g（x）=sinx两个函数交点的横坐标，题目便迎刃而解. 当然，这里的图形使用要适时、适度. 由于题目只要求学生回答解的个数，因此，图形无需过于精准地反映出横纵坐标，只要体现出交点数量（如图1）即可.
[x][g][y][O][f]
图1
可以看出，抓住适当时机使用图形方法，对于数学问题的有效解决十分重要. 如果没有对于时机的准确把握，盲目引用图形方式，不仅无法顺利解决数学问题，还会由于增加了数学问题处理的难度，使得学生的解题思维更加混乱，甚至对于数学学习丧失信心，这是笔者们不愿意看到的. 因此，教师务必要注意强调时机把握，保证图形作用的发挥恰到好处.
[?] 创造性思维使用图形，拓宽解题思路
如同平静的过程中需要一个不寻常的细节来点亮一样，在常规的数学问题解答过程中，如果能够将图形使用以一个特别的方式予以呈现，不仅能够灵动整个课堂过程，更能够大大加深学生对于这一解题方式的印象. 在实际教学过程当中，笔者经常采取创造性使用图形的方式，在解决问题陷入僵局时提出图形思路，为课堂注入一股新鲜动力.
例如，在学习基本不等式的内容时，笔者曾要求学生解答这样一道习题：已知，x，y满足以下条件3x-y-6≤0，
x-y 2≥0，
x≥0，y≥0， 现有函数z=ax by，其中a>0且b>0，该函数能够取到的最大值为12，那么， 的最小值是多少？在这道习题的解答过程当中，单单采用传统的代数方法并不是不能解决，但是，过程十分复杂，也非常容易出现错误，对于学生的推导、讨论能力之要求极高. 于是，笔者向学生们展示了一种利用图形解决问题的方法. 首先，根据已知条件作出图象. 虽然目标函数的系数未知，却能够根据a，b均为正值大致得到函数图象的走向（如图2）. 将运动的图象与已知最大值相结合，结论的得出简单了不少.
如果只是一味平淡地把使用图形解决问题的内容向学生平铺直叙，那么很难引起学生的特别注意，对其应用上的重视程度自然得不到提升. 巧妙选择时间节点引入图形方法，以创造性的方式点亮学生思维，能够有效提升这一解题方式在学生数学思想体系当中的关注度，并且时常在问题处理当中进行应用，从而拓宽其数学问题的解题思路.
[?] 持久自主使用图形，形成思考习惯
当然，方法的使用是一个习惯，想要实现对一个方法的切实掌握，仅靠偶尔几次的成功应用经验是远远不够的，使用图形解决数学问题也是一样. 抓住几次适当的时机向学生展现这种解题思路，虽然能够开阔学生眼界，更新学生思维，但却很难在短时间内让学生将这种方法为己所用. 因此，长时间不间断地使用图形方法解决问题，对于学生数学思想习惯的形成至关重要.
例如，在学生刚刚开始接受函数的相关知识时，很多学生表示，函数的基本概念理解起来有些困难. 单从教材中所给出的函数定义上来看，很难明确知晓何为函数，函数应当满足哪些条件. 于是，笔者想到了借助图形的方式帮助学生理解函数概念. 笔者给出了四个图象（如图3），要求学生结合教材中的定义判断哪个是函数图象，哪个不是. 在图形的帮助之下，学生马上将概念中的文字在图形当中对号入座，原本晦涩难懂的内容在图形的阐释之下生动了许多. 也正是由此，学生发现，原来图形并不仅仅能够应用于具体数学习题的解答过程中，在概念理解等理论领域也是可以广泛应用的. 可见，将图形的使用养成习惯，对于数学学习来讲何等重要.
数学思考习惯的形成不能一蹴而就，而是需要在较长一段时间之内反复强调与使用. 因此，教师在制订教学计划时，应当首先将图形解题方式作为一种数学思想方法进行安排，树立起数形结合的培养意识，在日常教学过程当中尽可能多地对这一解题方式进行实践，让这一思维习惯在学生头脑中慢慢扎根. 长此以往，使用图形解决问题自然会成为学生的一个习惯性行为，对于日后数学学习过程中的主动应用也是很有帮助的. [?] 贴近生活使用图形，降低接受难度
任何知识如果只是停留在课本之上，难免都会存在一些同学生之间的距离感. 使得知识内容被学生高效接受的最好方式就是理论联系实际，尽可能多地在学生的生活细节当中找到与数学之间的对接点. 这样一来，高中数学知识便得以由束之高阁转为脚踏实地. 让学生看得见摸得着了，知识的接受难度自然随之大大降低. 因此，贴近生活使用图形，是教师在采用数形结合方式时应当特别注意和重视的.
例如，在平面解析几何内容的学习中，为了拉近知识与生活之间的距离，笔者曾为学生设计了这样一道习题：已知，当一座拱桥（形状与抛物线相近）的顶部距离水面距离为2 m时，其间水面宽度为4 m. 那么，当水面高度下降了1 m时，其间水面的宽度是多少呢？在该问题的解答过程中，笔者将拱桥以抛物线的图形表示，并且适当建立平面直角坐标系，将水面宽度与水面距离转化为具体坐标（如图4），很快得出了答案. 学生们感到十分惊讶，如此贴近生活的问题竟然也能够转化为解析几何的方法进行研究.
[O][x][y][2][4]
图4
在图形使用的过程当中以贴近学生生活为前提，主要具有以下两方面的优势：第一，降低数形结合解题的难度. 由于图形的引用贴近生活，学生在对其进行理解时能够联系自己的实际生活作为辅助，相比于晦涩抽象的课本图形来说自然生动了不少. 第二，激发学生对于数学知识的学习热情. 贴近生活的图形选择，让学生发现，数学知识就在身边，数学学习与自己的生活联系如此密切，对于数学知识学习的陌生感也就随之消除了.
[?] 小组讨论使用图形，深化掌握程度
使用图形解决数学问题，虽然是教师教学设计当中的一个重要的数学教学要点，但却不是依靠教师个人的力量就可以全部完成的. 这个内容，最终是要划归为学生自身能够灵活掌握的数学思想方法，因此，学生不断尝试使用，并且在实践当中深化理解的过程是十分重要的. 在实际教学过程中，笔者经常采用鼓励学生在小组当中讨论图形解题的方法，实现学生对这一知识内容的熟悉与掌握.
例如，在学习完直线方程的知识内容后，为了给学生提供一个实际练习并深入探究的机会，笔者向学生展示了一道较为复杂的题目，并且将每5名学生分为一组，要求大家在小组中进行讨论. 题干并不复杂：已知点M（3，5），请在直线y=x与y轴上分别找到点N和点P，实现△PNM的周长达到最小. 题目一出，很多学生起初感到很茫然，不知从何入手. 渐渐有学生提出，既然凭空思考没有结果，何不画个图看看呢？紧接着，又有学生根据图形想到通过寻找对称点转化为三点共线情况进行最小值求解的途径. 随着图形的越发完整（如图5），解题思路也逐渐清晰了. 在学生间思维火花的碰撞下，图形的使用走向了灵活.
一个新的数学知识，如果只靠教师一人教授，缺少学生的亲身体验，知识内容永远无法为学生所掌握. 而如果只交给学生自己去思考应用，又难免为个人的思维角度不广所限制. 因此，采取小组讨论的方式，既能够让学生真正触摸到知识本身，又能够让学生在自主实践知识的过程当中互相启发、激发思考，无需教师的主导同样能够实现对知识的深入探究. 这对于高中数学课堂教学实效的提升是大有助益的.
综上所述，数形结合一直是解答数学问题过程中所倡导的有效方式之一，却总是得不到灵活广泛的应用. 因此，不断开辟合理使用图形的新方法，对于提升高中数学教学实效来讲意义重大. 教师可以将对于图形的合理使用划分为使用图形的时间、使用图形的方法、使用图形的频率等几个具体方面进行思考，分别找到巧妙的适用方式，综合作用推动高中数学教学发展，充分实现数学图形的教育功能.
关键词：高中；数学教学；图形；教育
在高中阶段的数学学习当中，知识数量较之从前显著增加，难度提升也是十分明显的. 很多学生反映，之所以对很多数学知识感到困惑，对问题的解决无从下手，很大一部分原因在于知识本身过于抽象. 因此，教师在进行教学设计时，很重要的一个任务便是将抽象的内容具体化，降低学生的接受与理解难度. 仅仅将目光聚焦于概念、公式本身是远远不够的，笔者们可以将图形的方式引入到教学思考范围当中来.
[?] 抓住时机使用图形，适时发挥作用
图形在数学问题解决过程当中所具有的重要作用毋庸置疑，但并不代表图形的方法可以应用于任何问题类型解决之中的任意阶段. 一个方法，只有被应用于合理的时间阶段，才能发挥出最为显著的效果，图形的使用也是如此. 因此，在向学生教学以图形方式解决数学问题的途径时，一定要强调对于使用时机的准确把握.
例如，在学习一些代数属性较强的内容时，考查重点往往在于学生的逻辑能力与计算能力，无需将精力过多集中在如何将问题解答与图形转化相连接的过程中，而在一些几何属性较强，或是知识本身与图形关系紧密的内容时，图形的使用往往能够将思维过程简化不少. 在学习三角函数及其图形的过程当中，笔者便尤其强调图形的使用. 有这样一道看似简单的习题：请问，方程sin2x=sinx在区间（0，2π）上有几个解？问题虽然简短，却要求学生建立起一个数形结合的思维过程. 解题关键在于，怎样理解方程的解？如果学生能够将题目中方程的解理解为y=f（x）=sin2x与y=g（x）=sinx两个函数交点的横坐标，题目便迎刃而解. 当然，这里的图形使用要适时、适度. 由于题目只要求学生回答解的个数，因此，图形无需过于精准地反映出横纵坐标，只要体现出交点数量（如图1）即可.
图1
可以看出，抓住适当时机使用图形方法，对于数学问题的有效解决十分重要. 如果没有对于时机的准确把握，盲目引用图形方式，不仅无法顺利解决数学问题，还会由于增加了数学问题处理的难度，使得学生的解题思维更加混乱，甚至对于数学学习丧失信心，这是笔者们不愿意看到的. 因此，教师务必要注意强调时机把握，保证图形作用的发挥恰到好处.
[?] 创造性思维使用图形，拓宽解题思路
如同平静的过程中需要一个不寻常的细节来点亮一样，在常规的数学问题解答过程中，如果能够将图形使用以一个特别的方式予以呈现，不仅能够灵动整个课堂过程，更能够大大加深学生对于这一解题方式的印象. 在实际教学过程当中，笔者经常采取创造性使用图形的方式，在解决问题陷入僵局时提出图形思路，为课堂注入一股新鲜动力.
例如，在学习基本不等式的内容时，笔者曾要求学生解答这样一道习题：已知，x，y满足以下条件3x-y-6≤0，
x-y 2≥0，
x≥0，y≥0， 现有函数z=ax by，其中a>0且b>0，该函数能够取到的最大值为12，那么， 的最小值是多少？在这道习题的解答过程当中，单单采用传统的代数方法并不是不能解决，但是，过程十分复杂，也非常容易出现错误，对于学生的推导、讨论能力之要求极高. 于是，笔者向学生们展示了一种利用图形解决问题的方法. 首先，根据已知条件作出图象. 虽然目标函数的系数未知，却能够根据a，b均为正值大致得到函数图象的走向（如图2）. 将运动的图象与已知最大值相结合，结论的得出简单了不少.
如果只是一味平淡地把使用图形解决问题的内容向学生平铺直叙，那么很难引起学生的特别注意，对其应用上的重视程度自然得不到提升. 巧妙选择时间节点引入图形方法，以创造性的方式点亮学生思维，能够有效提升这一解题方式在学生数学思想体系当中的关注度，并且时常在问题处理当中进行应用，从而拓宽其数学问题的解题思路.
[?] 持久自主使用图形，形成思考习惯
当然，方法的使用是一个习惯，想要实现对一个方法的切实掌握，仅靠偶尔几次的成功应用经验是远远不够的，使用图形解决数学问题也是一样. 抓住几次适当的时机向学生展现这种解题思路，虽然能够开阔学生眼界，更新学生思维，但却很难在短时间内让学生将这种方法为己所用. 因此，长时间不间断地使用图形方法解决问题，对于学生数学思想习惯的形成至关重要.
例如，在学生刚刚开始接受函数的相关知识时，很多学生表示，函数的基本概念理解起来有些困难. 单从教材中所给出的函数定义上来看，很难明确知晓何为函数，函数应当满足哪些条件. 于是，笔者想到了借助图形的方式帮助学生理解函数概念. 笔者给出了四个图象（如图3），要求学生结合教材中的定义判断哪个是函数图象，哪个不是. 在图形的帮助之下，学生马上将概念中的文字在图形当中对号入座，原本晦涩难懂的内容在图形的阐释之下生动了许多. 也正是由此，学生发现，原来图形并不仅仅能够应用于具体数学习题的解答过程中，在概念理解等理论领域也是可以广泛应用的. 可见，将图形的使用养成习惯，对于数学学习来讲何等重要.
数学思考习惯的形成不能一蹴而就，而是需要在较长一段时间之内反复强调与使用. 因此，教师在制订教学计划时，应当首先将图形解题方式作为一种数学思想方法进行安排，树立起数形结合的培养意识，在日常教学过程当中尽可能多地对这一解题方式进行实践，让这一思维习惯在学生头脑中慢慢扎根. 长此以往，使用图形解决问题自然会成为学生的一个习惯性行为，对于日后数学学习过程中的主动应用也是很有帮助的. [?] 贴近生活使用图形，降低接受难度
任何知识如果只是停留在课本之上，难免都会存在一些同学生之间的距离感. 使得知识内容被学生高效接受的最好方式就是理论联系实际，尽可能多地在学生的生活细节当中找到与数学之间的对接点. 这样一来，高中数学知识便得以由束之高阁转为脚踏实地. 让学生看得见摸得着了，知识的接受难度自然随之大大降低. 因此，贴近生活使用图形，是教师在采用数形结合方式时应当特别注意和重视的.
例如，在平面解析几何内容的学习中，为了拉近知识与生活之间的距离，笔者曾为学生设计了这样一道习题：已知，当一座拱桥（形状与抛物线相近）的顶部距离水面距离为2 m时，其间水面宽度为4 m. 那么，当水面高度下降了1 m时，其间水面的宽度是多少呢？在该问题的解答过程中，笔者将拱桥以抛物线的图形表示，并且适当建立平面直角坐标系，将水面宽度与水面距离转化为具体坐标（如图4），很快得出了答案. 学生们感到十分惊讶，如此贴近生活的问题竟然也能够转化为解析几何的方法进行研究.
图4
在图形使用的过程当中以贴近学生生活为前提，主要具有以下两方面的优势：第一，降低数形结合解题的难度. 由于图形的引用贴近生活，学生在对其进行理解时能够联系自己的实际生活作为辅助，相比于晦涩抽象的课本图形来说自然生动了不少. 第二，激发学生对于数学知识的学习热情. 贴近生活的图形选择，让学生发现，数学知识就在身边，数学学习与自己的生活联系如此密切，对于数学知识学习的陌生感也就随之消除了.
[?] 小组讨论使用图形，深化掌握程度
使用图形解决数学问题，虽然是教师教学设计当中的一个重要的数学教学要点，但却不是依靠教师个人的力量就可以全部完成的. 这个内容，最终是要划归为学生自身能够灵活掌握的数学思想方法，因此，学生不断尝试使用，并且在实践当中深化理解的过程是十分重要的. 在实际教学过程中，笔者经常采用鼓励学生在小组当中讨论图形解题的方法，实现学生对这一知识内容的熟悉与掌握.
例如，在学习完直线方程的知识内容后，为了给学生提供一个实际练习并深入探究的机会，笔者向学生展示了一道较为复杂的题目，并且将每5名学生分为一组，要求大家在小组中进行讨论. 题干并不复杂：已知点M（3，5），请在直线y=x与y轴上分别找到点N和点P，实现△PNM的周长达到最小. 题目一出，很多学生起初感到很茫然，不知从何入手. 渐渐有学生提出，既然凭空思考没有结果，何不画个图看看呢？紧接着，又有学生根据图形想到通过寻找对称点转化为三点共线情况进行最小值求解的途径. 随着图形的越发完整（如图5），解题思路也逐渐清晰了. 在学生间思维火花的碰撞下，图形的使用走向了灵活.
一个新的数学知识，如果只靠教师一人教授，缺少学生的亲身体验，知识内容永远无法为学生所掌握. 而如果只交给学生自己去思考应用，又难免为个人的思维角度不广所限制. 因此，采取小组讨论的方式，既能够让学生真正触摸到知识本身，又能够让学生在自主实践知识的过程当中互相启发、激发思考，无需教师的主导同样能够实现对知识的深入探究. 这对于高中数学课堂教学实效的提升是大有助益的.
综上所述，数形结合一直是解答数学问题过程中所倡导的有效方式之一，却总是得不到灵活广泛的应用. 因此，不断开辟合理使用图形的新方法，对于提升高中数学教学实效来讲意义重大. 教师可以将对于图形的合理使用划分为使用图形的时间、使用图形的方法、使用图形的频率等几个具体方面进行思考，分别找到巧妙的适用方式，综合作用推动高中数学教学发展，充分实现数学图形的教育功能.