近年来,在研究偏微分方程的拟周期解这一领域,发展出了许多新的理论。比如KAM理论就是在此过程中发展起来的一个非常强大的工具,其具体想法是将经典的KAM理论从有限维动力系统推广到无穷维动力系统,在牛顿迭代过程中同时需要第一和第二Melnikov非共振条件,最终在不变环面附近约化出Birkhoff标准型。以及利用Lyapunov-Schmidt分解,在Newton迭代过程中仅需要第一Melnikov非共振条件的CWB方法。但此方法没有给出解在不变KAM环面附近的线性稳定性,不像KAM方法能够在不变环面附近证明解的线性稳定性。在一维情形下研究偏微分方程和在高维情形下是完全不同的。这是因为在高维情形下,方程的线性部分的线性算子具有更复杂的特征值和特征函数。所以本文研究的第一个问题是考虑高维五次梁方程拟周期解的存在性:(?)物理学上许多备受关注的偏微分方程既有哈密顿系统也有反转系统。事实上物理学上得出的偏微分方程,不仅出现了非线性项带导数的情况,而且出现了线性项上也不带有傅里叶乘子或者位势函数的情形(这就是完全共振情形)。第一种情况减弱扰动项正则性,为测度估计增加困难;第二种情况简化后的线性算子导致完全共振现象变得更为复杂,而复杂的完全共振现象导致小除数条件难以证明,尤其是第二Melnikov非共振条件。所以本文研究的第二个问题是反转的带导数的二维完全共振梁方程拟周期解的存在性:(?)以及第三个问题是哈密顿的带导数的二维完全共振梁方程拟周期解的存在性:(?)以上所有的工作都是关于带有解析的扰动项的偏微分方程,当扰动项不再解析,而是Cm的,即有限次可微的,目前只有有限维动力系统的KAM理论,关于无穷维动力系统,尚无利用KAM方法的结果。这是因为在解析的情况下,混沌区域是指数级缩小,而在有限次可微的情况下,混沌区域是多项式级缩小。所以本文研究的第四个问题是对于具有赫兹相互作用力的牛顿碰撞实验的简化模型所导出的格点方程,我们考虑了拟周期呼吸子的存在性(?)为赫兹位势。这也是首个非解析的拟周期呼吸子的结果。