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【摘要】本文以一节通过问题串展开教学的高一数学复习课为例，对提出问题、设计问题、求解问题、重组难题、小结作业几个环节进行层层评析，认为一堂自然的数学课，应来自常态课，遵循认知规律，通过不断解惑实现自然状态。教师应善于捕捉课堂教学的时机，确定或调整后续的教学任务;有耐心地以合作者与参与者的角色适当地呈现指导材料。
【关键词】自然的数学教学 问题串 高一复习课 《难题从哪里来？》
【中图分类号】G 【文献标识码】A
【文章编号】0450-9889（2019）06A-0017-04
在以“追随名师”为主题的2018年南宁·東盟人才活动月基础教育高端论坛——南宁二中徐华老师专场上，笔者执教了人教版必修一函数复习课《难题从哪里来？》，现把教学过程梳理如下。
【教学案例】
一、教学内容分析
（一）教学内容：把高一阶段必修一范围内的复合函数类问题拆分为函数构造设计和设置问题角度，探究难题的生成过程，并通过分解题组和延伸题组来重构能力。
（二）教学重点：理解必修一范围内的函数难题的破解方法与命题思路。
教学难点：展现解决与命制函数难题的思路及其合理性。
（三）本课目标：
1.理解复合函数类的难题是通过转化与化归变难为易的;
2.了解复合函数类的难题是如何设计的;
3.通过对话、交流互相学习。
二、教学过程
（一）第一阶段：提出问题
1.问题一
师：段考刚结束，大家感觉最难的是哪道题？
生（齐声）：21题。
（教师利用投影出示段考第21题让学生思考并作答）
师：下面请大家分析分析，这道题难在哪里？
生1：我觉得第（3）小题的函数太复杂了，换元后想了很久还是不懂怎么下手。
生2：我在考试的时候，第（2）小题还能勉强做出来，但是做到第（3）题时发现函数太绕了，不懂题目是什么意思。
生3：当时我做第（1）第（2）小题都很快做出来了，到第（3）小题换元后就不会分析了。
师：我总结一下三位同学的发言，有两个难点。第一，函数太复杂不懂怎样分析;第二，换元以后不懂得怎么做。大家有没有想过，这么难的问题是怎么来的？是命题人一拍脑袋蹦出来的，还是人为设计出来的？
生（齐声）：设计出来的。
师：既然是设计好的必然有套路吧？如果我们能够知道设计一道类似这样的函数难题的模式是什么，我们是不是就可以知道怎么解题了？因此，我们今天就探讨设计一道数学难题的过程与方法。（板书：难题从哪里来？）
设计意图：从贴近学生的情境挖掘问题切入点，自然地提出问题串“最难是哪道题”“难在哪里”，激发学生思考的积极性。
【评析】从两天前的段考最后一题入手，可以迅速激活学生的记忆，激发学生重新挑战难题的兴趣，“难在哪里”的问法击中学生的疑惑靶心，强烈的好奇心和求知欲使得学生马上进入思考状态，教学直接、有效。教师通过暴露学生的思维，在学生发言的基础上进行总结，梳理了本课的研究路线，自然生成的问题“难题从哪里来”指明本课的研究内容——设计一道数学难题的过程与方法，研究思路被清晰地勾勒出来，有助于围绕主线深入思考。
2.问题二
师：我们先解决第一个问题。这个函数虽然复杂，但是我们依然可以在这里面看到熟悉的函数。同学们找找，都有哪些熟悉的函数？
生1（一边说一边板书）：比如一次函数、二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、幂函数。
师：如果单独针对这些函数出题，我相信大家大多数时候是有思路的，但它们是怎样“组装”起来的？
生1：它们是通过加、减、乘、除或分段组合等方式“组装”起来的。
师：也就是通过四则运算、分段组合等方式“组装”起来。很好，有同学要补充吗？
生2：还可以通过迭代组合起来。
师：函数通过迭代得到什么函数？
生2：复合函数。
师：很好！综合大家的看法，较复杂的函数可以由初等函数经过迭代、四则运算连结以及分段组合等不同的对应方法构造出复合函数和分段函数。
设计意图：把复杂的问题拆分，使陌生的问题转化为熟悉的问题，让学生感悟研究问题的方法与过程是自然而合理的。
【评析】作为“促进者”与“帮助者”，教师通过“在陌生的研究对象中寻找熟悉的部分”把学生顺利地引入“最近发展区”，把复杂问题转化为简单问题，让学生体会到研究困难问题的切入点是自然的，研究难题的方法总是合理的。在对复杂函数的拆分与重组过程中，学生意识到了转难为易的魅力，体会到了转化与化归思想的重要性。
3.问题三
师：第一个问题解决了，那么下一个问题就是，对于复合函数我们一般怎么处理？
生：换元法。
师：换元以后实际上是什么函数的问题呢？
生：外层函数的问题。
师：不错，外层函数问题实质上也是函数问题。我们是否可以先观察一下，围绕函数我们一般会设计什么样的问题？
设计意图：通过小问题串，把学生引向研究问题的核心。
【评析】承上启下的过渡语既可以让教与学的生成变得流畅，又可以让课堂的主线逐渐清晰起来。课堂的每个问题都来自学生心底，而每个问题都是学生自己答出来的，教师恰当地扮演着“促进者”。
（二）第二阶段：设计问题
问题四
（教师投影以下函数问题，让学生思考作答）
师：围绕函数，我们一般会设计什么样的问题呢？ 生：围绕函数一般可以设计求数的定义域、值域与最值、方程的根，判断奇偶性、单调性以及解不等式、恒成立等问题。
师：这位同学总结得很全面。接下来，我们看看段考21题的第（2）小题换元以后是什么问题。
设计意图：通过提供充足的小问题串，让学生带着问题对素材观察、归纳、概括，获得新的认知，为进一步探索埋下伏笔。
【评析】教师提供素材，学生带着问题思考并作答，尽管学生归纳、概括得不够完整和准确，需要提示与补充，但有利于增强学生的自信心，提升其成就感，并能使其沿着问题的指向继续思考：围绕函数还能设计哪些问题？从而把思考延续到课外。
（三）第三階段：求解问题
1.问题五
师：第（2）小题换元后所转化成的问题你能求解出来吗？再试一试。
（几分钟之后，学生几乎都做出了大半，有少部分学生算出了最后结果，大部分学生卡在了换元以后，陷入思考中，A同学就是其中之一。教师征得A同学的同意后，用实物投影仪展示她的解答过程）
师：大家都做得差不多了吧？让我们一起分析分析。请大家看A同学的解答过程，首先表扬A同学的书写工整美观。请大家对照一下自己的答案，换元以后是一样的结果吗？
生（齐声）：一样的。
师：我们可以帮助A同学完成这道题吗？换元以后应该是一个关于函数的什么问题呢？
生：是恒成立问题。
师：你是怎么做的？
生：我是先求二次函数h（t）=t2-2t+1的最小值，然后k就小于二次函数的最小值。
师：你这个方法有名称吗？
生：分离参数法。
师：理解很到位，方法也简洁明了。你是怎么想到的？
生：我看到这是一个恒成立问题就想到用分离参数的方法了。
师：也就是说，解题的关键是辨识换元后原题转化成了什么问题。
设计意图：通过问题串引导学生认识转化问题是解决难题的关键。
【评析】把解题的关键聚焦在考试中思路受阻的地方，通过问题串引导学生认识到转化问题是解决难题的关键。当然，对含参数问题的一些常见做法今后需不断渗透在教学中，以免学生“一看到恒成立问题，就想到用分离参数法做”，处于“知其然，而不知其所以然”的状态，减少学生日后在面对含参数问题时思维受阻的情形。
2.问题六
师：反思解题过程，经过多少次转化我们才能求出答案？
生1：经过了三次。
师：哪三次？
生1：第一次，是把f（x）代入得到一个具体函数的恒成立问题;第二次，是把原来的复合函数问题通过换元得到外层函数问题;第三次，是把恒成立问题转化为最值问题。
师：思考很深入，总结很到位！每次转化后，你感觉解题的难度如何变化？
生1：越来越小。
师：很好，请坐。我再提一个问题，你认为类似于第（2）小题的难题是怎样破解的？
生2：我认为是转化问题。
师：说得太好了！破解难题的关键就是把复杂的原问题A，转化为稍简单的问题B，再转化为简单的问题C，这个过程也是复合函数问题转化为外层函数问题的过程，在不断的转化与化归中，难题得以破解。
[教师利用解题模式流程图（如图1），突出转化与化归使问题变简单是解决难题的主要途径]
师：我再问一个问题，你认为类似于第（2）题的难题是怎样设计出来的？
生3：我认为是倒过来，先设计一个最容易的问题C，比如某个初等函数问题，在这个基础上，设计一个中等难度的复合函数问题B，最后再变成一个难度最大的复合函数问题A。
[教师通过命题模式流程图（如图2），突出把初等函数问题变成复合函数问题的命制难题的基本思路]
师：你的想法与命题老师的想法不谋而合，为你点赞！现在大家都清楚了函数难题的设计套路，也就是“难题是从哪里来的”，下面我们试一试，选择以下其中一道题，设计成难度更大的复合函数的问题。
设计意图：通过“问题串”的引导，捕捉学生瞬间的思维要点，让学生自己得出解题模式与命题模式，解决本节课的主要问题。
【评析】通过设计合理问题串，从问题转化的次数到难度的变化，都可以让学生感受并表达出来，师生共同探究出“解题”与“命题”的思维路径，并通过流程图分别强化对“解题”与“命题”两种思维路径的印象，既解决学生心中“此难题如何解”的困惑，又化解学生心中更大的疑惑——“今天我解决的问题与明天将会遇到的问题有何关系”，帮助学生真正地实现举一反三。
（四）第四阶段：重组难题
（探究活动：大家来出题。请选择下面其中一道题，给你的同桌设计一道复合函数的问题，并让同桌解答）
设计意图：精心挑选编题材料，让学生实践“命题”过程，更深刻地体会难题的由来。
【评析】“纸上得来终觉浅，绝知此事要躬行。”要深刻体会难题的由来，还需亲自动手编一编。给同桌出题的要求，实质是要求学生既能命题，又能解题（否则同桌也会命制难题难倒你），也就是兼顾命题的科学性和合理性。如果学生能够把简单的函数问题包装成复杂的复合函数问题，就可以认为达到了本节课的教学目的。好题欣赏为学生提供了思维难度的对比，同时也为课后提供了良好的跟踪检测素材。
（五）第五阶段：小结与作业
师：通过本节课的学习，你有什么感悟？有哪些收获？
生1：通过这节课，我明白了难题是由简单的问题设计而来的，所以我们解函数难题的时候要注意转化问题。 生2：通过本节课，我觉得平时做题还要揣摩出题老师的心思，做到知己知彼，才能百战百胜！
师：你认为本节课还有哪些问题没有解决？课后你将怎样做？
生3：我觉得我在解决恒成立问题时还有待加强，课后还要加强一些函数恒成立问题的难题训练。
师（作业布置）：完成好题欣赏中的4道题。
设计意图：通过小结，让学生把课堂收获梳理成型，指导课外的延伸学习。作业让课堂内容得到完善和鞏固。
【评析】一堂课的小结就像整堂课的名片，“感悟”与“收获”比“知识点”更能引起学生的表达欲望，“还有哪些没解决”“课后你将怎么做”把课堂延伸到课外，让课堂效益最大化。作业布置让课堂内容得到了巩固和提升。
【总评】
一、自然来自于常态
一堂自然的数学课，首先应来自常态课，本节课引例恰当，问题生成自然：教师选择全体学生刚刚经历过的一道有挑战性的综合问题，自然而然地激发出学生心中的疑惑——“难题从哪里来”，以问题为导向，着眼于培养学生分析问题的能力，为整节课奠定了一条清晰的主线，有利于师生共同沿着这条主线探究。
要生成一堂自然的数学课，在师生常态的教学互动过程中，教师的教学机智是非常重要的，这是实现“导而弗牵”的保证。教师要做到机智地呈现课堂教学，首先取决于教师本人课前充分的预设，其次是倾听，捕捉有意义的信息。在本节课，教师捕捉到学生回答出“难题是设计出来的”中的“设计”二字，既然是“设计”，其指向性就应该很明确，本节课所生成的问题“难题从哪里来”指向性非常明确，这样可以较自然地切入，自然地引导师生共同去寻求规律。
二、自然应遵循规律
对于一个复杂问题，分解其难度是一个聪明的做法，也符合人的认知规律。在本节课中，问题二的给出是自然的，因为这解决了学生的第一个疑惑：复杂的函数是怎么生成的？问题的答案是具有针对性的：找到了生成（复合）函数的路径，即复杂的函数是由基本初等函数复合而成的，具体来说，是通过迭代、四则运算、分段组合等方式实现的，既然复杂函数是由基本初等函数复合而成，那么可以通过换元法让函数变得简单，从而分解难度，并引导学生从具体到抽象，去关注围绕函数一般会设计哪些问题。
在本节课中，教师引导学生围绕函数归纳概括出一般需要研究的问题，从函数特质来说是函数的三要素的确定、函数的性质与图象判断、函数与方程关系问题，从数学学科的角度来说，是研究等量与不等量关系，或者是数与形之间的关系。
三、解惑是实现自然状态的重要途径
本节课让人眼前一亮的环节是教师引导学生一起去探究解题模式与命题模式的联系，教师希望通过让学生分析解题思维路径与命题思维路径之间的关系举一反三，解决师生心中共同的疑惑：今天我们面对的问题与明天我们将要面对的问题有什么关系？今天我们解决数学问题的经历是否真正可以变成明天解决数学问题的经验？
四、自然并非是一顺到底
从课堂教学的实际情况来看，学生对含参数的不等式恒成立问题的一般解决办法（分离参数）掌握得不错，使本环节的问题解决得比较顺利，但没有深究用此方法的合理性，在今后解决含参数问题的过程中有可能思维受阻。
学生会做题是一个层次，能把解题思路讲得清楚则是更高一个层次;教师暴露学生的思维，帮助其梳理思路的合理性，是很有价值的一件事。教师在帮助学生从听懂到会用过渡过程中的准备是充分的，在新课程改革的背景下，教师是学生学习的参与者、合作者与指导者。学生受经验及认知水平的制约，既需要教师以指导者的角色适时地弥补学生认知上的不足，又需要教师以合作者与参与者的角色适当地呈现指导材料。
一节课的结束，既是既有问题探究的终结，也是生成新问题、探究新问题的开始，教师顺应课堂教学的时机，确定或调整后续的教学任务。当然，这些是需要时间成本的，需要教师在教学过程中有耐心，毕竟数学教学不是一节课就能定结果的。
作者简介：蔡静雯（1985— ），女，汉族，广西梧州人，中学一级教师，毕业于广西师范大学数学与应用数学专业，理学学士，两次代表广西参加“全国高中青年数学教师优秀课观摩与展示活动”并分别获全国一、二等奖，研究方向：课堂教学有效性、个性化作业布置、考试命题等。
（责编 刘小瑗）
【关键词】自然的数学教学 问题串 高一复习课 《难题从哪里来？》
【中图分类号】G 【文献标识码】A
【文章编号】0450-9889（2019）06A-0017-04
在以“追随名师”为主题的2018年南宁·東盟人才活动月基础教育高端论坛——南宁二中徐华老师专场上，笔者执教了人教版必修一函数复习课《难题从哪里来？》，现把教学过程梳理如下。
【教学案例】
一、教学内容分析
（一）教学内容：把高一阶段必修一范围内的复合函数类问题拆分为函数构造设计和设置问题角度，探究难题的生成过程，并通过分解题组和延伸题组来重构能力。
（二）教学重点：理解必修一范围内的函数难题的破解方法与命题思路。
教学难点：展现解决与命制函数难题的思路及其合理性。
（三）本课目标：
1.理解复合函数类的难题是通过转化与化归变难为易的;
2.了解复合函数类的难题是如何设计的;
3.通过对话、交流互相学习。
二、教学过程
（一）第一阶段：提出问题
1.问题一
师：段考刚结束，大家感觉最难的是哪道题？
生（齐声）：21题。
（教师利用投影出示段考第21题让学生思考并作答）
师：下面请大家分析分析，这道题难在哪里？
生1：我觉得第（3）小题的函数太复杂了，换元后想了很久还是不懂怎么下手。
生2：我在考试的时候，第（2）小题还能勉强做出来，但是做到第（3）题时发现函数太绕了，不懂题目是什么意思。
生3：当时我做第（1）第（2）小题都很快做出来了，到第（3）小题换元后就不会分析了。
师：我总结一下三位同学的发言，有两个难点。第一，函数太复杂不懂怎样分析;第二，换元以后不懂得怎么做。大家有没有想过，这么难的问题是怎么来的？是命题人一拍脑袋蹦出来的，还是人为设计出来的？
生（齐声）：设计出来的。
师：既然是设计好的必然有套路吧？如果我们能够知道设计一道类似这样的函数难题的模式是什么，我们是不是就可以知道怎么解题了？因此，我们今天就探讨设计一道数学难题的过程与方法。（板书：难题从哪里来？）
设计意图：从贴近学生的情境挖掘问题切入点，自然地提出问题串“最难是哪道题”“难在哪里”，激发学生思考的积极性。
【评析】从两天前的段考最后一题入手，可以迅速激活学生的记忆，激发学生重新挑战难题的兴趣，“难在哪里”的问法击中学生的疑惑靶心，强烈的好奇心和求知欲使得学生马上进入思考状态，教学直接、有效。教师通过暴露学生的思维，在学生发言的基础上进行总结，梳理了本课的研究路线，自然生成的问题“难题从哪里来”指明本课的研究内容——设计一道数学难题的过程与方法，研究思路被清晰地勾勒出来，有助于围绕主线深入思考。
2.问题二
师：我们先解决第一个问题。这个函数虽然复杂，但是我们依然可以在这里面看到熟悉的函数。同学们找找，都有哪些熟悉的函数？
生1（一边说一边板书）：比如一次函数、二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、幂函数。
师：如果单独针对这些函数出题，我相信大家大多数时候是有思路的，但它们是怎样“组装”起来的？
生1：它们是通过加、减、乘、除或分段组合等方式“组装”起来的。
师：也就是通过四则运算、分段组合等方式“组装”起来。很好，有同学要补充吗？
生2：还可以通过迭代组合起来。
师：函数通过迭代得到什么函数？
生2：复合函数。
师：很好！综合大家的看法，较复杂的函数可以由初等函数经过迭代、四则运算连结以及分段组合等不同的对应方法构造出复合函数和分段函数。
设计意图：把复杂的问题拆分，使陌生的问题转化为熟悉的问题，让学生感悟研究问题的方法与过程是自然而合理的。
【评析】作为“促进者”与“帮助者”，教师通过“在陌生的研究对象中寻找熟悉的部分”把学生顺利地引入“最近发展区”，把复杂问题转化为简单问题，让学生体会到研究困难问题的切入点是自然的，研究难题的方法总是合理的。在对复杂函数的拆分与重组过程中，学生意识到了转难为易的魅力，体会到了转化与化归思想的重要性。
3.问题三
师：第一个问题解决了，那么下一个问题就是，对于复合函数我们一般怎么处理？
生：换元法。
师：换元以后实际上是什么函数的问题呢？
生：外层函数的问题。
师：不错，外层函数问题实质上也是函数问题。我们是否可以先观察一下，围绕函数我们一般会设计什么样的问题？
设计意图：通过小问题串，把学生引向研究问题的核心。
【评析】承上启下的过渡语既可以让教与学的生成变得流畅，又可以让课堂的主线逐渐清晰起来。课堂的每个问题都来自学生心底，而每个问题都是学生自己答出来的，教师恰当地扮演着“促进者”。
（二）第二阶段：设计问题
问题四
（教师投影以下函数问题，让学生思考作答）
师：围绕函数，我们一般会设计什么样的问题呢？ 生：围绕函数一般可以设计求数的定义域、值域与最值、方程的根，判断奇偶性、单调性以及解不等式、恒成立等问题。
师：这位同学总结得很全面。接下来，我们看看段考21题的第（2）小题换元以后是什么问题。
设计意图：通过提供充足的小问题串，让学生带着问题对素材观察、归纳、概括，获得新的认知，为进一步探索埋下伏笔。
【评析】教师提供素材，学生带着问题思考并作答，尽管学生归纳、概括得不够完整和准确，需要提示与补充，但有利于增强学生的自信心，提升其成就感，并能使其沿着问题的指向继续思考：围绕函数还能设计哪些问题？从而把思考延续到课外。
（三）第三階段：求解问题
1.问题五
师：第（2）小题换元后所转化成的问题你能求解出来吗？再试一试。
（几分钟之后，学生几乎都做出了大半，有少部分学生算出了最后结果，大部分学生卡在了换元以后，陷入思考中，A同学就是其中之一。教师征得A同学的同意后，用实物投影仪展示她的解答过程）
师：大家都做得差不多了吧？让我们一起分析分析。请大家看A同学的解答过程，首先表扬A同学的书写工整美观。请大家对照一下自己的答案，换元以后是一样的结果吗？
生（齐声）：一样的。
师：我们可以帮助A同学完成这道题吗？换元以后应该是一个关于函数的什么问题呢？
生：是恒成立问题。
师：你是怎么做的？
生：我是先求二次函数h（t）=t2-2t+1的最小值，然后k就小于二次函数的最小值。
师：你这个方法有名称吗？
生：分离参数法。
师：理解很到位，方法也简洁明了。你是怎么想到的？
生：我看到这是一个恒成立问题就想到用分离参数的方法了。
师：也就是说，解题的关键是辨识换元后原题转化成了什么问题。
设计意图：通过问题串引导学生认识转化问题是解决难题的关键。
【评析】把解题的关键聚焦在考试中思路受阻的地方，通过问题串引导学生认识到转化问题是解决难题的关键。当然，对含参数问题的一些常见做法今后需不断渗透在教学中，以免学生“一看到恒成立问题，就想到用分离参数法做”，处于“知其然，而不知其所以然”的状态，减少学生日后在面对含参数问题时思维受阻的情形。
2.问题六
师：反思解题过程，经过多少次转化我们才能求出答案？
生1：经过了三次。
师：哪三次？
生1：第一次，是把f（x）代入得到一个具体函数的恒成立问题;第二次，是把原来的复合函数问题通过换元得到外层函数问题;第三次，是把恒成立问题转化为最值问题。
师：思考很深入，总结很到位！每次转化后，你感觉解题的难度如何变化？
生1：越来越小。
师：很好，请坐。我再提一个问题，你认为类似于第（2）小题的难题是怎样破解的？
生2：我认为是转化问题。
师：说得太好了！破解难题的关键就是把复杂的原问题A，转化为稍简单的问题B，再转化为简单的问题C，这个过程也是复合函数问题转化为外层函数问题的过程，在不断的转化与化归中，难题得以破解。
[教师利用解题模式流程图（如图1），突出转化与化归使问题变简单是解决难题的主要途径]
师：我再问一个问题，你认为类似于第（2）题的难题是怎样设计出来的？
生3：我认为是倒过来，先设计一个最容易的问题C，比如某个初等函数问题，在这个基础上，设计一个中等难度的复合函数问题B，最后再变成一个难度最大的复合函数问题A。
[教师通过命题模式流程图（如图2），突出把初等函数问题变成复合函数问题的命制难题的基本思路]
师：你的想法与命题老师的想法不谋而合，为你点赞！现在大家都清楚了函数难题的设计套路，也就是“难题是从哪里来的”，下面我们试一试，选择以下其中一道题，设计成难度更大的复合函数的问题。
设计意图：通过“问题串”的引导，捕捉学生瞬间的思维要点，让学生自己得出解题模式与命题模式，解决本节课的主要问题。
【评析】通过设计合理问题串，从问题转化的次数到难度的变化，都可以让学生感受并表达出来，师生共同探究出“解题”与“命题”的思维路径，并通过流程图分别强化对“解题”与“命题”两种思维路径的印象，既解决学生心中“此难题如何解”的困惑，又化解学生心中更大的疑惑——“今天我解决的问题与明天将会遇到的问题有何关系”，帮助学生真正地实现举一反三。
（四）第四阶段：重组难题
（探究活动：大家来出题。请选择下面其中一道题，给你的同桌设计一道复合函数的问题，并让同桌解答）
设计意图：精心挑选编题材料，让学生实践“命题”过程，更深刻地体会难题的由来。
【评析】“纸上得来终觉浅，绝知此事要躬行。”要深刻体会难题的由来，还需亲自动手编一编。给同桌出题的要求，实质是要求学生既能命题，又能解题（否则同桌也会命制难题难倒你），也就是兼顾命题的科学性和合理性。如果学生能够把简单的函数问题包装成复杂的复合函数问题，就可以认为达到了本节课的教学目的。好题欣赏为学生提供了思维难度的对比，同时也为课后提供了良好的跟踪检测素材。
（五）第五阶段：小结与作业
师：通过本节课的学习，你有什么感悟？有哪些收获？
生1：通过这节课，我明白了难题是由简单的问题设计而来的，所以我们解函数难题的时候要注意转化问题。 生2：通过本节课，我觉得平时做题还要揣摩出题老师的心思，做到知己知彼，才能百战百胜！
师：你认为本节课还有哪些问题没有解决？课后你将怎样做？
生3：我觉得我在解决恒成立问题时还有待加强，课后还要加强一些函数恒成立问题的难题训练。
师（作业布置）：完成好题欣赏中的4道题。
设计意图：通过小结，让学生把课堂收获梳理成型，指导课外的延伸学习。作业让课堂内容得到完善和鞏固。
【评析】一堂课的小结就像整堂课的名片，“感悟”与“收获”比“知识点”更能引起学生的表达欲望，“还有哪些没解决”“课后你将怎么做”把课堂延伸到课外，让课堂效益最大化。作业布置让课堂内容得到了巩固和提升。
【总评】
一、自然来自于常态
一堂自然的数学课，首先应来自常态课，本节课引例恰当，问题生成自然：教师选择全体学生刚刚经历过的一道有挑战性的综合问题，自然而然地激发出学生心中的疑惑——“难题从哪里来”，以问题为导向，着眼于培养学生分析问题的能力，为整节课奠定了一条清晰的主线，有利于师生共同沿着这条主线探究。
要生成一堂自然的数学课，在师生常态的教学互动过程中，教师的教学机智是非常重要的，这是实现“导而弗牵”的保证。教师要做到机智地呈现课堂教学，首先取决于教师本人课前充分的预设，其次是倾听，捕捉有意义的信息。在本节课，教师捕捉到学生回答出“难题是设计出来的”中的“设计”二字，既然是“设计”，其指向性就应该很明确，本节课所生成的问题“难题从哪里来”指向性非常明确，这样可以较自然地切入，自然地引导师生共同去寻求规律。
二、自然应遵循规律
对于一个复杂问题，分解其难度是一个聪明的做法，也符合人的认知规律。在本节课中，问题二的给出是自然的，因为这解决了学生的第一个疑惑：复杂的函数是怎么生成的？问题的答案是具有针对性的：找到了生成（复合）函数的路径，即复杂的函数是由基本初等函数复合而成的，具体来说，是通过迭代、四则运算、分段组合等方式实现的，既然复杂函数是由基本初等函数复合而成，那么可以通过换元法让函数变得简单，从而分解难度，并引导学生从具体到抽象，去关注围绕函数一般会设计哪些问题。
在本节课中，教师引导学生围绕函数归纳概括出一般需要研究的问题，从函数特质来说是函数的三要素的确定、函数的性质与图象判断、函数与方程关系问题，从数学学科的角度来说，是研究等量与不等量关系，或者是数与形之间的关系。
三、解惑是实现自然状态的重要途径
本节课让人眼前一亮的环节是教师引导学生一起去探究解题模式与命题模式的联系，教师希望通过让学生分析解题思维路径与命题思维路径之间的关系举一反三，解决师生心中共同的疑惑：今天我们面对的问题与明天我们将要面对的问题有什么关系？今天我们解决数学问题的经历是否真正可以变成明天解决数学问题的经验？
四、自然并非是一顺到底
从课堂教学的实际情况来看，学生对含参数的不等式恒成立问题的一般解决办法（分离参数）掌握得不错，使本环节的问题解决得比较顺利，但没有深究用此方法的合理性，在今后解决含参数问题的过程中有可能思维受阻。
学生会做题是一个层次，能把解题思路讲得清楚则是更高一个层次;教师暴露学生的思维，帮助其梳理思路的合理性，是很有价值的一件事。教师在帮助学生从听懂到会用过渡过程中的准备是充分的，在新课程改革的背景下，教师是学生学习的参与者、合作者与指导者。学生受经验及认知水平的制约，既需要教师以指导者的角色适时地弥补学生认知上的不足，又需要教师以合作者与参与者的角色适当地呈现指导材料。
一节课的结束，既是既有问题探究的终结，也是生成新问题、探究新问题的开始，教师顺应课堂教学的时机，确定或调整后续的教学任务。当然，这些是需要时间成本的，需要教师在教学过程中有耐心，毕竟数学教学不是一节课就能定结果的。
作者简介：蔡静雯（1985— ），女，汉族，广西梧州人，中学一级教师，毕业于广西师范大学数学与应用数学专业，理学学士，两次代表广西参加“全国高中青年数学教师优秀课观摩与展示活动”并分别获全国一、二等奖，研究方向：课堂教学有效性、个性化作业布置、考试命题等。
（责编 刘小瑗）