抓本质悟内涵 多角度得一法

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  原题再现
  例(2020·四川·成都·第28题)在平面直角坐标系xOy 中,已知抛物线y = ax2 + bx + c 与x 轴交于A(-1,0),B(4,0)两点,与y 轴交于点C(0,-2).
  (1)求抛物线的函数表达式.
  (2)如图1,点D 为第四象限抛物线上一点,连接AD,BC 交于点E,连接BD,记△BDE 的面积为S1,△ABE 的面积为S2,求S1S2的最大值.
  (3)如图2,连接AC,BC,过点O 作直线l?BC,点P,Q 分别为直线l 和抛物线上的点. 试探究:在第一象限是否存在这样的点P,Q,使△PQB ∽△CAB. 若存在,请求出所有符合条件的点P 的坐标;若不存在,请说明理由.
  考点剖析
  1. 涉及的知识点:待定系数法求表达式,一次函数、二次函数的图象和性质,相似三角形的判定和性质,三角形的面积,勾股定理.
  2. 涉及的思想方法:分类讨论思想、数形结合思想、转化思想.
  3. 题目难点:考查知识点较多、代数最值问题.
  4. 基本模型:A字形和8字形相似、一线三等角、勾股定理、函数最值模型.
  学情分析
  (1)本小题考查确定二次函数表达式. 二次函数表达式有两种通用形式,即一般式y = ax2 + bx + c(已知抛物线上任意三个点)和顶点式y = a( x - h )2 + k(已知抛物线顶点和任意一个点),还有一种特殊形式,即交点式y = a( x + x1)( x + x2)(已知抛物线与x 轴的两个交点),需要结合题意,抓住特征选取恰当的方法求解表达式.
  解法1:从抛物线与y 轴交点C(0,-2)入手,直接得到c 的值,这样可以利用一般式求解.∵点C(0,-2)在抛物线y = ax2 + bx + c 上,∴c = -2.
  将A(-1,0),B(4,0)代入,可得ìí?????a =12,b = -32.∴抛物线的表达式为y=12x2 -32x - 2.
  解法2:从抛物线与x 轴的两个交点A(-1,0),B(4,0)入手,利用交点式求解.设抛物线的表达式为y=a(x + 1)(x - 4). 将C(0,-2)代入,可得a=12,∴抛物线的表达式为y=12(x + 1)(x - 4),即y=12x2 -32x - 2.
  (2)该问是考查面积比的最值问题,表示△BDE 和△ABE 的面积是解题的关键. 但是它们的底和高都是变量,故而表示它们的底和高就是这个问题的难点. 在平面直角坐标系中,表示一条倾斜线段的长度往往较困难,此时可以将倾斜线段转化为与坐标轴平行(或垂直)的线段. 下面介绍四种解法(方法有变化,本质无区别)
  解法1:如图3,过点A 作AK?y 轴,交BC 延长线于点K,过点D 作DF?y 轴,交BC 于点F,则AK?DF,∴△AKE ∽△DFE,∴DEAE = DFAK,∴S1S2 = DEAE = DFAK,可求得直线BC 的表达式为y=12x - 2,由AK?y 轴,可得AK=52,设D( ) m,12m2 -32m - 2 ,则F( ) m,12m - 2 ,∴DF=-12m2 + 2m.则可得S1S2 = DFAK= -15( m - 2 )2 +45.∵-15< 0,∴当m=2时,S1S2有最大值,最大值是45.
  解法2:如图4,过点D 作DF?BC,交x 轴于点F,∴DEAE = BFAB . ∴S1S2 = DEAE = BFAB .∵直线BC 的表达式为y=12x - 2,∴设直线DF 表达式为y=12x + b.设D( ) m,12m2 -32m - 2 ,将点D 代入直线DF 表达式得b =12m2 - 2m - 2.∴直线DF 表达式为y=12x +12m2 - 2m - 2.
  ∴F(-m2 + 4m + 4,0),∴BF= -m2 + 4m .
  后续解题过程略,请同学们自己完成.
  解法3:如图5,过点D 作DF?x 轴交BC 于点F,则△ABE ∽△DFE .
  ∴DEAE = DFAB,∴S1S2 = DEAE = DFAB .
  设点D 的坐标,表示DF 即可,
  后续解题过程略,请同学们自己完成.
  解法4:如图6,过点D 作DG⊥x 轴于点G,过点E 作EF⊥x轴于点F .
  由EF?DG,得S1S2 = DEAE = GFAF,
  设点D 的坐标,联立直线AD 和直线BC 的表達式得到方程组,解该方程组求出点E 的坐标,进而表示GF,AF 即可.
  后续解题过程略,请同学们自己完成.
  本质感悟:由于△BDE 和△ABE 同高,因此其面积比实质上就是其底的比,即线段DE 和AE 的比,接下来就是将线段DE和AE 的比利用不同的方式进行转化,其主导思想是改“斜”归“正”.
  (3)相似三角形的存在性问题分为两种类型,第一种是用相似符号给出的相似三角形,具有确定性,第二种是用文字给出的相似三角形,考查分类讨论思想. 本小题考查的是第一种类型. 题中指定了对应顶点,其难点为双动点问题:有一个动点在抛物线上,另一个动点在直线上.结合已知条件可得出△ABC 是直角三角形,由点P,Q 使△PQB ∽△CAB,可知△PQB 也是直角三角形,这样便找到了“题眼”,将相似三角形的存在性转化为直角三角形的存在性,从而构造“一线三等角”模型解题.
  解:符合条件的点P的坐标为(68 )9 , 349 或(6 + 2 41 )5 , 3 + 415 .
  ∵l?BC,∴直线l 的解析式为y=12x,设P( ) a,12a ,   ①当点P 在直线BQ 右侧时,如图7,过点P 作PN⊥x 轴于点N,过点Q 作QM⊥直线PN 于点M,
  可得AC= 5,AB=5,BC=2 5,
  ∴AC2 + BC2=AB2,∴∠ACB=90°.
  ∵△PQB ∽△CAB,∴PQPB = ACBC =12,∠QPB = ∠ACB=90°.
  ∵∠QMP=∠BNP=90°,
  ∴∠MQP + ∠MPQ=90°,∠MPQ + ∠BPN=90°.
  ∴∠MQP=∠BPN,∴△QPM ∽△PBN.
  ∴QMPN = PMBN = PQPB =12. ∴QM=a4,PM=12(a - 4)=12a - 2.
  ∴MN=a - 2,BN - QM=34a - 4. ∴Q( ) 34a, a - 2 .
  将点Q 的坐标代入抛物线的表达式得12× ( ) 34a2-32×34a - 2 = a - 2,
  解得a=0(舍去)或a=689 .
  ∴P(68 )9 , 349 .
  ②当点P在直线BQ左侧时,由①的方法同理可得点Q的坐标为( ) 54a, 2 .
  此時点P的坐标为(6 + 2 41 )5 , 3 + 415 .
  本质感悟:直角三角形存在性问题的通解通法是一线三等角,平面直角坐标系内有直角的存在,是构造一线三等角模型的提示性条件,因此本题构造一线三等角模型的突破口就是直角三角形,构造的方法为过直角顶点作坐标轴的平行线(或垂线).
  勤于积累
  1. 模型积累:一线三等角模型,如图8~图10.
  模型的应用分为两种,第一种为显性模型应用,即在题中直接给出基本模型,并直接利用模型解决问题;第二种为隐性模型应用,即题中隐含模型,但图形不完整,需要通过图形特征或者题中条件补全模型,然后加以应用解决问题.
  一线三等角模型主要应用于相似三角形,解题关键是抓住模型特征“. 一线”是模型中确定三等角的重要条件,在平面直角坐标系中,通常以平行(或垂直)于坐标轴的直线为一线,由于坐标轴互相垂直,因此三等角为三个直角.
  2.方法归纳:
  (1)面积比问题的解决方法:
  ①用相似三角形的性质(面积之比等于相似比的平方);
  ②同高时,面积之比等于底边之比,反之亦然,其中前者较为常见.
  (2)直角三角形存在性问题:
  ①一线三等角模型——三角形相似;
  ②勾股定理逆定理;
  ③直角→两直线垂直→一次函数图象→k1 ? k2 = -1.
  (作者单位:锦州市实验学校)
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