论文部分内容阅读
【摘要】研究性学习是高中数学新课程的一个亮点，文章结合笔者自身教学实践，针对课后习题提出学习案例，并给出相关结论.
【关键词】高中数学；研究性学习；探索
研究性学习作为必修内容是普通高中新课程的一个亮点，备受各方关注.然而，就目前高中数学教学的现状而言，研究性学习无疑是广大学生和教师面临的现实挑战，是一个内容资源亟待充实、教学方法亟待提高的弱项.本文结合自身教学实践，针对课后习题提出学习案例，期望能给读者一些参考.
人教B版新课标高中数学必修2教材第107页例2：“求过圆x2+y2=R2上一点M(x0，y0)的切线方程.”是一道具有简洁、统一的结论和很强的推广性的问题.
问题：已知A(x0，y0)，当点A在圆x2+y2=R2上，方程x0x+y0y=R2表示以A(x0，y0)为切点的切线方程.
（1）分析点A在圆x2+y2=R2内或点A在圆x2+y2=R2外时，直线x0x+y0y=R2与圆x2+y2=R2的位置关系.
（2）如果将上述问题放在椭圆等情境中，类比研究又会得到什么结论？
相关结论
结论1
点A(x0，y0)在圆x2+y2=R2上，以A(x0，y0)为切点的切线方程为x0x+y0y=R2.
点A(x0，y0)在椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)上，以A(x0，y0)为切点的切线方程为x0xa2+y0yb2=1.
点A(x0，y0)在双曲线x2a2-y2b2=1(a>0，b>0)上，以A(x0，y0)为切点的切线方程为x0xa2-y0yb2=1.
点A(x0，y0)在抛物线y2=2px(p>0)上，以A(x0，y0)为切点的切线方程为y0y=p(x+x0).
点A(x0，y0，z0)在球x2+y2+z2=R2上，以A((x0，y0，z0)为切点、与球x2+y2+z2=R2相切的平面的方程为x0x+y0y+z0z=R2.
结论2
点A(x0，y0)在圆x2+y2=R2外，过A(x0，y0)作圆x2+y2=R2的切线，切点为M，N，则切点弦MN所在的直线方程为x0x+y0y=R2.
点A(x0，y0)在椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)外，过A(x0，y0)作椭圆x2a2+y2b2=1的切线，切点为M，N，则切点弦MN所在的直线方程为x0xa2+y0yb2=1.
点A(x0，y0)在双曲线x2a2-y2b2=1(a>0，b>0)外（当x20a2-y20b2<1时，称A(x0，y0)在x20a2-y20b2=1外），过A(x0，y0)作双曲线x2a2-y2b2=1的切线，切点为M，N，则切点弦MN所在的直线方程为x0xa2-y0yb2=1.
点A(x0，y0)在抛物线y2=2px(p>0)外（当y20>2px0(p>0)时，称A(x0，y0)在y2=2px外），过A(x0，y0)作抛物线y2=2px(p>0)的切线，切点为M，N，则切点弦MN所在的直线方程为y0y=p(x+x0).
点A(x0，y0，z0)在球x2+y2+z2=R2外，过A(x0，y0，z0)作球x2+y2+z2=R2的切线，切点所在的平面方程为x0x+y0y+z0z=R2.
结论3
点A(x0，y0)在圆x2+y2=R2内，则方程x0x+y0y=R2表示与圆x2+y2=R2相离的直线方程.
点A(x0，y0)在椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)内，则方程x0xa2+y0yb2=1表示与椭圆x2a2+y2b2=1相离的直线方程.
点A(x0，y0)在双曲线x2a2-y2b2=1(a>0，b>0)内（当x20a2-y20b2>1(|x0|>a)时，称A(x0，y0)在x20a2-y20b2=1内），则方程x0xa2-y0yb2=1表示与双曲线x2a2-y2b2=1相离的直线方程.
点A(x0，y0)在抛物线y2=2px(p>0)内（当y20<2px0(p>0)时，称A(x0，y0)在y2=2px内），则方程y0y=p(x+x0)表示与抛物线y2=2px(p>0)相离的直线方程.
点A(x0，y0，z0)在球x2+y2+z2=R2内，则方程x0x+y0y+z0z=R2表示与球x2+y2+z2=R2相离的平面方程.
结合结论2和结论3，圆锥曲线外特殊点很容易想到准线上的点，曲线内的点容易联想到直线与曲线相交线段的中点.
【参考文献】
［1］袁振国.教育新理念［M］.北京:教育科学出版社，2007.
［2］林国夫.圆锥曲线中切点弦及其方程［J］.数学通讯，2011，1-2（上半月）.
【关键词】高中数学；研究性学习；探索
研究性学习作为必修内容是普通高中新课程的一个亮点，备受各方关注.然而，就目前高中数学教学的现状而言，研究性学习无疑是广大学生和教师面临的现实挑战，是一个内容资源亟待充实、教学方法亟待提高的弱项.本文结合自身教学实践，针对课后习题提出学习案例，期望能给读者一些参考.
人教B版新课标高中数学必修2教材第107页例2：“求过圆x2+y2=R2上一点M(x0，y0)的切线方程.”是一道具有简洁、统一的结论和很强的推广性的问题.
问题：已知A(x0，y0)，当点A在圆x2+y2=R2上，方程x0x+y0y=R2表示以A(x0，y0)为切点的切线方程.
（1）分析点A在圆x2+y2=R2内或点A在圆x2+y2=R2外时，直线x0x+y0y=R2与圆x2+y2=R2的位置关系.
（2）如果将上述问题放在椭圆等情境中，类比研究又会得到什么结论？
相关结论
结论1
点A(x0，y0)在圆x2+y2=R2上，以A(x0，y0)为切点的切线方程为x0x+y0y=R2.
点A(x0，y0)在椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)上，以A(x0，y0)为切点的切线方程为x0xa2+y0yb2=1.
点A(x0，y0)在双曲线x2a2-y2b2=1(a>0，b>0)上，以A(x0，y0)为切点的切线方程为x0xa2-y0yb2=1.
点A(x0，y0)在抛物线y2=2px(p>0)上，以A(x0，y0)为切点的切线方程为y0y=p(x+x0).
点A(x0，y0，z0)在球x2+y2+z2=R2上，以A((x0，y0，z0)为切点、与球x2+y2+z2=R2相切的平面的方程为x0x+y0y+z0z=R2.
结论2
点A(x0，y0)在圆x2+y2=R2外，过A(x0，y0)作圆x2+y2=R2的切线，切点为M，N，则切点弦MN所在的直线方程为x0x+y0y=R2.
点A(x0，y0)在椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)外，过A(x0，y0)作椭圆x2a2+y2b2=1的切线，切点为M，N，则切点弦MN所在的直线方程为x0xa2+y0yb2=1.
点A(x0，y0)在双曲线x2a2-y2b2=1(a>0，b>0)外（当x20a2-y20b2<1时，称A(x0，y0)在x20a2-y20b2=1外），过A(x0，y0)作双曲线x2a2-y2b2=1的切线，切点为M，N，则切点弦MN所在的直线方程为x0xa2-y0yb2=1.
点A(x0，y0)在抛物线y2=2px(p>0)外（当y20>2px0(p>0)时，称A(x0，y0)在y2=2px外），过A(x0，y0)作抛物线y2=2px(p>0)的切线，切点为M，N，则切点弦MN所在的直线方程为y0y=p(x+x0).
点A(x0，y0，z0)在球x2+y2+z2=R2外，过A(x0，y0，z0)作球x2+y2+z2=R2的切线，切点所在的平面方程为x0x+y0y+z0z=R2.
结论3
点A(x0，y0)在圆x2+y2=R2内，则方程x0x+y0y=R2表示与圆x2+y2=R2相离的直线方程.
点A(x0，y0)在椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)内，则方程x0xa2+y0yb2=1表示与椭圆x2a2+y2b2=1相离的直线方程.
点A(x0，y0)在双曲线x2a2-y2b2=1(a>0，b>0)内（当x20a2-y20b2>1(|x0|>a)时，称A(x0，y0)在x20a2-y20b2=1内），则方程x0xa2-y0yb2=1表示与双曲线x2a2-y2b2=1相离的直线方程.
点A(x0，y0)在抛物线y2=2px(p>0)内（当y20<2px0(p>0)时，称A(x0，y0)在y2=2px内），则方程y0y=p(x+x0)表示与抛物线y2=2px(p>0)相离的直线方程.
点A(x0，y0，z0)在球x2+y2+z2=R2内，则方程x0x+y0y+z0z=R2表示与球x2+y2+z2=R2相离的平面方程.
结合结论2和结论3，圆锥曲线外特殊点很容易想到准线上的点，曲线内的点容易联想到直线与曲线相交线段的中点.
【参考文献】
［1］袁振国.教育新理念［M］.北京:教育科学出版社，2007.
［2］林国夫.圆锥曲线中切点弦及其方程［J］.数学通讯，2011，1-2（上半月）.