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[摘 要] “进阶”不仅是学生学习数学的工具，也是学生学习数学的动力、学习数学的重要内容。在小学数学教学中，以“互动”为动力、以“目标”为抓手、以“方式”为支架，能够促进学生数学学习不断进阶。“进阶式教学”可以不断优化学生的思维品质和认知品质，不断提升学生的数学学习力，提高学生的数学核心素养。
[关键词] “进阶式教学”;数学认知;深度发展
[作者简介]冷忠燕（1981— ），女，江苏淮安人，淮安市外国语实验小学，高级教师，研究方向为小学数学教学。
小学数学教学应当促进学生数学思维的持续发展、数学认知的不断提升。“进阶式教学”是注重学生数学学习内容连贯性及认知发展层次性、连续性的一种教学方式。“进阶式教学”能让学生的数学学习过程循序渐进、螺旋上升，可以促进学生的学习力不断提升，数学核心素养不断生成、发展。
一、以“互动”为动力，促进学生学习进阶
学习进阶，我们可以将之理解为一种学习序列，一种描述学生在各个阶段所遵循的连贯的、具有代表性的，由简单到复杂、由单一到综合的学习路径。在小学数学教学中，教师可以通过多元互动，促进学生的数学学习进阶。多元互动，即包括师生互动、生生互动。通过互动，不仅能让学生掌握基础性的学习内容，还能让学生拾级而上，掌握一些发展性、提升性的学习内容。
多元互动从学生的具体学情出发，促进学生认知、思维的发展。比如，在教学苏教版小学《数学》六年级上册“体积单位之间的进率”这一部分内容时，笔者引导学生积极对话、互动、交流。上课伊始，笔者引导学生复习长度单位、面积单位之间的进率，重点是引导学生复习面积单位之间的进率的推导，从而为体积单位之间进率的探究奠定坚实的基础。在课堂上，笔者引导学生探究体积单位之间的进率，并引导学生比较长度单位、面积单位之间进率的推导过程。通过比较，学生认识到虽然长度、面积、体积的单位不同，但是三者的推导方法在本质上却是相同的。接下来，笔者让学生比较长度单位、面积单位和体积单位之间的进率，通过比较，让学生掌握单位进率的本质、关联，即测量的本质都是用单位量乘所含单位数，其关系是“面积单位之间的进率是对应长度单位之间进率的平方，体积单位之间的进率是对应长度单位之间进率的立方”。笔者通过讲解测量的共同本质以及体积单位、面积单位与长度单位之间进率的关联，让学生在交流、互动中建立了一个完整的认知结构。这个过程是循序渐进的，不仅从知识上使学生的认知进阶，而且从探究方法上也让学生的认知进阶。
多元互动能够促进学生对知识的建构、对方法的领悟，能够促进学生数学学习的积极迁移和应用。教师要引导学生对相关的数学知识进行深层分析、组织，把握数学知识的纵横关联，从而在课堂上逐步引导学生互动，促进学生的数学认知、思维不断进阶，使学生把握数学知识的本质、关联。
二、以“目标”为抓手，推动学生学习进阶
一般来说，目标的进阶是进阶式教学的主要方式。这里的目标进阶，不仅仅是指“此一课目标”与“彼一课目标”之间的学习进阶，更是指在同一课堂中，“此一目标”与“彼一目标”之间的学习进阶。以目标为抓手，能让进阶教学更具层次性、递进性。
比如，在教学苏教版小学《数学》五年级上册“解决问题的策略——‘一一列举’”这一部分内容时，笔者与学生研讨、商量，制订了教学目标：在解决问题的过程中，让学生掌握列举方法;让学生学会用合适的方法解决实际问题，并且在列举时能够做到有序化，也就是既不遗漏又不重复。教学目标给了学生数学学习较大的自主探究空间。教师一方面让学生用列举的方法解决问题，另一方面又引导学生在列举的过程中掌握一些策略，如分类列举、有序列举、穷列举探究规律，等等。教师只要循着进阶式的学习目标去引导学生学习数学，对学生学习的评价就会走向进阶。如在评价的过程中，对于教材例题1的探究，要让学生认识到是怎样有序列举的;而對于例题2和配套练习“练一练”，则要求学生有序、不重复、不遗漏。换言之，进阶式教学在不同的教学阶段，对于学生的要求是不同的。通过教学目标设计，教师可以让学生始终在数学学习的“最近发展区”内，让学生“跳一跳就能摘到桃子”。伴随学生数学学习的不断深入，学生经历了“列举—有序列举—有策略地有序列举”的进阶过程，目标的达成度和学习参与度都非常高。
目标是学生数学学习的动力引擎，是教学的原点和归宿。进阶式目标不仅能引导学生的数学学习不断进阶，也能为教师对学生进行进阶评价提供依据、条件和抓手。因此，教师要精心设计进阶式的教学目标，引领学生进阶式学习。
三、以“方式”为支架，引领学生学习进阶
进阶式教学不仅可以以互动为动力、以目标为抓手，而且可以以方式为支架。在数学教学中，教师可先创设情境，盘活学生的学习经验，激发学生的形象性思维，进而引导学生逐步经历横向数学化与纵向数学化的过程，让学生对数学知识进行抽象概括。
比如，在教学苏教版小学《数学》四年级上册“条形统计图”这一部分内容时，笔者首先出示了一张关于本班学生最喜欢的电视节目的统计图，激发学生的学习兴趣，调动学生学习的积极性。其次，笔者引导学生用自己喜欢的方式表示统计数据，发掘学生数学学习的创造性。在这个过程中，有学生选择了用统计表的方式，有学生用画圆圈的方式，还有学生用画方格的方式。接着，笔者引导学生比较各自的表示方式，不少学生认为用画圆圈和画方格的方法来表示数据比用统计表表示数据更形象。同时，学生认为画方格的统计更美观，因为画的圆圈难以保证同样大，而方格可以很容易地画成一样大的。在此基础上，笔者引导学生建构统计图的雏形。通过变换，有学生认为，可以将方格之间的连线去掉，就变成了直条图;有学生建议可以在直条图的上方标明数据;有学生认为，不需要这么麻烦，可以在条形图左边或右边画上一个数轴;还有学生建议，可以在直条图的下方写上节目名称，等等。从“数据”到“方格图”，从“方格图”到“条形图”，学生的数学学习方式不断优化、不断进阶。在交流、互动、研讨中，学生对条形统计图中的相关内容进行补充、完善，从而发展了自身的高阶思维和高阶认知。
学生表达数学知识、数学理解的方式是不尽相同的。教师要赋予学生自主表达的权利，让学生“八仙过海，各显神通”。从“符号”到“方格图”再到“条形图”，学生通过对比，能感受、体验到用条形统计图表达数据的优越性。相比较于学生已经学习的统计表，统计图更直观、更形象、更具体。
实践“进阶式教学”不仅要遵循数学知识本身的逻辑，更要了解学生的具体学情。在数学教学中，教师要帮助学生搭建数学思考、探究的“脚手架”，让学生形成逐步演进的思维序列、探究序列，促进学生数学探索的梯度发展，促进学生数学思维的螺旋上升。运用“进阶式教学”，能不断优化学生的思维品质和认知品质，不断提升学生的数学学习力，提高学生的数学核心素养。
参考文献
[1]李化侠.学习进阶视角下小学生统计思维发展水平研究[J].数学教育学报，2019（6）：55-60.
[2]章建跃.发挥数学的内在力量 为学生谋取长期利益[J].数学通报，2013（2）：1-6+10.
[3]鲍建生，周超.数学学习的心理基础与过程[M].上海：上海教育出版社，2009.
[关键词] “进阶式教学”;数学认知;深度发展
[作者简介]冷忠燕（1981— ），女，江苏淮安人，淮安市外国语实验小学，高级教师，研究方向为小学数学教学。
小学数学教学应当促进学生数学思维的持续发展、数学认知的不断提升。“进阶式教学”是注重学生数学学习内容连贯性及认知发展层次性、连续性的一种教学方式。“进阶式教学”能让学生的数学学习过程循序渐进、螺旋上升，可以促进学生的学习力不断提升，数学核心素养不断生成、发展。
一、以“互动”为动力，促进学生学习进阶
学习进阶，我们可以将之理解为一种学习序列，一种描述学生在各个阶段所遵循的连贯的、具有代表性的，由简单到复杂、由单一到综合的学习路径。在小学数学教学中，教师可以通过多元互动，促进学生的数学学习进阶。多元互动，即包括师生互动、生生互动。通过互动，不仅能让学生掌握基础性的学习内容，还能让学生拾级而上，掌握一些发展性、提升性的学习内容。
多元互动从学生的具体学情出发，促进学生认知、思维的发展。比如，在教学苏教版小学《数学》六年级上册“体积单位之间的进率”这一部分内容时，笔者引导学生积极对话、互动、交流。上课伊始，笔者引导学生复习长度单位、面积单位之间的进率，重点是引导学生复习面积单位之间的进率的推导，从而为体积单位之间进率的探究奠定坚实的基础。在课堂上，笔者引导学生探究体积单位之间的进率，并引导学生比较长度单位、面积单位之间进率的推导过程。通过比较，学生认识到虽然长度、面积、体积的单位不同，但是三者的推导方法在本质上却是相同的。接下来，笔者让学生比较长度单位、面积单位和体积单位之间的进率，通过比较，让学生掌握单位进率的本质、关联，即测量的本质都是用单位量乘所含单位数，其关系是“面积单位之间的进率是对应长度单位之间进率的平方，体积单位之间的进率是对应长度单位之间进率的立方”。笔者通过讲解测量的共同本质以及体积单位、面积单位与长度单位之间进率的关联，让学生在交流、互动中建立了一个完整的认知结构。这个过程是循序渐进的，不仅从知识上使学生的认知进阶，而且从探究方法上也让学生的认知进阶。
多元互动能够促进学生对知识的建构、对方法的领悟，能够促进学生数学学习的积极迁移和应用。教师要引导学生对相关的数学知识进行深层分析、组织，把握数学知识的纵横关联，从而在课堂上逐步引导学生互动，促进学生的数学认知、思维不断进阶，使学生把握数学知识的本质、关联。
二、以“目标”为抓手，推动学生学习进阶
一般来说，目标的进阶是进阶式教学的主要方式。这里的目标进阶，不仅仅是指“此一课目标”与“彼一课目标”之间的学习进阶，更是指在同一课堂中，“此一目标”与“彼一目标”之间的学习进阶。以目标为抓手，能让进阶教学更具层次性、递进性。
比如，在教学苏教版小学《数学》五年级上册“解决问题的策略——‘一一列举’”这一部分内容时，笔者与学生研讨、商量，制订了教学目标：在解决问题的过程中，让学生掌握列举方法;让学生学会用合适的方法解决实际问题，并且在列举时能够做到有序化，也就是既不遗漏又不重复。教学目标给了学生数学学习较大的自主探究空间。教师一方面让学生用列举的方法解决问题，另一方面又引导学生在列举的过程中掌握一些策略，如分类列举、有序列举、穷列举探究规律，等等。教师只要循着进阶式的学习目标去引导学生学习数学，对学生学习的评价就会走向进阶。如在评价的过程中，对于教材例题1的探究，要让学生认识到是怎样有序列举的;而對于例题2和配套练习“练一练”，则要求学生有序、不重复、不遗漏。换言之，进阶式教学在不同的教学阶段，对于学生的要求是不同的。通过教学目标设计，教师可以让学生始终在数学学习的“最近发展区”内，让学生“跳一跳就能摘到桃子”。伴随学生数学学习的不断深入，学生经历了“列举—有序列举—有策略地有序列举”的进阶过程，目标的达成度和学习参与度都非常高。
目标是学生数学学习的动力引擎，是教学的原点和归宿。进阶式目标不仅能引导学生的数学学习不断进阶，也能为教师对学生进行进阶评价提供依据、条件和抓手。因此，教师要精心设计进阶式的教学目标，引领学生进阶式学习。
三、以“方式”为支架，引领学生学习进阶
进阶式教学不仅可以以互动为动力、以目标为抓手，而且可以以方式为支架。在数学教学中，教师可先创设情境，盘活学生的学习经验，激发学生的形象性思维，进而引导学生逐步经历横向数学化与纵向数学化的过程，让学生对数学知识进行抽象概括。
比如，在教学苏教版小学《数学》四年级上册“条形统计图”这一部分内容时，笔者首先出示了一张关于本班学生最喜欢的电视节目的统计图，激发学生的学习兴趣，调动学生学习的积极性。其次，笔者引导学生用自己喜欢的方式表示统计数据，发掘学生数学学习的创造性。在这个过程中，有学生选择了用统计表的方式，有学生用画圆圈的方式，还有学生用画方格的方式。接着，笔者引导学生比较各自的表示方式，不少学生认为用画圆圈和画方格的方法来表示数据比用统计表表示数据更形象。同时，学生认为画方格的统计更美观，因为画的圆圈难以保证同样大，而方格可以很容易地画成一样大的。在此基础上，笔者引导学生建构统计图的雏形。通过变换，有学生认为，可以将方格之间的连线去掉，就变成了直条图;有学生建议可以在直条图的上方标明数据;有学生认为，不需要这么麻烦，可以在条形图左边或右边画上一个数轴;还有学生建议，可以在直条图的下方写上节目名称，等等。从“数据”到“方格图”，从“方格图”到“条形图”，学生的数学学习方式不断优化、不断进阶。在交流、互动、研讨中，学生对条形统计图中的相关内容进行补充、完善，从而发展了自身的高阶思维和高阶认知。
学生表达数学知识、数学理解的方式是不尽相同的。教师要赋予学生自主表达的权利，让学生“八仙过海，各显神通”。从“符号”到“方格图”再到“条形图”，学生通过对比，能感受、体验到用条形统计图表达数据的优越性。相比较于学生已经学习的统计表，统计图更直观、更形象、更具体。
实践“进阶式教学”不仅要遵循数学知识本身的逻辑，更要了解学生的具体学情。在数学教学中，教师要帮助学生搭建数学思考、探究的“脚手架”，让学生形成逐步演进的思维序列、探究序列，促进学生数学探索的梯度发展，促进学生数学思维的螺旋上升。运用“进阶式教学”，能不断优化学生的思维品质和认知品质，不断提升学生的数学学习力，提高学生的数学核心素养。
参考文献
[1]李化侠.学习进阶视角下小学生统计思维发展水平研究[J].数学教育学报，2019（6）：55-60.
[2]章建跃.发挥数学的内在力量 为学生谋取长期利益[J].数学通报，2013（2）：1-6+10.
[3]鲍建生，周超.数学学习的心理基础与过程[M].上海：上海教育出版社，2009.