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摘要：作为中、小学阶段学生的必修课程之一，数学自身具有的抽象性导致应用传统的教学方式无法实现提高教学质量的目标，因此，对能够将具象图形和抽象数字进行数形结合的思想加以运用，具有一定的现实意义。文章首先对数形结合的含义进行了简明扼要的概括，然后从教师的角度出发，分析了应用数形结合方法的有效策略，最后通过理论与实际相结合的方式，围绕着“初中数学教学活动中数形结合方法的具体运用”展开了讨论，供各位教师参考。
关键词：初中数学教学；数形结合方法；具体运用
一、 引言
在传统观念中，开展教学活动的目的主要是提高学生成绩，正是因为如此，初中教师普遍忽略了对学生学习能力以及综合素质进行提升的重要作用，数形结合的方法自然没有引起数学教师的注意。但是随着新课改的推行，教师的教学理念也出现了明显的变化，数形结合的方法逐渐在初中数学课堂上得到了运用，实践结果表明，这样做不仅能够提高学生素质，还能够推动数学教学的进步，由此可以看出，围绕着数形结合方法的具体运用展开讨论是很有必要的。
二、 数形结合方法的概述
数形结合的实质是一种将具象图形和抽象数字进行结合后得出的思想，作为能够将抽象知识通过形象图形加以表达的思想，数形结合常被用在阐述数学概念、解决数学问题的过程中。对于初中阶段围绕着数学这门学科所开展的教学活动而言，运用数形结合方法具有的意义是十分突出的。一方面，数形结合能够将抽象知识以更加具象化的形式呈现在学生眼前。与其他学科相比，数学的特点主要体现在其所具有的抽象性的方面，而在素质教育取代应试教育主体地位的当今社会，综合实践能力成为衡量学生整体水平的主要依据，如果仍旧沿用传统的教学方法，不仅会使学生对数学产生恐惧心理，还会导致数学具有的价值和作用无法得到最大化实现。而将数形结合的方法运用在教学过程中，能够以更加形象并且直观的方式将抽象的数学知识加以呈现，在降低课程难度的基础上，激发学生对数学这门学科具有的学习兴趣，从而主动对相关知识点进行学习与应用；另一方面，数形结合能夠加强学生具有的解题能力。数形结合能够通过拓展学生思维的方式，使学生掌握更加丰富的解题技巧，并使其形成相应的解题思路，使得学生在对数学题目进行解答的准确率和速度方面都能够得到不同程度的提升。
三、 应用数形结合方法的有效策略
（一） 在解题过程中对数形结合方法加以渗透
如果想要使学生养成见数想形、见形思数的习惯，关键是在解题过程中对数形结合方法加以渗透，这一策略的提出是因为解题方法的运用始终建立在对知识进行准确掌握的基础上，也就是说，方法是无法脱离知识或问题而独立存在的。基于此，初中数学教师在开展教学活动时，应当将培养学生的数形转化能力作为主要目标，引导并鼓励学生将图形应用在解题的过程中，只有这样，才能使他们真正体会到数形结合带来的便利。例如，在对一元二次方程所对应求根公式进行讲解时，大多数学生都会以现有认知结构为依据，对与ax2-b=0相似的ax2 bx c=0这一方程进行解答，此时，教师需要做的就是引导学生围绕以下内容展开探索：已知未知数x和常数c之间不存在关系，因此，将常数c向等号右端进行移动是可行的，那么，ax2 bx=-c成立，接下来需要进行的环节是去除二次项系数，得出x2 ba·x=-ca，再将左端延伸成为完全平方公式，就实现了将其向一元二次方程进行转化的目标，式中的x2可以被看作边长是x的正方形，ba·x可以被看作边长是x和ba的矩形，将该矩形分割成两个不同的矩形，边长分别是x和b2a，再将这两个矩形与边长是x的正方形进行结合，可以发现所得出图形与正方形的区别在于缺少一个以b2a为边长的正方形，最后需要注意减去补上的面积。通过对上文所叙述的全过程进行总结，可得表达式如下：
x2 x （）2=（）2-
（x ）2=
x=（a≠0）
（二） 借助多媒体技术对数形结合方法进行展现
多媒体技术的作用主要是通过动态变化过程对问题进行验证，将立体图形向平面图形进行转变的过程以直观的方式呈现在学生眼前，使学生掌握利用动态眼光分析、解决问题的方法。例如，教师可以通过幻灯片对圆锥体、圆柱体或其他立体几何图形的展开图进行演示，并使学生明确不同立体图形都是哪些平面图形通过旋转的方式得出的。由于在黑板上无法对动态的旋转进行直观表达，因此，在传统理念指导下所开展的教学活动中，学生只能通过想象的方式对教师传授的内容进行领悟，以多媒体为工具，则能够将图形运动的全过程进行生动、形象的表现。也就是说，多媒体技术不仅对呈现数学知识的方式进行了优化，还通过数形结合的方式实现了知识的动态处理，在减弱数学所具有抽象性的基础上，为学生提供了广阔的想象空间。当然需要教师注意一点，并非全部的数学课程都可以通过多媒体演示的方式得到事半功倍的效果，因此，教师应当以学生的实际情况和教学内容为依据，对多媒体技术进行有选择性的应用。
（三） 通过反思的方式，对数形结合方法进行提炼
由于初中阶段接触到的大量数学知识点都与数形结合方法存在一定的联系，如果数学教师只有在遇到相关问题时，才对数形结合方法进行传授，会显得过于杂乱，学生自然无法对这一思想和方法的应用加以掌握。想要避免上述情况的出现，需要教师进行的工作就是对教材中与数形结合相关的内容进行挖掘、归纳和整理，并结合不同知识点选取例题，通过在课堂上进行分析和讲解的方式，使学生能够在短时间内了解能够运用数形结合方法解答的题目类型以及解题思路。
四、 初中数学教学活动中数形结合方法的具体运用
（一） 以形助数
以形助数是初中阶段所开展数学教学中，运用数形结合最多的一种方法，其关键在于通过形对相对抽象的数进行直观展示，在对代数问题进行解决时，学生往往无法在第一时间想到通过数形结合的方法完成相关计算，因此，初中数学教师应当有针对性地对学生在数形转化方面具有的思想和能力进行培养，例如，在对“幂的乘除与因式分解”的有关内容进行学习时，利用长方形面积完成对平方差、完全平方公式进行推导的工作；在对“绝对值”的有关内容进行学习时，将数轴作为教学内容的一部分……总的来说，以形助数可以被概括为以下两方面：其一，在数轴、直角坐标系的帮助下完成对几何图形的构造，解决代数问题；其二，通过对几何图形加以运用的方式，理解不同公式表达的内容。 例1下图是y=ax2 bx c这一函数的图像，那么以下结论中正确的是（）
A. a c>b
B. abc>0
C. b2-4ac<0
D. 4a 2b c>0
解析：由图像可知a<0，-b2a=1，c>0，Δ= b2-4ac>0，故排除选项C；由于b=-2a>0，abc<0，故排除选项B；若x=-1，y=a-b c<0，a c0，故选项D正确。
例2在y=-3x-5这一函数图像上存在点A坐标为（-3，4），设该一次函数和y轴相交的点为B，那么，点A、点B与原点O形成的△ABO的面积是多少？
解析：由于点B是y=-3x-5和y轴的交点，因此，点B的横坐标是0，纵坐标是-5，也就是说点B的坐标为（0，-5），则S△ABO=12·|-3|·|-5|=7.5。
例3对x-1≥-x2 2x 1进行求解。
解析：由于学生在此前尚未接触过一元二次不等式的解法，因此，在计算该题时可以选择数形结合的思想加以运用，首先在数轴上画出y1=x-1的函数图像，然后再在同一个数轴上画出y2=-x2 2x 1的函数图像，并对处于y2上方的y所对应x的具体范围进行计算，最终得出的结论即为该不等式的解。
（二） 以数解形
以数解形的关键是通过数对蕴含于形中的数量关系进行揭示，达到反映图形属性的效果。作为初中数学的主要构成部分，在对与几何图形相关的问题进行求解时，学生均可以运用数形结合的方式，将图形性质问题向数量关系问题进行转化，在保证解题准确性的基础上提高解题速度。目前，数形结合的方法已经在初中数学课堂上得到了广泛应用，例如，在对“数轴”的有关知识进行学习时，教师往往会通过温度计示数引出“数轴”这一概念；在对“一次函数”的有关知识进行学习时，教师又会将其与函数图像进行结合，保证学生能够通过函数图像对一次函数的性质具有更加清晰的认识……总的来说，以数解形可以被概括为以下两方面：其一，利用角度、面积等因素，对几何问题进行解答；其二，利用数轴、直角坐标系等因素，将最初的几何问题向代数问题进行转化。
例4已知y=kx这一正比例函数的图像和y=5-kx（k≠0，且k为常数）这一反比例函数的图像存在一个横坐标是2的交点，请计算出这两个函数之间所有交点坐标。
解析：在对该类题解答时应用以数助形的思想，往往可以取得良好的效果。已知这两个函数图像存在一个横坐标是2的交点，那么可得出方程组如下：
y=2ky=5-k2
简化后得出：2k=5-k2，k=1，满足k≠0且k为常数这一条件，那么题中所给一次函数的表达式就应当是y=x，而反比例函数的表达式则应当是y=4x，若交点1的横坐标x是2，那么该交点的纵坐标同样是2，即交点1坐标（2，2），此时，再以“图像成中心对称”这一定理为依据，可得出交点2坐标（-2，-2）。
例5对y1=k1x a，y2=k2x b这两条直线所处位置具有的关系进行探究。
解析：在对直线位置关系进行研究时，可以将方程组的解作为依据，根据题目所给的已知条件，可得出方程组：y1=k1x ay2=k2x b
该方程组所具有的几何意义即为题目中所给出两条直线在位置上的关系，对方程组进行求解时，可能出现的情况共有三种，分别是有且只有一个解、无解以及有无数个解，而这三种情况对应的直线位置关系分别是相交、平行以及重合。
五、 结论
通过对上文所叙述的内容进行分析可以看出，数形结合与数学知识间存在着密不可分的关系，具体来说，数形结合就是将数学知识作为基础，通过将空间形式与数量关系进行结合的方式，达到对不同数学问题进行高效解决的目标的方法。本文主要从以形助数与以数解形两个方面，对数形结合在初中数学教学过程中的实际运用进行了讨论，希望可以在某些方面为初中数学教师提供帮助，提高教学的质量和水平。
参考文献：
[1] 陈文光.初中数学教学中数形结合方法的实际应用[J].考试周刊，2017（A2）：97.
[2] 陈仲杰.试论初中数学教学中数形结合方法的应用[J].考試周刊，2016（61）：76-77.
作者简介：田然，浙江省宁波市，浙江省宁波市象山县城南学校。
关键词：初中数学教学；数形结合方法；具体运用
一、 引言
在传统观念中，开展教学活动的目的主要是提高学生成绩，正是因为如此，初中教师普遍忽略了对学生学习能力以及综合素质进行提升的重要作用，数形结合的方法自然没有引起数学教师的注意。但是随着新课改的推行，教师的教学理念也出现了明显的变化，数形结合的方法逐渐在初中数学课堂上得到了运用，实践结果表明，这样做不仅能够提高学生素质，还能够推动数学教学的进步，由此可以看出，围绕着数形结合方法的具体运用展开讨论是很有必要的。
二、 数形结合方法的概述
数形结合的实质是一种将具象图形和抽象数字进行结合后得出的思想，作为能够将抽象知识通过形象图形加以表达的思想，数形结合常被用在阐述数学概念、解决数学问题的过程中。对于初中阶段围绕着数学这门学科所开展的教学活动而言，运用数形结合方法具有的意义是十分突出的。一方面，数形结合能够将抽象知识以更加具象化的形式呈现在学生眼前。与其他学科相比，数学的特点主要体现在其所具有的抽象性的方面，而在素质教育取代应试教育主体地位的当今社会，综合实践能力成为衡量学生整体水平的主要依据，如果仍旧沿用传统的教学方法，不仅会使学生对数学产生恐惧心理，还会导致数学具有的价值和作用无法得到最大化实现。而将数形结合的方法运用在教学过程中，能够以更加形象并且直观的方式将抽象的数学知识加以呈现，在降低课程难度的基础上，激发学生对数学这门学科具有的学习兴趣，从而主动对相关知识点进行学习与应用；另一方面，数形结合能夠加强学生具有的解题能力。数形结合能够通过拓展学生思维的方式，使学生掌握更加丰富的解题技巧，并使其形成相应的解题思路，使得学生在对数学题目进行解答的准确率和速度方面都能够得到不同程度的提升。
三、 应用数形结合方法的有效策略
（一） 在解题过程中对数形结合方法加以渗透
如果想要使学生养成见数想形、见形思数的习惯，关键是在解题过程中对数形结合方法加以渗透，这一策略的提出是因为解题方法的运用始终建立在对知识进行准确掌握的基础上，也就是说，方法是无法脱离知识或问题而独立存在的。基于此，初中数学教师在开展教学活动时，应当将培养学生的数形转化能力作为主要目标，引导并鼓励学生将图形应用在解题的过程中，只有这样，才能使他们真正体会到数形结合带来的便利。例如，在对一元二次方程所对应求根公式进行讲解时，大多数学生都会以现有认知结构为依据，对与ax2-b=0相似的ax2 bx c=0这一方程进行解答，此时，教师需要做的就是引导学生围绕以下内容展开探索：已知未知数x和常数c之间不存在关系，因此，将常数c向等号右端进行移动是可行的，那么，ax2 bx=-c成立，接下来需要进行的环节是去除二次项系数，得出x2 ba·x=-ca，再将左端延伸成为完全平方公式，就实现了将其向一元二次方程进行转化的目标，式中的x2可以被看作边长是x的正方形，ba·x可以被看作边长是x和ba的矩形，将该矩形分割成两个不同的矩形，边长分别是x和b2a，再将这两个矩形与边长是x的正方形进行结合，可以发现所得出图形与正方形的区别在于缺少一个以b2a为边长的正方形，最后需要注意减去补上的面积。通过对上文所叙述的全过程进行总结，可得表达式如下：
x2 x （）2=（）2-
（x ）2=
x=（a≠0）
（二） 借助多媒体技术对数形结合方法进行展现
多媒体技术的作用主要是通过动态变化过程对问题进行验证，将立体图形向平面图形进行转变的过程以直观的方式呈现在学生眼前，使学生掌握利用动态眼光分析、解决问题的方法。例如，教师可以通过幻灯片对圆锥体、圆柱体或其他立体几何图形的展开图进行演示，并使学生明确不同立体图形都是哪些平面图形通过旋转的方式得出的。由于在黑板上无法对动态的旋转进行直观表达，因此，在传统理念指导下所开展的教学活动中，学生只能通过想象的方式对教师传授的内容进行领悟，以多媒体为工具，则能够将图形运动的全过程进行生动、形象的表现。也就是说，多媒体技术不仅对呈现数学知识的方式进行了优化，还通过数形结合的方式实现了知识的动态处理，在减弱数学所具有抽象性的基础上，为学生提供了广阔的想象空间。当然需要教师注意一点，并非全部的数学课程都可以通过多媒体演示的方式得到事半功倍的效果，因此，教师应当以学生的实际情况和教学内容为依据，对多媒体技术进行有选择性的应用。
（三） 通过反思的方式，对数形结合方法进行提炼
由于初中阶段接触到的大量数学知识点都与数形结合方法存在一定的联系，如果数学教师只有在遇到相关问题时，才对数形结合方法进行传授，会显得过于杂乱，学生自然无法对这一思想和方法的应用加以掌握。想要避免上述情况的出现，需要教师进行的工作就是对教材中与数形结合相关的内容进行挖掘、归纳和整理，并结合不同知识点选取例题，通过在课堂上进行分析和讲解的方式，使学生能够在短时间内了解能够运用数形结合方法解答的题目类型以及解题思路。
四、 初中数学教学活动中数形结合方法的具体运用
（一） 以形助数
以形助数是初中阶段所开展数学教学中，运用数形结合最多的一种方法，其关键在于通过形对相对抽象的数进行直观展示，在对代数问题进行解决时，学生往往无法在第一时间想到通过数形结合的方法完成相关计算，因此，初中数学教师应当有针对性地对学生在数形转化方面具有的思想和能力进行培养，例如，在对“幂的乘除与因式分解”的有关内容进行学习时，利用长方形面积完成对平方差、完全平方公式进行推导的工作；在对“绝对值”的有关内容进行学习时，将数轴作为教学内容的一部分……总的来说，以形助数可以被概括为以下两方面：其一，在数轴、直角坐标系的帮助下完成对几何图形的构造，解决代数问题；其二，通过对几何图形加以运用的方式，理解不同公式表达的内容。 例1下图是y=ax2 bx c这一函数的图像，那么以下结论中正确的是（）
A. a c>b
B. abc>0
C. b2-4ac<0
D. 4a 2b c>0
解析：由图像可知a<0，-b2a=1，c>0，Δ= b2-4ac>0，故排除选项C；由于b=-2a>0，abc<0，故排除选项B；若x=-1，y=a-b c<0，a c
例2在y=-3x-5这一函数图像上存在点A坐标为（-3，4），设该一次函数和y轴相交的点为B，那么，点A、点B与原点O形成的△ABO的面积是多少？
解析：由于点B是y=-3x-5和y轴的交点，因此，点B的横坐标是0，纵坐标是-5，也就是说点B的坐标为（0，-5），则S△ABO=12·|-3|·|-5|=7.5。
例3对x-1≥-x2 2x 1进行求解。
解析：由于学生在此前尚未接触过一元二次不等式的解法，因此，在计算该题时可以选择数形结合的思想加以运用，首先在数轴上画出y1=x-1的函数图像，然后再在同一个数轴上画出y2=-x2 2x 1的函数图像，并对处于y2上方的y所对应x的具体范围进行计算，最终得出的结论即为该不等式的解。
（二） 以数解形
以数解形的关键是通过数对蕴含于形中的数量关系进行揭示，达到反映图形属性的效果。作为初中数学的主要构成部分，在对与几何图形相关的问题进行求解时，学生均可以运用数形结合的方式，将图形性质问题向数量关系问题进行转化，在保证解题准确性的基础上提高解题速度。目前，数形结合的方法已经在初中数学课堂上得到了广泛应用，例如，在对“数轴”的有关知识进行学习时，教师往往会通过温度计示数引出“数轴”这一概念；在对“一次函数”的有关知识进行学习时，教师又会将其与函数图像进行结合，保证学生能够通过函数图像对一次函数的性质具有更加清晰的认识……总的来说，以数解形可以被概括为以下两方面：其一，利用角度、面积等因素，对几何问题进行解答；其二，利用数轴、直角坐标系等因素，将最初的几何问题向代数问题进行转化。
例4已知y=kx这一正比例函数的图像和y=5-kx（k≠0，且k为常数）这一反比例函数的图像存在一个横坐标是2的交点，请计算出这两个函数之间所有交点坐标。
解析：在对该类题解答时应用以数助形的思想，往往可以取得良好的效果。已知这两个函数图像存在一个横坐标是2的交点，那么可得出方程组如下：
y=2ky=5-k2
简化后得出：2k=5-k2，k=1，满足k≠0且k为常数这一条件，那么题中所给一次函数的表达式就应当是y=x，而反比例函数的表达式则应当是y=4x，若交点1的横坐标x是2，那么该交点的纵坐标同样是2，即交点1坐标（2，2），此时，再以“图像成中心对称”这一定理为依据，可得出交点2坐标（-2，-2）。
例5对y1=k1x a，y2=k2x b这两条直线所处位置具有的关系进行探究。
解析：在对直线位置关系进行研究时，可以将方程组的解作为依据，根据题目所给的已知条件，可得出方程组：y1=k1x ay2=k2x b
该方程组所具有的几何意义即为题目中所给出两条直线在位置上的关系，对方程组进行求解时，可能出现的情况共有三种，分别是有且只有一个解、无解以及有无数个解，而这三种情况对应的直线位置关系分别是相交、平行以及重合。
五、 结论
通过对上文所叙述的内容进行分析可以看出，数形结合与数学知识间存在着密不可分的关系，具体来说，数形结合就是将数学知识作为基础，通过将空间形式与数量关系进行结合的方式，达到对不同数学问题进行高效解决的目标的方法。本文主要从以形助数与以数解形两个方面，对数形结合在初中数学教学过程中的实际运用进行了讨论，希望可以在某些方面为初中数学教师提供帮助，提高教学的质量和水平。
参考文献：
[1] 陈文光.初中数学教学中数形结合方法的实际应用[J].考试周刊，2017（A2）：97.
[2] 陈仲杰.试论初中数学教学中数形结合方法的应用[J].考試周刊，2016（61）：76-77.
作者简介：田然，浙江省宁波市，浙江省宁波市象山县城南学校。