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摘 要：本文系统地介绍了求解GPS正常高的原理，列举了几种常用的GPS高程拟合方法，由于受不同的地理条件、技术水平、已有资料和工程要求的影响，我们进行高程拟合时对精度的要求也不同，所以本文还结合实例对几种常用拟合方法的精度作了分析研究，最后得出一些有益的结论，为解决GPS测量中高程信息的利用问题提供了一种有效的途径。
关键词：GPS ; 高程异常; 拟合方法 ；大地高 ；正常高
1 概述
近年来，国内外大量的GPS测量实践证明，它的平面相对精度已达到了0.1~1ppm，甚至更高，并已广泛应用于布设各种形式的控制网、变形监测及精密工程测量等诸多方面。但是，GPS高程应用问题，目前仍在进一步探讨之中。因为利用GPS测量所得到的高程是地面点的大地高，它仅具有几何意义而缺乏物理意义。所以，在一般工程测量中不能直接利用。
随着GPS技术的应用推广，由GPS测定实际点的平面坐标已被大家认同，但是由于GPS测量的高程是基于WGS-84椭球系的大地高，在实际应用中需要把GPS大地高转换到我国使用的正常高系统，这就涉及到转换的精度问题，对于不同的工程应用，其对测量的精度要求也有所不同。但是GPS拟合高程的精度到底如何,一直也是人们关注的问题。由于精度的不敢肯定,导致人们对其定位的应用也比较少，相应的研究也就比较少。为了给工程应用提供一些有益的帮助，本文就GPS高程拟合的方法和GPS高程拟合精度试作探讨研究。对于不同的地区地形结合已有的已知资料可以参照本文的讨论选择适合具体情况的方法进行拟合。
2 GPS高程拟合的理论基础
2.1 GPS大地高，正常高和正高的区别
GPS测量是在WGS-84地心坐标系中进行的，所提供的高程为相对于WGS-84椭球的大地高HGPS。它是一个几何量，没有物理上的意义，除了个别特殊用途外，要把GPS大地高转换为我国使用的正常高H正常高或在实际工程中应用的正高H正高，即海拔高。
进行GPS高程转换要考虑WGS-84椭球和本地参考椭球的差异以及大地水准面和似大地水准面相对本地参考椭球的高差，即大地水准面高N和高程异常。
WGS-84椭球和本地参考椭球可用数学公式表达，它们之间的差异可用坐标变换的方法解决。但大地水准面是与静止海水面相重合的一个重力场等位面，与地球内部质量分布有关。
为了研究的方便和实际的需要本文用H表示GPS大地高，h表示我国的正常高，正高由于和正常高的求法相似在此不做讨论，具体使用时可由正常高的求法类推而出。
2.2 GPS高程测量中大地水准面差距的计算
除了传统的用水准测量和三角高程测量确定高程外，近年来推出的GPS全球定位系统亦为高程定位提供了一种全新的方法。GPS技术已被公认是最先进的三维定位的测量工具，特别是在长距离和不易测量的地区，用GPS高程定位比传统的水准测量法在效率、费用、精度上都有更大的优越性。
但是GPS高程测量有它自身的局限。除了影响高程测量的各种观测误差(如大气传播延迟影响，多路径效应影响，海洋潮汐载荷影响等)以外，基准面的问题是个主要的难点。众所周知，GPS提供的高程是椭球面上的高程，即通常所说的WGS-84椭球体。GPS提供的高程值称为大地高高程H，它适用于地球和建筑物的变形研究。而我们实施的许多工程项目，如民建工程所需的高程则是似大地水准面上的高程，即正常高高程h，因此就需要将椭球面上的高程值转换成似大地水准面上的高程值。理论上，大地高和正常高的关系是已知的，但实际上，将椭球面上的高程转换成似大地水准面上的高程需定出这两个面的差值 ，并要使其达到一定的精度。这些工作还存在许多难点，如重力水准资料和天文观测点密度的充足性等。因而大地高转换成正高便成了研究GPS高程定位的一个关键问题。
现代大地测量学已经确定的大地水准面形状大体是一个不规则的曲面。地球的形状比较接近于一个长短半轴相差约21km的椭球，在北极高出椭球约19m，在南极却凹下约26m，一般它与椭球面的高差均不超过100m。下面来看一下研究大地水准面的三种主要方法。
2.2.1 天文大地水准和天文重力水准
由于垂线偏差的变化与地形密切相关(特别是在山区)，精确地模型化比较困难，并且天文观测点分布稀疏，可靠地内插垂线偏差亦比较困难，所以就严重地限制了天文大地水准的精度和应用。事实上，采用天文大地垂线偏差和重力内插相结合的值，是计算高程异常经常使用的天文重力水准方法。
2.2.2 重力场模型法
利用卫星观测资料和重力测量资料，以球谐级数建立地球重力场模型和高程异常模型的方法，得到了广泛的利用。其主要优点在于适用于全球，只要给定待求点的地理位置，便可在计算机上计算出相应的大地水准面高程。它所确定的大地水准面高程属于地心参考系统，易于和GPS测量基准相联合。这种方法的主要缺点是随着展开式阶次的提高，球谐系数的数量将迅速增加。
2.2.3 地表函数拟合法
如果在一个测区内有几个点，并且它们的大地高H由GPS测得，正常高h由水准测量联测而得，那么就可利用高精度的GPS大地高采用地表拟合法(几何内插法)局部地模拟出大地水准面与椭球面的波动值。事实证明，该方法已被有效地用于短距离范围。
地表函数拟合法是把GPS测得的基线向量以坐标为未知参数按自由网平差,求出GPS网点在WGS-84坐标系中的地心坐标，并求出WGS-84坐标系到本地参心坐标系的转换参数，把网中全部GPS点的WGS-84地心坐标转换为本地参考椭球的参心坐标，求出基于该椭球的大地高，在网中的一些GPS点上联测几何水准，获得这些点的正常高，忽略垂线偏差的影响，同一点的大地高减去该点的正常高即得该点的高程异常。把测区的似大地水准面假定为平面、多项式曲面或其他数学曲面去拟合已知高程异常的点，根据拟合的曲面内插其他GPS点的高程异常值。已变换为本地椭球的大地高减去内插的高程异常值，即把GPS高程转换为正常高。转换为正高的方法相同。工程上和一些GPS数据处理的软件多用此方法，并使用二次多项式曲面进行拟合。这种方法对似大地水准面(大地水准面)作了某种人为的假设,可能出现模型误差。
3 GPS拟合高程的精度研究
对于不同的拟合方法其精度也有差别下面就几何内插拟合的精度作一分析。
3.1 不同拟合方法比较
从试验数据可以看出，不管采用哪种拟合方法都难以在所有的插值点上获得最佳的拟合效果，从拟合残差的总体分布，可以判断拟合模型的精度的高低，拟合精度高说明拟合模型符合拟合区域内高程异常的变化规律。
二次曲面拟合法是在拟合区域内的水准重合点之间，按削高补低的原则平滑出一个二次多项式曲面来代表拟合区域的似大地水准面，供内插使用。拟合范围越大，高程异常的变化越复杂，削高补低的误差也越大。
平面拟合法使用范围比较窄，要求拟合区域地势平坦区域范围较小，似大地水准面接近一个平面，它通过少量的已知固定点拟合出简单的平面模型来近似表示似大地水准面。多面函数拟合是一种纯数学曲面逼近方法，它的出发点是在每个数据点上同各个已知数据点分别建立函数关系(这种关系表现为一规则的数学曲面)，将这些有规律的数学曲面按一定的比例迭加起来，就可拟合出任何不规则的曲面，且能达到较好的拟合效果。待定点是核函数和求解出的迭加系数的线性函数。很明显，多面函数的解算具有最小二乘配置和推值法的性质。最小二乘配置法中的协方差函数是一种统计函数，在高程异常资料稀少的地区很难确定。而多面函数的核函数可以按几何关系确定，它是距离的函数，且顾及了待定点和已知点间的相关关系，起着权系数矩阵的作用。
3.2 不同拟合方法的拟合精度分析
(l) 在六个不同布点方案中，方案Ⅳ的拟合中误差m及拟合残差V(绝对值)最小，方案Ⅴ次之，两方案的精度基本相当。说明在50km2范围内的平坦地区，用均匀分布的5个固定点进行GPS高程拟合，即可保证拟合精度。
(2) 方案Ⅳ为四个固定点的平面拟合，其精度接近方案Ⅴ，但明显高于三个固定点拟合的方案Ⅱ和方案Ⅲ。说明即使在平坦地区，GPS高程拟合也至少需4个以上固定点，才能保证拟合精度。
(3) 方案Ⅶ-Ⅸ是分别对不同固定点降低精度后的拟合结果，其拟合中误差明显增大。亦即说明，固定点的精度是保证GPS高程拟合精度的重要因素之一。
3.3 精度分析结论
通过上述理论分析和实际计算，并参考其他文献中报道的示例，可得出以下几点结论：
(1)在平坦地区利用GPS水准测量可以精确求定局部地区的似大地水准面高度及GPS点的正常高。对于中小测区(150km2以内)，利用该方法可以获得几个厘米的精度(本文算例中m=± 0.89cm)。在测区内保证有足够数量的固定点(同时测有GPS大地高和几何水准高程)的情况下，GPS水准完全可以代替四等几何水准。
(2)在平坦地区的局部区域内，可以用简单的数学曲面来拟合测区的似大地水准面。其中测区面积在100km2以下时，可以用4~5个固定点的平面拟合，面积较大时(100~200km2)，则应采用二次曲面拟合，其固定点的数量以6~10点为宜。过多地增加固定点，并不能明显提高GPS点的高程拟合精度，但固定点太少，又常常会给高程拟合带来一定的系统偏差。因此，在进行测区设计时，应根据测区的具体情况采取经济合理的技术方案。
(3)固定点的位置应大部分布设在GPS网的周边点上，中间点不宜过多。点位分布要均匀，且应具有一定的代表性(个别较高或较低的点不宜作为固定点)。
(4)固定点的精度对GPS高程拟合的影响较大，在一般地区，一个固定点都支撑着周围几十平方公里范围内的 值。因此，每个实测几何水准的高程点的正确性尤为重要。如果测区内的几何水准高程不是同期布设的，则通常在GPS高程拟合前，应对水准点高程的正确性进行检验。检验方法可用狄克松(Dixon)检测法。
(5)在局部低丘地区，其似大地水准面可以用二次曲面拟合，在保证有6个以上固定点的情况下，拟合精度一般可保证在3cm以内。但是在起伏较大的丘陵和山区，因为似大地水准面比较复杂，在GPS高程拟合时，宜采用多面函数拟合法。但至目前为止，该方法在起伏地区的应用国内还未见报道(美国应用得较多)。因此，还有待进一步研究探讨。在比较平坦地区，用多面函数拟合和用二次曲面拟合精度相当，但就计算角度而言，二次曲面拟合方法简单，计算速度快，故在低丘地区宜采用二次曲面拟合法。
4结论
根据上述的分析研究可以得出一下几点结论：
1、不同拟合方法对高程异常拟合值的影响可以达到厘米级，在高程异常的拟合计算中，必须选择合适的拟合方案；
2、采用几何方法拟合高程异常，除应根据高程异常变化选择合适的拟合模型外，还应根据高程异常变化梯度合理地划分拟合分区，以使拟合模型更好地符合区域高程异常的变化趋势；
3、已知点的位置对GPS水准高程拟合的精度影响很大。待定点精度在很大程度上取决于已知点的分布状况。当已知点均匀分布于整个测区时，待定点精度最高。在进行GPS水准高程拟合时一定要使已知点均匀分布于整个测区，并且有一定的代表性，宁可已知点数少也不能因凑数而使已知点分布不均匀，更不能使已知点全部分布在测区的一端。
4、GPS高程拟合的精度与已知联测水准点的精度有关。当已知点的精度降低时，待定点精度明显降低，要得到较高精度的GPS水准高程就要保证已知水准点的精度。
5、用神经网络方法转换GPS高程的精度比通常使用的二次多项式曲面拟合法高，而且转换的精度比较稳定。神经网络方法对联测了水准高程的GPS点的数目要求较少。用神经网络方法转换GPS高程的优点还在于它可以利用地面坐标系或GPS坐标系中的数据直接获得正高或正常高。
关键词：GPS ; 高程异常; 拟合方法 ；大地高 ；正常高
1 概述
近年来，国内外大量的GPS测量实践证明，它的平面相对精度已达到了0.1~1ppm，甚至更高，并已广泛应用于布设各种形式的控制网、变形监测及精密工程测量等诸多方面。但是，GPS高程应用问题，目前仍在进一步探讨之中。因为利用GPS测量所得到的高程是地面点的大地高，它仅具有几何意义而缺乏物理意义。所以，在一般工程测量中不能直接利用。
随着GPS技术的应用推广，由GPS测定实际点的平面坐标已被大家认同，但是由于GPS测量的高程是基于WGS-84椭球系的大地高，在实际应用中需要把GPS大地高转换到我国使用的正常高系统，这就涉及到转换的精度问题，对于不同的工程应用，其对测量的精度要求也有所不同。但是GPS拟合高程的精度到底如何,一直也是人们关注的问题。由于精度的不敢肯定,导致人们对其定位的应用也比较少，相应的研究也就比较少。为了给工程应用提供一些有益的帮助，本文就GPS高程拟合的方法和GPS高程拟合精度试作探讨研究。对于不同的地区地形结合已有的已知资料可以参照本文的讨论选择适合具体情况的方法进行拟合。
2 GPS高程拟合的理论基础
2.1 GPS大地高，正常高和正高的区别
GPS测量是在WGS-84地心坐标系中进行的，所提供的高程为相对于WGS-84椭球的大地高HGPS。它是一个几何量，没有物理上的意义，除了个别特殊用途外，要把GPS大地高转换为我国使用的正常高H正常高或在实际工程中应用的正高H正高，即海拔高。
进行GPS高程转换要考虑WGS-84椭球和本地参考椭球的差异以及大地水准面和似大地水准面相对本地参考椭球的高差，即大地水准面高N和高程异常。
WGS-84椭球和本地参考椭球可用数学公式表达，它们之间的差异可用坐标变换的方法解决。但大地水准面是与静止海水面相重合的一个重力场等位面，与地球内部质量分布有关。
为了研究的方便和实际的需要本文用H表示GPS大地高，h表示我国的正常高，正高由于和正常高的求法相似在此不做讨论，具体使用时可由正常高的求法类推而出。
2.2 GPS高程测量中大地水准面差距的计算
除了传统的用水准测量和三角高程测量确定高程外，近年来推出的GPS全球定位系统亦为高程定位提供了一种全新的方法。GPS技术已被公认是最先进的三维定位的测量工具，特别是在长距离和不易测量的地区，用GPS高程定位比传统的水准测量法在效率、费用、精度上都有更大的优越性。
但是GPS高程测量有它自身的局限。除了影响高程测量的各种观测误差(如大气传播延迟影响，多路径效应影响，海洋潮汐载荷影响等)以外，基准面的问题是个主要的难点。众所周知，GPS提供的高程是椭球面上的高程，即通常所说的WGS-84椭球体。GPS提供的高程值称为大地高高程H，它适用于地球和建筑物的变形研究。而我们实施的许多工程项目，如民建工程所需的高程则是似大地水准面上的高程，即正常高高程h，因此就需要将椭球面上的高程值转换成似大地水准面上的高程值。理论上，大地高和正常高的关系是已知的，但实际上，将椭球面上的高程转换成似大地水准面上的高程需定出这两个面的差值 ，并要使其达到一定的精度。这些工作还存在许多难点，如重力水准资料和天文观测点密度的充足性等。因而大地高转换成正高便成了研究GPS高程定位的一个关键问题。
现代大地测量学已经确定的大地水准面形状大体是一个不规则的曲面。地球的形状比较接近于一个长短半轴相差约21km的椭球，在北极高出椭球约19m，在南极却凹下约26m，一般它与椭球面的高差均不超过100m。下面来看一下研究大地水准面的三种主要方法。
2.2.1 天文大地水准和天文重力水准
由于垂线偏差的变化与地形密切相关(特别是在山区)，精确地模型化比较困难，并且天文观测点分布稀疏，可靠地内插垂线偏差亦比较困难，所以就严重地限制了天文大地水准的精度和应用。事实上，采用天文大地垂线偏差和重力内插相结合的值，是计算高程异常经常使用的天文重力水准方法。
2.2.2 重力场模型法
利用卫星观测资料和重力测量资料，以球谐级数建立地球重力场模型和高程异常模型的方法，得到了广泛的利用。其主要优点在于适用于全球，只要给定待求点的地理位置，便可在计算机上计算出相应的大地水准面高程。它所确定的大地水准面高程属于地心参考系统，易于和GPS测量基准相联合。这种方法的主要缺点是随着展开式阶次的提高，球谐系数的数量将迅速增加。
2.2.3 地表函数拟合法
如果在一个测区内有几个点，并且它们的大地高H由GPS测得，正常高h由水准测量联测而得，那么就可利用高精度的GPS大地高采用地表拟合法(几何内插法)局部地模拟出大地水准面与椭球面的波动值。事实证明，该方法已被有效地用于短距离范围。
地表函数拟合法是把GPS测得的基线向量以坐标为未知参数按自由网平差,求出GPS网点在WGS-84坐标系中的地心坐标，并求出WGS-84坐标系到本地参心坐标系的转换参数，把网中全部GPS点的WGS-84地心坐标转换为本地参考椭球的参心坐标，求出基于该椭球的大地高，在网中的一些GPS点上联测几何水准，获得这些点的正常高，忽略垂线偏差的影响，同一点的大地高减去该点的正常高即得该点的高程异常。把测区的似大地水准面假定为平面、多项式曲面或其他数学曲面去拟合已知高程异常的点，根据拟合的曲面内插其他GPS点的高程异常值。已变换为本地椭球的大地高减去内插的高程异常值，即把GPS高程转换为正常高。转换为正高的方法相同。工程上和一些GPS数据处理的软件多用此方法，并使用二次多项式曲面进行拟合。这种方法对似大地水准面(大地水准面)作了某种人为的假设,可能出现模型误差。
3 GPS拟合高程的精度研究
对于不同的拟合方法其精度也有差别下面就几何内插拟合的精度作一分析。
3.1 不同拟合方法比较
从试验数据可以看出，不管采用哪种拟合方法都难以在所有的插值点上获得最佳的拟合效果，从拟合残差的总体分布，可以判断拟合模型的精度的高低，拟合精度高说明拟合模型符合拟合区域内高程异常的变化规律。
二次曲面拟合法是在拟合区域内的水准重合点之间，按削高补低的原则平滑出一个二次多项式曲面来代表拟合区域的似大地水准面，供内插使用。拟合范围越大，高程异常的变化越复杂，削高补低的误差也越大。
平面拟合法使用范围比较窄，要求拟合区域地势平坦区域范围较小，似大地水准面接近一个平面，它通过少量的已知固定点拟合出简单的平面模型来近似表示似大地水准面。多面函数拟合是一种纯数学曲面逼近方法，它的出发点是在每个数据点上同各个已知数据点分别建立函数关系(这种关系表现为一规则的数学曲面)，将这些有规律的数学曲面按一定的比例迭加起来，就可拟合出任何不规则的曲面，且能达到较好的拟合效果。待定点是核函数和求解出的迭加系数的线性函数。很明显，多面函数的解算具有最小二乘配置和推值法的性质。最小二乘配置法中的协方差函数是一种统计函数，在高程异常资料稀少的地区很难确定。而多面函数的核函数可以按几何关系确定，它是距离的函数，且顾及了待定点和已知点间的相关关系，起着权系数矩阵的作用。
3.2 不同拟合方法的拟合精度分析
(l) 在六个不同布点方案中，方案Ⅳ的拟合中误差m及拟合残差V(绝对值)最小，方案Ⅴ次之，两方案的精度基本相当。说明在50km2范围内的平坦地区，用均匀分布的5个固定点进行GPS高程拟合，即可保证拟合精度。
(2) 方案Ⅳ为四个固定点的平面拟合，其精度接近方案Ⅴ，但明显高于三个固定点拟合的方案Ⅱ和方案Ⅲ。说明即使在平坦地区，GPS高程拟合也至少需4个以上固定点，才能保证拟合精度。
(3) 方案Ⅶ-Ⅸ是分别对不同固定点降低精度后的拟合结果，其拟合中误差明显增大。亦即说明，固定点的精度是保证GPS高程拟合精度的重要因素之一。
3.3 精度分析结论
通过上述理论分析和实际计算，并参考其他文献中报道的示例，可得出以下几点结论：
(1)在平坦地区利用GPS水准测量可以精确求定局部地区的似大地水准面高度及GPS点的正常高。对于中小测区(150km2以内)，利用该方法可以获得几个厘米的精度(本文算例中m=± 0.89cm)。在测区内保证有足够数量的固定点(同时测有GPS大地高和几何水准高程)的情况下，GPS水准完全可以代替四等几何水准。
(2)在平坦地区的局部区域内，可以用简单的数学曲面来拟合测区的似大地水准面。其中测区面积在100km2以下时，可以用4~5个固定点的平面拟合，面积较大时(100~200km2)，则应采用二次曲面拟合，其固定点的数量以6~10点为宜。过多地增加固定点，并不能明显提高GPS点的高程拟合精度，但固定点太少，又常常会给高程拟合带来一定的系统偏差。因此，在进行测区设计时，应根据测区的具体情况采取经济合理的技术方案。
(3)固定点的位置应大部分布设在GPS网的周边点上，中间点不宜过多。点位分布要均匀，且应具有一定的代表性(个别较高或较低的点不宜作为固定点)。
(4)固定点的精度对GPS高程拟合的影响较大，在一般地区，一个固定点都支撑着周围几十平方公里范围内的 值。因此，每个实测几何水准的高程点的正确性尤为重要。如果测区内的几何水准高程不是同期布设的，则通常在GPS高程拟合前，应对水准点高程的正确性进行检验。检验方法可用狄克松(Dixon)检测法。
(5)在局部低丘地区，其似大地水准面可以用二次曲面拟合，在保证有6个以上固定点的情况下，拟合精度一般可保证在3cm以内。但是在起伏较大的丘陵和山区，因为似大地水准面比较复杂，在GPS高程拟合时，宜采用多面函数拟合法。但至目前为止，该方法在起伏地区的应用国内还未见报道(美国应用得较多)。因此，还有待进一步研究探讨。在比较平坦地区，用多面函数拟合和用二次曲面拟合精度相当，但就计算角度而言，二次曲面拟合方法简单，计算速度快，故在低丘地区宜采用二次曲面拟合法。
4结论
根据上述的分析研究可以得出一下几点结论：
1、不同拟合方法对高程异常拟合值的影响可以达到厘米级，在高程异常的拟合计算中，必须选择合适的拟合方案；
2、采用几何方法拟合高程异常，除应根据高程异常变化选择合适的拟合模型外，还应根据高程异常变化梯度合理地划分拟合分区，以使拟合模型更好地符合区域高程异常的变化趋势；
3、已知点的位置对GPS水准高程拟合的精度影响很大。待定点精度在很大程度上取决于已知点的分布状况。当已知点均匀分布于整个测区时，待定点精度最高。在进行GPS水准高程拟合时一定要使已知点均匀分布于整个测区，并且有一定的代表性，宁可已知点数少也不能因凑数而使已知点分布不均匀，更不能使已知点全部分布在测区的一端。
4、GPS高程拟合的精度与已知联测水准点的精度有关。当已知点的精度降低时，待定点精度明显降低，要得到较高精度的GPS水准高程就要保证已知水准点的精度。
5、用神经网络方法转换GPS高程的精度比通常使用的二次多项式曲面拟合法高，而且转换的精度比较稳定。神经网络方法对联测了水准高程的GPS点的数目要求较少。用神经网络方法转换GPS高程的优点还在于它可以利用地面坐标系或GPS坐标系中的数据直接获得正高或正常高。