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摘 要：深度学习是相对于浅层学习而言的一个心理学概念。运用其引导数学课堂问题的解决，构建数学课堂问题解决的操作范式，既能提高数学课堂教学的有效性，又能激发学生对学习数学的兴趣，形成解决数学问题的策略能力。
关键词：深度学习；问题解决；知识内化
中图分类号：G633.6 文献标识码：A 文章编号：1992-7711（2015）19-035-2
问题是数学学习的心脏，而问题解决则反映了教师的教育智慧及方法策略，因此，如何解剖问题和讲解习题自然是数学课堂最重要内容之一。多伦多大学Hinton教授于2006年提出深度学习概念，为数学课堂问题解决教学提供了新的思考范式。
一、深度学习的内涵
深度学习的概念源于人工神经网络的研究，Hinton教授认为，人脑具有非常强大的学习能力和特征提取能力，它具有一个深度结构，每层都有上千上万级的神经元，整个网络有百万级至百亿级的参数空间。这种特征层次表示神经元每一层都会向上一层做出抽象思维的的输入，并在层次上位于上层的神经元具备更多的抽象特征。人脑学习这种深层架构决定教师在设置教学问题时，应有梯队性和阶层设置，层次化地组织思想和概念，符合学生学习的心理特征，问题解决应具有层次性，不能让学习者只有浅层次思考，这样会出现学习深度不足问题。深度学习观下数学问题教学有如下特征：人脑具有复杂的深度结构；学生学习的认知过程逐层进行，逐步抽象；学生先学习简单的概念，然后用概念去进行逻辑运算和抽象推理；问题设置不能肤浅化，要进行深度理解，深度不足会出现数学学习困难。
二、深度学习与数学问题解决教学
将深度学习引导至数学问题解决教学中，在深度学习观支持下，首先，教师通过创设问题情境，激发学生求知欲望；其次，让学生亲身体验和感受分析问题，提出解决问题的方法。具体来说，就是通过一系列更微观的子问题设计，使学生对数学知识形成深刻的、结构化的理解，形成自己的、可以迁移的问题解决策略，再者，深度学习强调的是使用数学的意识，培养学生的探索精神、合作意识和实际操作能力，通过问题解决能而且产生更为浓厚的学习数学的兴趣、形成认真求知的科学态度和勇于进取的坚定信念。可表述一般问题解决程序：弄清问题、拟定计划、执行计划、检查答案。其操作模式可以分解为以下的一串教学问题：
①它是一个什么范畴的问题？要解决什么问题？即“目标”是什么？
②现有哪些材料（条件）？有没有“潜在”的、“隐含”的条件？从题目的叙述中获取“符号信息”，从题目的图形中获取“形象信息”等。
③有哪些工具？条件与结论之间有什么联系？从已经学过的相关概念、定理、公式、基本模式和解题经验中提取。
④还缺少（需要）什么？能否以现有的条件，在工具的助推下满足这个需求？
⑤在相关工具的作用下，从条件到结论，是否形成了一个和谐、缜密的逻辑结构？
⑥结论是否完备、纯粹？
当然，上述过程能否顺利实施，既需要充分知识储备、基本的经验积累，也需要丰富的联想和机智的教学策略。
三、深度学习观数学课堂教学案例
教学案例：已知过点A（-1，0）的动直线l与圆C：x2 （y-3）2=4相交于P、Q两点，M是PQ中点，l与直线m：x 3y 6=0相交于N，求AM·AN的值。
讲解：
Q1：这是一个什么问题？——解析几何中的“直线和圆”的位置关系。
Q2：解析几何的本质是什么？——借助坐标系，用代数的方法解决几何问题。
Q3：“直线和圆”的位置关系中最关键的量是什么？——圆心到直线的距离。
Q4：本题要解决什么问题？——起点相同、方向相反的两个向量的数量积。
Q5：求两个向量的数量积有哪些办法？——a·b=|a|·|b|·cos（符号运算）；若a=（x1，y1），b=（x2，y2），则a·b=x1x2 y1y2（坐标运算）；结合图形对向量a，b做适当的“拆分”后再行运算（图形运算）。
Q6：本题宜选择哪个办法？——注意到在平面直角坐标系中，A点的坐标已知，只要求出M，N两点的坐标，即可用坐标运算求AM·AN。
Q7：本题还有哪些条件？M，N两点的坐标是否可求？怎么求？——注意到N点是直线l，m的交点，而直线m的方程已知，只需有直线l的方程，即可通过解方程组求得N点坐标，又直线l过点A，故可以设直线l的斜率（关注斜率不存在的情况）。M点是直线l被椭圆截得的弦的中点，在有直线l方程的条件下，可以通过解方程组，结合韦达定理求出M点坐标。
Q8：是否可以顺利实施？——
数学问题解决教学，注重的是教师引导，始终置于学生于深层次理解思维之中，追求的是方法形成的过程顺理成章、自然流畅，就是引导学生奔着目标有序前进，让学生感同身受、跃跃欲试，活化学生的问题解决能力。
四、深度学习与问题解决后反思
问题反思也是数学学习悟道的一个过程，也是深度学习在数学教学中应用不可缺少的一个环节，它使深度学习活动走向一个更高级阶段。什么时候反思？反思什么？怎么反思？是学生对知识方法吸收内化的重要过程，可以通过以下步骤进行。
1.对解题结果的反思。解题结果是否回答了题目的设问？解题结果是否和实际问题相吻合？推导的过程中是否改变了变量的范围？逻辑上有没有漏洞？讨论的范围是否完备？有没有遗漏什么条件、限制？等等。对解题结果的反思能使学生的思维更加严谨，同时也是解决“会而不对、对而不全”这个老大难问题的有效办法。
2.对解题过程的反思。题目涉及到的知识点有哪些？它们是怎么联系起来的？解答的切入点在哪？关键点在哪？警戒点（易错的地方）在哪？还能用什么方法解（一题多解）？有哪些题也是这样做的（多题一解）？条件可以变变吗？设问可以改改吗？我们不必要求学生对每一道题都做如此这般的大动作，但也绝不能每一道题一做完就丢。
3.对解题规律的反思。某一章节的问题、某一类型的问题，其求解方法往往有其规律性。比如“直线与圆”的问题往往用到“圆心到直线”的距离，“方程有解”问题往往转化为“参变量关于主变量的函数值域”问题；甚至某种条件通常怎么发展？某种求解通常怎么转化？也都是有一定规律的。遗憾的是这些反思、发现、归纳、整理的工作很多时候都是老师代做了，然后告知学生。其实只有学生自己做了，才有真正的价值；所谓“老师代劳终觉浅，绝知此事要躬行”。
五、后记
深度学习是近年来学习领域很热的一个概念，把它引导到数学课堂教学问题解决中来，强调把学习设置到复杂的、有意义的问题情境中，通过教师设置台阶式问题，引导学生进行深度理解，通过师生合作解决实际问题来学习隐含于问题背后的科学知识，形成解决问题的技能，并形成自主学习的能力。因此，深度学习观下问题解决尝试，对于促进学生沟通知识点之间的联系，对于培养学生思维的开阔、灵敏、深刻、创新，即提升学生的思维品质，对于激发学生的学习兴趣，发挥数学功能等方面确有其不可估量的教学价值。
[参考文献]
[1]曹才翰，章建跃著.数学教育心理学.北京师范大学出版社，2006（06）.
[2]波利亚著.阎育苏译.怎样解题.科学出版社，1982.
关键词：深度学习；问题解决；知识内化
中图分类号：G633.6 文献标识码：A 文章编号：1992-7711（2015）19-035-2
问题是数学学习的心脏，而问题解决则反映了教师的教育智慧及方法策略，因此，如何解剖问题和讲解习题自然是数学课堂最重要内容之一。多伦多大学Hinton教授于2006年提出深度学习概念，为数学课堂问题解决教学提供了新的思考范式。
一、深度学习的内涵
深度学习的概念源于人工神经网络的研究，Hinton教授认为，人脑具有非常强大的学习能力和特征提取能力，它具有一个深度结构，每层都有上千上万级的神经元，整个网络有百万级至百亿级的参数空间。这种特征层次表示神经元每一层都会向上一层做出抽象思维的的输入，并在层次上位于上层的神经元具备更多的抽象特征。人脑学习这种深层架构决定教师在设置教学问题时，应有梯队性和阶层设置，层次化地组织思想和概念，符合学生学习的心理特征，问题解决应具有层次性，不能让学习者只有浅层次思考，这样会出现学习深度不足问题。深度学习观下数学问题教学有如下特征：人脑具有复杂的深度结构；学生学习的认知过程逐层进行，逐步抽象；学生先学习简单的概念，然后用概念去进行逻辑运算和抽象推理；问题设置不能肤浅化，要进行深度理解，深度不足会出现数学学习困难。
二、深度学习与数学问题解决教学
将深度学习引导至数学问题解决教学中，在深度学习观支持下，首先，教师通过创设问题情境，激发学生求知欲望；其次，让学生亲身体验和感受分析问题，提出解决问题的方法。具体来说，就是通过一系列更微观的子问题设计，使学生对数学知识形成深刻的、结构化的理解，形成自己的、可以迁移的问题解决策略，再者，深度学习强调的是使用数学的意识，培养学生的探索精神、合作意识和实际操作能力，通过问题解决能而且产生更为浓厚的学习数学的兴趣、形成认真求知的科学态度和勇于进取的坚定信念。可表述一般问题解决程序：弄清问题、拟定计划、执行计划、检查答案。其操作模式可以分解为以下的一串教学问题：
①它是一个什么范畴的问题？要解决什么问题？即“目标”是什么？
②现有哪些材料（条件）？有没有“潜在”的、“隐含”的条件？从题目的叙述中获取“符号信息”，从题目的图形中获取“形象信息”等。
③有哪些工具？条件与结论之间有什么联系？从已经学过的相关概念、定理、公式、基本模式和解题经验中提取。
④还缺少（需要）什么？能否以现有的条件，在工具的助推下满足这个需求？
⑤在相关工具的作用下，从条件到结论，是否形成了一个和谐、缜密的逻辑结构？
⑥结论是否完备、纯粹？
当然，上述过程能否顺利实施，既需要充分知识储备、基本的经验积累，也需要丰富的联想和机智的教学策略。
三、深度学习观数学课堂教学案例
教学案例：已知过点A（-1，0）的动直线l与圆C：x2 （y-3）2=4相交于P、Q两点，M是PQ中点，l与直线m：x 3y 6=0相交于N，求AM·AN的值。
讲解：
Q1：这是一个什么问题？——解析几何中的“直线和圆”的位置关系。
Q2：解析几何的本质是什么？——借助坐标系，用代数的方法解决几何问题。
Q3：“直线和圆”的位置关系中最关键的量是什么？——圆心到直线的距离。
Q4：本题要解决什么问题？——起点相同、方向相反的两个向量的数量积。
Q5：求两个向量的数量积有哪些办法？——a·b=|a|·|b|·cos
Q6：本题宜选择哪个办法？——注意到在平面直角坐标系中，A点的坐标已知，只要求出M，N两点的坐标，即可用坐标运算求AM·AN。
Q7：本题还有哪些条件？M，N两点的坐标是否可求？怎么求？——注意到N点是直线l，m的交点，而直线m的方程已知，只需有直线l的方程，即可通过解方程组求得N点坐标，又直线l过点A，故可以设直线l的斜率（关注斜率不存在的情况）。M点是直线l被椭圆截得的弦的中点，在有直线l方程的条件下，可以通过解方程组，结合韦达定理求出M点坐标。
Q8：是否可以顺利实施？——
数学问题解决教学，注重的是教师引导，始终置于学生于深层次理解思维之中，追求的是方法形成的过程顺理成章、自然流畅，就是引导学生奔着目标有序前进，让学生感同身受、跃跃欲试，活化学生的问题解决能力。
四、深度学习与问题解决后反思
问题反思也是数学学习悟道的一个过程，也是深度学习在数学教学中应用不可缺少的一个环节，它使深度学习活动走向一个更高级阶段。什么时候反思？反思什么？怎么反思？是学生对知识方法吸收内化的重要过程，可以通过以下步骤进行。
1.对解题结果的反思。解题结果是否回答了题目的设问？解题结果是否和实际问题相吻合？推导的过程中是否改变了变量的范围？逻辑上有没有漏洞？讨论的范围是否完备？有没有遗漏什么条件、限制？等等。对解题结果的反思能使学生的思维更加严谨，同时也是解决“会而不对、对而不全”这个老大难问题的有效办法。
2.对解题过程的反思。题目涉及到的知识点有哪些？它们是怎么联系起来的？解答的切入点在哪？关键点在哪？警戒点（易错的地方）在哪？还能用什么方法解（一题多解）？有哪些题也是这样做的（多题一解）？条件可以变变吗？设问可以改改吗？我们不必要求学生对每一道题都做如此这般的大动作，但也绝不能每一道题一做完就丢。
3.对解题规律的反思。某一章节的问题、某一类型的问题，其求解方法往往有其规律性。比如“直线与圆”的问题往往用到“圆心到直线”的距离，“方程有解”问题往往转化为“参变量关于主变量的函数值域”问题；甚至某种条件通常怎么发展？某种求解通常怎么转化？也都是有一定规律的。遗憾的是这些反思、发现、归纳、整理的工作很多时候都是老师代做了，然后告知学生。其实只有学生自己做了，才有真正的价值；所谓“老师代劳终觉浅，绝知此事要躬行”。
五、后记
深度学习是近年来学习领域很热的一个概念，把它引导到数学课堂教学问题解决中来，强调把学习设置到复杂的、有意义的问题情境中，通过教师设置台阶式问题，引导学生进行深度理解，通过师生合作解决实际问题来学习隐含于问题背后的科学知识，形成解决问题的技能，并形成自主学习的能力。因此，深度学习观下问题解决尝试，对于促进学生沟通知识点之间的联系，对于培养学生思维的开阔、灵敏、深刻、创新，即提升学生的思维品质，对于激发学生的学习兴趣，发挥数学功能等方面确有其不可估量的教学价值。
[参考文献]
[1]曹才翰，章建跃著.数学教育心理学.北京师范大学出版社，2006（06）.
[2]波利亚著.阎育苏译.怎样解题.科学出版社，1982.