如图1,若点P是反比例函数y= (k是常数,k≠0)的图像上的任意一点,过点P分别作x轴和y轴的垂线,垂足分别为M、N,设长方形PMON的面积为S,则S=PM•PN=|y|•|x|=|xy|.
　　 ∵y= ,
　　∴ xy=k
　　 ∴ S=|k|.
　　 这就是说,过双曲线上任意一点作x轴、y轴的垂线,所得的长方形的面积为|k|.这是比例系数k的几何意义.灵活运用k的几何意义,会给解题带来方便.下面举例说明.
　　
　　 一、求反比例函数的解析式
　　
　　 例1 如图2,P是反比例函数y= 图像上一点,过P分别向x轴,y轴引垂线,若S阴=3,则该反比例函数的解析式为.
　　错解:设P(x0,y0),
　　则|x0•y0|=|k|=3,
　　 ∴k=±3, y= 或y= .
　　 剖析:上述解题过程没有考虑到由图像给出的信息条件而导致错误,由图像可知双曲线在第二、四象限,所以k<0.
　　 正解:由S阴=|x0•y0|=|k|=3,∴k=±3,又因为 图像在第二、四象限,所以k<0,所以k=-3,所以解析式为y= .
　　
　　 二、求三角形的面积
　　
　　 例2如图3,点P是反比例函数y=
　　- 上的一点,PD⊥x轴于点D,则△POD的面积为.
　　 解:∵△POD的面积等于以PD、DO为边的长方形面积的一半,
　　 又∵以PD、DO为边的长方形面积为2,
　　 ∴△POD的面积为1.
　　 三、求四边形的面积
　　 例3正比例函数y=x与反比例函数y= 的图像相交于A、C两点,AB垂直x轴于B,CD垂直于x轴于D,如图4,则四边形ABCD的面积为( )
　　 A.1
　　 B.
　　 C.2
　　 D.
　　 解析:由题意易知四边形ABCD是平行四边形,根据结论可以知道S△AOB= ,所以四边形ABCD的面积为 ×4=2,所以选择C.
　　 四、比较面积的大小
　　 例4 如图5,在y= (x>0)的图像上有三点A、B、C,经过三点分别向x轴引垂线,交x轴于A1、B1、C1三点,连接OA、OB、OC,设△OAA1、△OBB1、△OCC1的面积分别为S1、S2、S3,则有()
　　 A.S1=S2=S3 B.S1　　 C.S3S1>S2
　　 解:由例2的分析可知,△OAA1、△OBB1、△OCC1的面积都相等,
　　 即S1=S2=S3.故应选A.