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【摘 要】结合高职院校线性代数课程的教学要求，就数学软件Mathematica有关于线性代数方面的内建函数的使用办法作以研究，从而将行列式、矩阵乘法、逆矩阵、矩阵的秩、解线性方程组、特征值等计算内容得以简化，使高职学生能够快速、准确的得到所需的计算结果，掌握有效的计算方法，提高学习效率。
【关键词】软件Mathematica 内建函数 线性代数 相关计算
中图分类号：G4 文献标识码：A DOI：10.3969/j.issn.1672-0407.2015.05.100
对于高职数学中线性代数部分的教学要求是，使得学生明白行列式、矩阵、逆矩阵、初等变换等概念，并且掌握住计算的方法，便于帮助学生得到专业课程所需的结果。然而，在这部分内容的教学过程中，不难发现对于高中数学基础相对较差的高职学生，虽然掌握了求解办法，但是在繁杂与大量的计算中，经常出现错误，难以得到最终正确的结果，而且由于在专业课里所研究的实际问题，更为复杂，计算量庞大，学生往往不能得到最终所需的结论，教学效果并不理想。为解决这个问题，在高职数学课程的教学过程当中，应引入数学软件Mathematica来帮助学生解决问题。它是一款科学计算软件，很好地结合了数值和符号计算引擎、图形系统、编程语言、文本系统等，Mathematica 不仅可以根据需要定义函数，而且它本身包含了大量的功能函数，被称之为内建函数（Built-in Function），直接调用这些函数可以取到事半功倍的效果。内建函数可以归为两类，一是数学上的函数，如三角函数对数函数绝对值函数符号函数等;另一类则是命令意义上的函数了，比如说求行列式的数值，矩阵的秩，做初等变换至行最简形矩阵，解线性方程组等。下面就软件Mathematica 10.0的内建函数在线性代数计算中的应用作以研究。
一、行列式、矩阵的输入及软件操作规范
我们知道线性代数的基本计算单元是行列式、矩阵，在软件Mathematica中，我们需要将行列式输入进Notebook中，方法有以下三种，一是根据菜单创建：Insert―Table/Matrix 在Create选项卡里输入所需的行数（rows）与列数（columns）;二是利用快捷键创建：Ctrl+Enter 可以将矩阵加行，Ctrl+，可以增加一列，从而得到所需的矩阵型号，值得注意的是，有些系统的输入法也包含此快捷键命令，为避免冲突，可将中文输入法关闭。一般情况下用A、B、C等字母来命名所输入的矩阵或行列式，避免使用字母D，因为D它本身也是一种内建函数，用于求解导数，如果非要用D来定义的话，在定义前请将字母D接触保护，才可重新命名。如图1。三是利用数学操作面板来输入矩阵，调用办法为：菜单Paleetes Basic Math Assistant。针对于软件Mathematica的运行，需要遵从以下几个操作规范：1每一个内建函数首个字母需要大写，且函数后面跟中括号[ ];2 软件的执行命令为“Shift+Enter”或用小键盘上的“Enter”;3 分号代表软件执行计算，但不再反馈计算结果;4 百分号 %代表上次输出结果;5 软件Mathematica读取矩阵是按照表格list读取，当我们需要将其转换为表格形式时，需要用内建函数MatrixForm进行转换。
二、关于线性代数的常用计算
（一）求行列式的值
行列式求值，一般情况下，为了便于计算，在高职线性代数的教学过程中，给出阶数不会超过四阶。二阶、三阶的矩阵可以直接用对角线法则计算，超过三阶的行列式，采用化为上（下）三角形行列式，或者按行（列展开）来计算。学生对此种计算方法掌握情况较好，但难免会出现计算错误，并且在专业课中如果遇到行列式，阶数会较高，计算量庞大，利用软件的内建函数可以直接给出最终结果，使用方法如图2，在这里，可以将行列式进行命名，也可直接输入进行求解。
（二）求矩阵的乘法、转置矩阵、逆矩阵
矩阵之间的乘法用符号“.”来实现，其内建函数是Dot。在notebook上，按照顺序输入可以相乘的矩阵，利用内建函数Dot来实现。Mathematica 10 版本中，可以根据得出的数据，自动联想接下来可能的操作，如图3。
转置矩阵是将原来的矩阵的行变为列，列变为行，软件使用的内建函数是Transpose[A];对于高职线性代数的教学逆矩阵的求法是一个难点，可以通过伴随矩阵的方法来求解低阶的逆矩阵，也可以通过初等变换的求法来求解，但是二者的计算量都很大，所以让学生掌握求解理论后，用软件来求解，这样更加便于学生准确求出专业所需的结果。软件求解逆矩阵的内建函数是Inverse[A]，如果所输入的矩阵不是方阵或它的行列式值为0，软件会自动给出相应的提示，从而便于修改进行正确计算。如图4
（三）行最简形矩阵、矩阵的秩
矩阵的秩是反映矩阵固有性质的一个重要概念，利用初等变换将矩阵变为行阶梯形或行最简形矩阵，找出非零行的行数，是传统的求矩阵秩的办法。用软件求矩阵的秩或化为行最简形矩阵，所使用的内建函数分别为MatrixRank[A]，RowReduce[A].如图5
（四）解线性方程组
Mathematica提供了许多种方法解线性方程组，常用的是以下几个内建函数：
NullSpace[A] 求齐次线性方程组Ax=0的一个基础解系;LinearSolve[A，b] 求线性方程组Ax=b的一个特解。例如，求解无穷多解的线性方程组Ax=b。如图6。
（五）特征向量，特征值
在线性变换的理论中，矩阵的特征值有着重要应用，给定方阵A，如果存在一个实数λ和一个向量ζ，满足Aζ=λζ，则称λ是A的一个特征值，而ζ称为A关于λ的特征向量。软件Mathematica给出的内建函数使用命令是：Eigenvalue[A]，Eigenvectors[A]，Eignsystem[A]，分别用来求解方阵A的特征值，线性无关向量组，全部特征值和对性的线性无关向量组。其中函数Eignsystem[A]最好用，输出结果含义十分清楚，通常使用这个函数就够了;命令CharacteristicPloynomial[A，x]是用来求解方阵A的特征多项式，其中x指明了多项式所使用的字符。例如求方阵的特征多形式、特征值与对性的特征向量，如图7
三、内建函数与线性代数运算对应表
对于在高职线性代数部分的教学过程中，所需要的使用的Mathematica的内建函数使用命令如表一所示：
通过对软件Mathematica内建函数的研究，在教学过程中，让学生掌握其使用规范及内建函数的相关功能，以便于学生能够快速准确的得到专业上所需要的计算结果，提高学习、工作的效率。
参考文献
[1]《Mathematica基础与应用》，丁大正主编，电子工业出版社2012.12.
[2]《Компьютерная математика символьный пакет MATHEMATICA》 Голубева Л.Л 著 Belarusian State University 2006.6.
[“本文系2013年度邯郸市教育科学“十二五””规划课题：软件Mathematica在高职数学教学中应用研究的研究成果，课题编号是1311002”]
【关键词】软件Mathematica 内建函数 线性代数 相关计算
中图分类号：G4 文献标识码：A DOI：10.3969/j.issn.1672-0407.2015.05.100
对于高职数学中线性代数部分的教学要求是，使得学生明白行列式、矩阵、逆矩阵、初等变换等概念，并且掌握住计算的方法，便于帮助学生得到专业课程所需的结果。然而，在这部分内容的教学过程中，不难发现对于高中数学基础相对较差的高职学生，虽然掌握了求解办法，但是在繁杂与大量的计算中，经常出现错误，难以得到最终正确的结果，而且由于在专业课里所研究的实际问题，更为复杂，计算量庞大，学生往往不能得到最终所需的结论，教学效果并不理想。为解决这个问题，在高职数学课程的教学过程当中，应引入数学软件Mathematica来帮助学生解决问题。它是一款科学计算软件，很好地结合了数值和符号计算引擎、图形系统、编程语言、文本系统等，Mathematica 不仅可以根据需要定义函数，而且它本身包含了大量的功能函数，被称之为内建函数（Built-in Function），直接调用这些函数可以取到事半功倍的效果。内建函数可以归为两类，一是数学上的函数，如三角函数对数函数绝对值函数符号函数等;另一类则是命令意义上的函数了，比如说求行列式的数值，矩阵的秩，做初等变换至行最简形矩阵，解线性方程组等。下面就软件Mathematica 10.0的内建函数在线性代数计算中的应用作以研究。
一、行列式、矩阵的输入及软件操作规范
我们知道线性代数的基本计算单元是行列式、矩阵，在软件Mathematica中，我们需要将行列式输入进Notebook中，方法有以下三种，一是根据菜单创建：Insert―Table/Matrix 在Create选项卡里输入所需的行数（rows）与列数（columns）;二是利用快捷键创建：Ctrl+Enter 可以将矩阵加行，Ctrl+，可以增加一列，从而得到所需的矩阵型号，值得注意的是，有些系统的输入法也包含此快捷键命令，为避免冲突，可将中文输入法关闭。一般情况下用A、B、C等字母来命名所输入的矩阵或行列式，避免使用字母D，因为D它本身也是一种内建函数，用于求解导数，如果非要用D来定义的话，在定义前请将字母D接触保护，才可重新命名。如图1。三是利用数学操作面板来输入矩阵，调用办法为：菜单Paleetes Basic Math Assistant。针对于软件Mathematica的运行，需要遵从以下几个操作规范：1每一个内建函数首个字母需要大写，且函数后面跟中括号[ ];2 软件的执行命令为“Shift+Enter”或用小键盘上的“Enter”;3 分号代表软件执行计算，但不再反馈计算结果;4 百分号 %代表上次输出结果;5 软件Mathematica读取矩阵是按照表格list读取，当我们需要将其转换为表格形式时，需要用内建函数MatrixForm进行转换。
二、关于线性代数的常用计算
（一）求行列式的值
行列式求值，一般情况下，为了便于计算，在高职线性代数的教学过程中，给出阶数不会超过四阶。二阶、三阶的矩阵可以直接用对角线法则计算，超过三阶的行列式，采用化为上（下）三角形行列式，或者按行（列展开）来计算。学生对此种计算方法掌握情况较好，但难免会出现计算错误，并且在专业课中如果遇到行列式，阶数会较高，计算量庞大，利用软件的内建函数可以直接给出最终结果，使用方法如图2，在这里，可以将行列式进行命名，也可直接输入进行求解。
（二）求矩阵的乘法、转置矩阵、逆矩阵
矩阵之间的乘法用符号“.”来实现，其内建函数是Dot。在notebook上，按照顺序输入可以相乘的矩阵，利用内建函数Dot来实现。Mathematica 10 版本中，可以根据得出的数据，自动联想接下来可能的操作，如图3。
转置矩阵是将原来的矩阵的行变为列，列变为行，软件使用的内建函数是Transpose[A];对于高职线性代数的教学逆矩阵的求法是一个难点，可以通过伴随矩阵的方法来求解低阶的逆矩阵，也可以通过初等变换的求法来求解，但是二者的计算量都很大，所以让学生掌握求解理论后，用软件来求解，这样更加便于学生准确求出专业所需的结果。软件求解逆矩阵的内建函数是Inverse[A]，如果所输入的矩阵不是方阵或它的行列式值为0，软件会自动给出相应的提示，从而便于修改进行正确计算。如图4
（三）行最简形矩阵、矩阵的秩
矩阵的秩是反映矩阵固有性质的一个重要概念，利用初等变换将矩阵变为行阶梯形或行最简形矩阵，找出非零行的行数，是传统的求矩阵秩的办法。用软件求矩阵的秩或化为行最简形矩阵，所使用的内建函数分别为MatrixRank[A]，RowReduce[A].如图5
（四）解线性方程组
Mathematica提供了许多种方法解线性方程组，常用的是以下几个内建函数：
NullSpace[A] 求齐次线性方程组Ax=0的一个基础解系;LinearSolve[A，b] 求线性方程组Ax=b的一个特解。例如，求解无穷多解的线性方程组Ax=b。如图6。
（五）特征向量，特征值
在线性变换的理论中，矩阵的特征值有着重要应用，给定方阵A，如果存在一个实数λ和一个向量ζ，满足Aζ=λζ，则称λ是A的一个特征值，而ζ称为A关于λ的特征向量。软件Mathematica给出的内建函数使用命令是：Eigenvalue[A]，Eigenvectors[A]，Eignsystem[A]，分别用来求解方阵A的特征值，线性无关向量组，全部特征值和对性的线性无关向量组。其中函数Eignsystem[A]最好用，输出结果含义十分清楚，通常使用这个函数就够了;命令CharacteristicPloynomial[A，x]是用来求解方阵A的特征多项式，其中x指明了多项式所使用的字符。例如求方阵的特征多形式、特征值与对性的特征向量，如图7
三、内建函数与线性代数运算对应表
对于在高职线性代数部分的教学过程中，所需要的使用的Mathematica的内建函数使用命令如表一所示：
通过对软件Mathematica内建函数的研究，在教学过程中，让学生掌握其使用规范及内建函数的相关功能，以便于学生能够快速准确的得到专业上所需要的计算结果，提高学习、工作的效率。
参考文献
[1]《Mathematica基础与应用》，丁大正主编，电子工业出版社2012.12.
[2]《Компьютерная математика символьный пакет MATHEMATICA》 Голубева Л.Л 著 Belarusian State University 2006.6.
[“本文系2013年度邯郸市教育科学“十二五””规划课题：软件Mathematica在高职数学教学中应用研究的研究成果，课题编号是1311002”]