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[摘 要]积分变换不仅在数理领域有重要的作用,当人们将积分变换引入光学领域后,积分变换在信息传输,频谱分析,图像处理等方面运用十分广泛。本篇论文着重介绍和分析了傅里叶变换以及分数傅里叶变换在光学图像处理方面的应用。
[关键字]变换,傅里叶变换,分数傅里叶变换,图像处理.
中图分类号:0469 文献标识码:A 文章编号:1009-914X(2019)07-0117-02
1、背景介绍
在19世纪,由于运算上的困难导致了积分变换的产生,在英国,海维赛德这位著名的工程师把积分变换运用在求解物理学等领域中的线性微分方程时,慢慢的形成了一种符号规则,此后一段时间,这种规则就逐渐演变为现在的积分变化法。所有可以连续变化的信号,总可以用频率不同的正弦和余弦函数的叠加来表示。这一点可以由傅里叶变换的原理清楚地得知。傅里叶变换处理信号的方法之一,在许多学科中,信号处理等许多领域都有着很多的应用[1]。傅里叶分析法在19世纪20年代初期便已经成功的运用到了光学领域,进而成为现代光学一个重要分支---傅里叶光学,该理论对于光学信息的处理来说也十分重要。例如,在处理光学图像时就经常用到傅里叶变换。其原因是因为傅立叶分析包括了图像处理的许多方面,把傅里叶变换的原理和相应的物理解释结合起来,对存在于图像处理当中的很多问题提示了许多不同的思路,傅里叶变换提示我们应从事物的不同方面来考察问题,同时也让我们在分析某问题时有意识的从空域和频域这两个不同的角度来考察问题并且学会它们之间的相互转变,从而使得图像处理的过程变得简单、有效,对于在图像处理中需要迂回解决的难题十分有帮助,傅里叶变换也因此被广泛的应用在图像处理当中。但是随着人们运用领域的不断扩大,其局限性就慢慢显现出来了,正是这些不足迫使人们积极的去寻找一些改进的方法。分数傅里叶变换可以认为是广义上的傅里叶变换。当我们把数学中的分数傅里叶变换引入到光学领域时就慢慢衍生出现代光学的一个新的分支---分数傅里叶光学。作为傅里叶光学的补充和扩展,对于光的行为我们可以用一种不同的思路去考虑,当我们处理这些问题时有了不一样的观点和思维方式。分数阶这一特殊的参量是分数傅里叶变换较傅里叶变换不同之处,所以它就有一些新的功能。例如,在某一个整体需要进行信号检测时,对于傅里叶变换来说需要采用许多不同的方法才可以使整体的图像处理效果更为清晰[2,3]。相比较而言,分数傅里叶变换可以对整体的变化动态进行较为详细的描述。与此同时,对于其整体的变化方式,也能够进行分数阶的变化分析。这样的话,存在于许多不同信号层面的数據变化,分数傅里叶变换对其进行分数的变化分析是较为全面的,所以提升了整体的检测效率。在对整体进行检测时,首先应明确需要处理的傅里叶信息。然后处理好不同的图像,再把图像处理和信号检测结合在一起,这样才能使检测效果最为明显。所以,在最近这些年来分数傅里叶变换成为了光学信息处理领域的研究热门[4]。
2、分数傅里叶积分变换
傅里叶变换属于线性变换的一种,把信号在时域以及频域这两个不同的空间进行转换时,经常会用到此变换。傅里叶变换是由约瑟夫.傅里叶提出来的,为了纪念他,所以以他的名字来命名这一积分变换。傅里叶变换的具体表达式并不是一成不变的,当在不同的领域运用此变换时,会有不同的表现形式。
若信号函数 在( , )上满足以下条件, 在任意一个有限区域上满足连续或只有有限个间断点,只有有限个极值点[1]。且 在无穷区域( , )上绝对可积,则 在连续点t处的傅里叶变换定义如下
(1)
对应的,其逆变换为
(2)
那么当 中的 不等于整数,而是分数时该如何呢,从而就发展出了分数傅里叶变换函数[2]。
(3)
其中 是 的分数傅里叶谱, 称为分数傅里叶变换的阶,其值应满足 ,当上式中的 用 代替时,可得到
(4)
其中 是 的逆变换。
分数傅里叶变换是以傅里叶变换为基础而发展过来的。目前,分数傅里叶变换被运用到了很多领域 。在1980年时,Namias就提出了较为完整的定义以及性质。到了1987年,McBride等一些人又在数学方面做了适当的补充,而后分数傅里叶变换就形成了一个较为完整的理论。在1993年,分数傅里叶变换被运用到光学领域,并通过渐变折射率介质光学理论定义了它的光学定义。分数傅里叶变换有如下性质。
(1)位移性质
(5)
(2)可加性质
阶和 阶,变换时的依次作用,产生的结果相当于 阶的一次变换的效果[3]。
即
(6)
在上式中 与 是对称的,因此可以得出 。由此可见分数傅里叶变换算符是可对易的;当 时 。
(3)周期性质
因为分数傅里叶变换的定义中出现了周期性的函数 和 ,所以该积分变换关于 有周期性,且周期为2π,那么
(7)
(8)
(9)
那么,当 , 时,变换 都能够化为主值区间内的变换。设
那么, 阶分数傅里叶变换还可以表示为 ,q的变换范围是 。
对于振动信号以及其他物理信号进行分析时,傅里叶变换是一种很常用的分析方法。傅里叶变换属于频域分析法的一种,对于信号的一些频率特征可以很好的被其反映出来,但对于时域信息的获取却得不到。这就是时域和频域所存在的一种局部化矛盾.在傅里叶变换当中,人们只能单独得到时域或者频域的信息。傅里叶变换很适合分析那些确定的平稳信号,相对于非线性、非平稳的信号而言,傅里叶变换存在着明显的不足;但是对于非线性、非平稳信号的分析也很重要。在实际的运用过程中,傅里叶变换的不足之处主要有以下两点:一是傅里叶变换不具备时间以及频率的定位功能,另一种则是傅里叶变换处理非平稳信号的效果不是很好。 傅里叶变换进行整体的分析时只能够得到整体信号中某一频率的平均值,而不能够反映该信号随时间是如何变化的,也就是说反映瞬时频率不能被傅里叶变换所反映。傅里叶变换只能给出整体的情况,不能反映某一信号的某种行为。相较于傅里叶变换的这些不足之处,分数傅里叶变换具有很强的优势。分数傅里叶变换是在传统傅里叶变换上进行了分数级次上的延伸,所以分数傅里叶变换又属于广义傅里叶变换。但确切说来,分数傅里叶变换并不完全等于广义傅里叶变换,两者在概念上还是有区别的。分数傅里叶变换相当于在传统的傅里叶变换上拓展了分数级次,但广义上的傅里叶变换的级次一直拓展到了复数域,由此可以认为分数傅里叶变换包含了传统傅里叶变换,而广义傅里叶变换又包含了分数傅里叶变换。
3、分数傅里叶变换在光学图像处理中的运用
傅里叶变换的运用在光学图像处理中有着广泛的应用。一般说来图像中的噪音大都属于图像的高频分量,我们可以用低通滤波器将其去除。而且图像的边缘也属于图像的高频分量,所以通过加入与原始图像相应的高频分量来增强此高频分量[6]。图像去噪就是抑制图像的噪音部分。由此,如果噪音是高频,以频域的角度来看时,应使用一个低通滤波器将其过滤掉。以此来达到抑制图像高频分量的目的。但由于图像的边缘部分也是图像高频分量的一种,所以图像的边缘部分也会受到抑制。常用的几种去噪模板有,均值模板、高斯模板等等。这些都是在一定区域内对噪声进行抑制。还有一种非线性的滤波-中值滤波器。对于脉冲型的噪声有很好的抑制作用。因为脉冲点是有一系列的点组成的,排序以后输出中值,由此可以去除那些极值点。但是中值滤波对高斯噪音效果比较差。高斯白噪声:因为在整个频域空间有白噪声的存在,所以此类噪声比较难以去除。图像增强与图像去噪看似是一个相反的过程,因为进行图像增强时要增强图像相应的边缘,从而来获得较好的效果,那此时就应增强原图像对应的部分了。但是抑制图像的声就是图像去燥的目的。但有时他们却有类似的含义。比如说,在消除噪音的同时图像的显示效果也有了显著的提升。比度拉伸、直方图均衡化、图像锐化等是增强图像的几种常用方法。在人们的实际应用中,由于周围环境的原因,影响了图像的视觉效果,从而使人们在读取和识别图像信息时出现困难。比如,因为周围的光照环境而导致图像光照的不均匀,或由于设备的自身因素引入了的噪声,又或是因为图像显示设备自身的不足导致图像显示层次感不明显或颜色的缺失等。以图像处理的作用领域为起点,图像增强被划分为空间域以及频域这两大类。频域增强是以某一种方式将原来空间的图像变换到另一个空间中去,随后根据这个转换空间的特有属性对原图像进行处理,最后再把图像变换到原来的空间中去,这是间接增强图像的一种方法。图像增强是图像处理中很重要的一个部分,传统的图像增强的处理方法一般是在空域和频域进行的,在频域中运用傅里叶变换实现对图像的变换,处理转换后得到的频谱,而后通过傅里叶逆变换得到最后的结果。但是有时仅仅采用一种方法是得不到想要的结果,并且目前为止还没有任何一种方法能够满足人们的任意需要,比如理想的低通或者高通滤波器并不是那么的实用,但它们作为滤波概念的发展来说,用它们来考察滤波器的特性却很有意义。
图像处理中的加密技术以及數字水印都运用了分数傅里叶变换。也就是说把目标图像转换到既定阶次的分数阶傅里叶域里去,随后按照某一规则把水印数据嵌入到指定的变换系数上。因为分数阶傅里叶变换相较于传统意义上的傅里叶变换更加的灵活。所以,转换适当的阶次后,就可以在设计神经网络中取得更为理想的效果。在信号的输入和输出过程中,对阵列信号的整体变化情况需要进行数据的整体控制。可以采取许多不同种的信息处理方法使得阵列天线技术得到明显的改善。由于通信技术的快速发展,现在大容量通信已慢慢的进入到了人们的视野,但是这同样会触发某些技术方面的问题。例如,现在高速移动通信中的快衰落信道问题。目前,在信号通讯中,存在一种时变的信道参数估计方法,这一方法拥有估计精度高,运算量小等等特点。不同程度的色散可以在空间光学中借助于透镜和衍射现象的本身特性进行研究,以此来区别不同的分数傅里叶变换,大小不同的能量能够通过离散的分数阶傅里叶变换进行聚集。对信号进行数字信号分析,能后估算出在一些特定的变换阶次中的色散值的大小。对色散的效果进行分析,可以证实非线性效应与ASE噪声拥有较强的抵抗性。可以分析存在于光纤中的非线性效应。对图像进行加密操作是通过在分数阶傅立叶变换域中添加了密钥,又因为分数傅里叶变换的阶次是可以改变的所以其加密效果就更好。在无线移动通信中,有分数阶傅里叶变换信道参数估计这一方法。与无线通信相比,光纤通信的效果更为稳定,这一方法的主要的使用范围是在相干光OFDM系统中,对这两种方法的熟练使用,可以实现频域和时域的同步操作。
4、总结与展望
以传统傅里叶变换理论为基础的分数傅里叶变换正在快速的发展当中,它是传统意义上的傅里叶变换不断修正,发展和丰富的成果,现在已经成为一门重要的课题。在光学系统、通讯系统、图像处理、雷达等领域具有广阔的运用范围。这些年来,无论是在理论研究还是工程应用方面,分数傅里叶变换理论及其使用价值都受到了一致的认可。相比于传统的傅里叶变换,分数傅里叶变换不仅具备传统意义上傅里叶变换的一些基本性质,并且还具备传统意义上傅里叶变换不具备的一些特性。与传统傅里叶变换相比其优势主要体现在以下几个方面;
(1)分数傅里叶变换也是广义傅里叶变换中的一种,它打破了传统意义上傅里叶变换的分析方法,即只可以在时域、频域或者时频联合域中的分析方式,并且分数傅里叶变换在分数域上也能对信号进行分析,从而让人们可以知道信号从时域到频域的变化以及特点,并对认识问题的本质提供线索;
2.和传统意义上的傅里叶变换类似,分数傅里叶变换也可以认为是某一种基的表示方法。对于分数傅里叶变换来说其基函数是由一族线性调频信号组成的,据此,对于在自然界以及人为合成的系统中大量存在的线性调频信号所带来的问题,分数傅里叶变换可以很好的对其进行处理;
(3)与传统傅里叶变换相比,分数傅里叶变换多了一个自有参数--旋转角度,由此,在傅里叶变换分析的某些特殊运用中能够获得更好的效果,例如数字水印,图像加密技术等;
(4)理解分数傅里叶变换的一种方式--在时频平面中存在某一信号在此平面内绕一定点逆时针旋转一定角度,且该角度可为任意值。当旋转的角度发生变化时,信号在分数域的分布也会因此发生改变。据此,为减小信号和噪声或干扰的耦合程度可以采用时频旋转这一方法,对于信号和噪声或干扰的分离十分有效;
(5)和传统意义上的线性时频十分类似的是,分数傅里叶变换也属于一种线性的时频变换,不存在交叉项,有利于处理多分量信号。分数傅里叶变换以其独特的特性在众多研究领域备受关注,时至今日,分数傅里叶变换的运用范围还在不断扩大,这里就不能全都一一列出。
参考文献
[1]宋占杰. 随机信号的局部平均采样[D].南开大学, 2006.
[2]冯小芳. 光束通过含有硬边光阑光学系统的传输[D].四川师范大学, 2009.
[3]郭小爱 陈家壁. 菲涅耳衍射和分数傅里叶变换[D].上海理工大学光学与电子信息工程学院,上海200093 上海理, 2002.
[4]龙泓琳. 层析SAR三维成像算法研究[D].电子科技大学, 2010.
[关键字]变换,傅里叶变换,分数傅里叶变换,图像处理.
中图分类号:0469 文献标识码:A 文章编号:1009-914X(2019)07-0117-02
1、背景介绍
在19世纪,由于运算上的困难导致了积分变换的产生,在英国,海维赛德这位著名的工程师把积分变换运用在求解物理学等领域中的线性微分方程时,慢慢的形成了一种符号规则,此后一段时间,这种规则就逐渐演变为现在的积分变化法。所有可以连续变化的信号,总可以用频率不同的正弦和余弦函数的叠加来表示。这一点可以由傅里叶变换的原理清楚地得知。傅里叶变换处理信号的方法之一,在许多学科中,信号处理等许多领域都有着很多的应用[1]。傅里叶分析法在19世纪20年代初期便已经成功的运用到了光学领域,进而成为现代光学一个重要分支---傅里叶光学,该理论对于光学信息的处理来说也十分重要。例如,在处理光学图像时就经常用到傅里叶变换。其原因是因为傅立叶分析包括了图像处理的许多方面,把傅里叶变换的原理和相应的物理解释结合起来,对存在于图像处理当中的很多问题提示了许多不同的思路,傅里叶变换提示我们应从事物的不同方面来考察问题,同时也让我们在分析某问题时有意识的从空域和频域这两个不同的角度来考察问题并且学会它们之间的相互转变,从而使得图像处理的过程变得简单、有效,对于在图像处理中需要迂回解决的难题十分有帮助,傅里叶变换也因此被广泛的应用在图像处理当中。但是随着人们运用领域的不断扩大,其局限性就慢慢显现出来了,正是这些不足迫使人们积极的去寻找一些改进的方法。分数傅里叶变换可以认为是广义上的傅里叶变换。当我们把数学中的分数傅里叶变换引入到光学领域时就慢慢衍生出现代光学的一个新的分支---分数傅里叶光学。作为傅里叶光学的补充和扩展,对于光的行为我们可以用一种不同的思路去考虑,当我们处理这些问题时有了不一样的观点和思维方式。分数阶这一特殊的参量是分数傅里叶变换较傅里叶变换不同之处,所以它就有一些新的功能。例如,在某一个整体需要进行信号检测时,对于傅里叶变换来说需要采用许多不同的方法才可以使整体的图像处理效果更为清晰[2,3]。相比较而言,分数傅里叶变换可以对整体的变化动态进行较为详细的描述。与此同时,对于其整体的变化方式,也能够进行分数阶的变化分析。这样的话,存在于许多不同信号层面的数據变化,分数傅里叶变换对其进行分数的变化分析是较为全面的,所以提升了整体的检测效率。在对整体进行检测时,首先应明确需要处理的傅里叶信息。然后处理好不同的图像,再把图像处理和信号检测结合在一起,这样才能使检测效果最为明显。所以,在最近这些年来分数傅里叶变换成为了光学信息处理领域的研究热门[4]。
2、分数傅里叶积分变换
傅里叶变换属于线性变换的一种,把信号在时域以及频域这两个不同的空间进行转换时,经常会用到此变换。傅里叶变换是由约瑟夫.傅里叶提出来的,为了纪念他,所以以他的名字来命名这一积分变换。傅里叶变换的具体表达式并不是一成不变的,当在不同的领域运用此变换时,会有不同的表现形式。
若信号函数 在( , )上满足以下条件, 在任意一个有限区域上满足连续或只有有限个间断点,只有有限个极值点[1]。且 在无穷区域( , )上绝对可积,则 在连续点t处的傅里叶变换定义如下
(1)
对应的,其逆变换为
(2)
那么当 中的 不等于整数,而是分数时该如何呢,从而就发展出了分数傅里叶变换函数[2]。
(3)
其中 是 的分数傅里叶谱, 称为分数傅里叶变换的阶,其值应满足 ,当上式中的 用 代替时,可得到
(4)
其中 是 的逆变换。
分数傅里叶变换是以傅里叶变换为基础而发展过来的。目前,分数傅里叶变换被运用到了很多领域 。在1980年时,Namias就提出了较为完整的定义以及性质。到了1987年,McBride等一些人又在数学方面做了适当的补充,而后分数傅里叶变换就形成了一个较为完整的理论。在1993年,分数傅里叶变换被运用到光学领域,并通过渐变折射率介质光学理论定义了它的光学定义。分数傅里叶变换有如下性质。
(1)位移性质
(5)
(2)可加性质
阶和 阶,变换时的依次作用,产生的结果相当于 阶的一次变换的效果[3]。
即
(6)
在上式中 与 是对称的,因此可以得出 。由此可见分数傅里叶变换算符是可对易的;当 时 。
(3)周期性质
因为分数傅里叶变换的定义中出现了周期性的函数 和 ,所以该积分变换关于 有周期性,且周期为2π,那么
(7)
(8)
(9)
那么,当 , 时,变换 都能够化为主值区间内的变换。设
那么, 阶分数傅里叶变换还可以表示为 ,q的变换范围是 。
对于振动信号以及其他物理信号进行分析时,傅里叶变换是一种很常用的分析方法。傅里叶变换属于频域分析法的一种,对于信号的一些频率特征可以很好的被其反映出来,但对于时域信息的获取却得不到。这就是时域和频域所存在的一种局部化矛盾.在傅里叶变换当中,人们只能单独得到时域或者频域的信息。傅里叶变换很适合分析那些确定的平稳信号,相对于非线性、非平稳的信号而言,傅里叶变换存在着明显的不足;但是对于非线性、非平稳信号的分析也很重要。在实际的运用过程中,傅里叶变换的不足之处主要有以下两点:一是傅里叶变换不具备时间以及频率的定位功能,另一种则是傅里叶变换处理非平稳信号的效果不是很好。 傅里叶变换进行整体的分析时只能够得到整体信号中某一频率的平均值,而不能够反映该信号随时间是如何变化的,也就是说反映瞬时频率不能被傅里叶变换所反映。傅里叶变换只能给出整体的情况,不能反映某一信号的某种行为。相较于傅里叶变换的这些不足之处,分数傅里叶变换具有很强的优势。分数傅里叶变换是在传统傅里叶变换上进行了分数级次上的延伸,所以分数傅里叶变换又属于广义傅里叶变换。但确切说来,分数傅里叶变换并不完全等于广义傅里叶变换,两者在概念上还是有区别的。分数傅里叶变换相当于在传统的傅里叶变换上拓展了分数级次,但广义上的傅里叶变换的级次一直拓展到了复数域,由此可以认为分数傅里叶变换包含了传统傅里叶变换,而广义傅里叶变换又包含了分数傅里叶变换。
3、分数傅里叶变换在光学图像处理中的运用
傅里叶变换的运用在光学图像处理中有着广泛的应用。一般说来图像中的噪音大都属于图像的高频分量,我们可以用低通滤波器将其去除。而且图像的边缘也属于图像的高频分量,所以通过加入与原始图像相应的高频分量来增强此高频分量[6]。图像去噪就是抑制图像的噪音部分。由此,如果噪音是高频,以频域的角度来看时,应使用一个低通滤波器将其过滤掉。以此来达到抑制图像高频分量的目的。但由于图像的边缘部分也是图像高频分量的一种,所以图像的边缘部分也会受到抑制。常用的几种去噪模板有,均值模板、高斯模板等等。这些都是在一定区域内对噪声进行抑制。还有一种非线性的滤波-中值滤波器。对于脉冲型的噪声有很好的抑制作用。因为脉冲点是有一系列的点组成的,排序以后输出中值,由此可以去除那些极值点。但是中值滤波对高斯噪音效果比较差。高斯白噪声:因为在整个频域空间有白噪声的存在,所以此类噪声比较难以去除。图像增强与图像去噪看似是一个相反的过程,因为进行图像增强时要增强图像相应的边缘,从而来获得较好的效果,那此时就应增强原图像对应的部分了。但是抑制图像的声就是图像去燥的目的。但有时他们却有类似的含义。比如说,在消除噪音的同时图像的显示效果也有了显著的提升。比度拉伸、直方图均衡化、图像锐化等是增强图像的几种常用方法。在人们的实际应用中,由于周围环境的原因,影响了图像的视觉效果,从而使人们在读取和识别图像信息时出现困难。比如,因为周围的光照环境而导致图像光照的不均匀,或由于设备的自身因素引入了的噪声,又或是因为图像显示设备自身的不足导致图像显示层次感不明显或颜色的缺失等。以图像处理的作用领域为起点,图像增强被划分为空间域以及频域这两大类。频域增强是以某一种方式将原来空间的图像变换到另一个空间中去,随后根据这个转换空间的特有属性对原图像进行处理,最后再把图像变换到原来的空间中去,这是间接增强图像的一种方法。图像增强是图像处理中很重要的一个部分,传统的图像增强的处理方法一般是在空域和频域进行的,在频域中运用傅里叶变换实现对图像的变换,处理转换后得到的频谱,而后通过傅里叶逆变换得到最后的结果。但是有时仅仅采用一种方法是得不到想要的结果,并且目前为止还没有任何一种方法能够满足人们的任意需要,比如理想的低通或者高通滤波器并不是那么的实用,但它们作为滤波概念的发展来说,用它们来考察滤波器的特性却很有意义。
图像处理中的加密技术以及數字水印都运用了分数傅里叶变换。也就是说把目标图像转换到既定阶次的分数阶傅里叶域里去,随后按照某一规则把水印数据嵌入到指定的变换系数上。因为分数阶傅里叶变换相较于传统意义上的傅里叶变换更加的灵活。所以,转换适当的阶次后,就可以在设计神经网络中取得更为理想的效果。在信号的输入和输出过程中,对阵列信号的整体变化情况需要进行数据的整体控制。可以采取许多不同种的信息处理方法使得阵列天线技术得到明显的改善。由于通信技术的快速发展,现在大容量通信已慢慢的进入到了人们的视野,但是这同样会触发某些技术方面的问题。例如,现在高速移动通信中的快衰落信道问题。目前,在信号通讯中,存在一种时变的信道参数估计方法,这一方法拥有估计精度高,运算量小等等特点。不同程度的色散可以在空间光学中借助于透镜和衍射现象的本身特性进行研究,以此来区别不同的分数傅里叶变换,大小不同的能量能够通过离散的分数阶傅里叶变换进行聚集。对信号进行数字信号分析,能后估算出在一些特定的变换阶次中的色散值的大小。对色散的效果进行分析,可以证实非线性效应与ASE噪声拥有较强的抵抗性。可以分析存在于光纤中的非线性效应。对图像进行加密操作是通过在分数阶傅立叶变换域中添加了密钥,又因为分数傅里叶变换的阶次是可以改变的所以其加密效果就更好。在无线移动通信中,有分数阶傅里叶变换信道参数估计这一方法。与无线通信相比,光纤通信的效果更为稳定,这一方法的主要的使用范围是在相干光OFDM系统中,对这两种方法的熟练使用,可以实现频域和时域的同步操作。
4、总结与展望
以传统傅里叶变换理论为基础的分数傅里叶变换正在快速的发展当中,它是传统意义上的傅里叶变换不断修正,发展和丰富的成果,现在已经成为一门重要的课题。在光学系统、通讯系统、图像处理、雷达等领域具有广阔的运用范围。这些年来,无论是在理论研究还是工程应用方面,分数傅里叶变换理论及其使用价值都受到了一致的认可。相比于传统的傅里叶变换,分数傅里叶变换不仅具备传统意义上傅里叶变换的一些基本性质,并且还具备传统意义上傅里叶变换不具备的一些特性。与传统傅里叶变换相比其优势主要体现在以下几个方面;
(1)分数傅里叶变换也是广义傅里叶变换中的一种,它打破了传统意义上傅里叶变换的分析方法,即只可以在时域、频域或者时频联合域中的分析方式,并且分数傅里叶变换在分数域上也能对信号进行分析,从而让人们可以知道信号从时域到频域的变化以及特点,并对认识问题的本质提供线索;
2.和传统意义上的傅里叶变换类似,分数傅里叶变换也可以认为是某一种基的表示方法。对于分数傅里叶变换来说其基函数是由一族线性调频信号组成的,据此,对于在自然界以及人为合成的系统中大量存在的线性调频信号所带来的问题,分数傅里叶变换可以很好的对其进行处理;
(3)与传统傅里叶变换相比,分数傅里叶变换多了一个自有参数--旋转角度,由此,在傅里叶变换分析的某些特殊运用中能够获得更好的效果,例如数字水印,图像加密技术等;
(4)理解分数傅里叶变换的一种方式--在时频平面中存在某一信号在此平面内绕一定点逆时针旋转一定角度,且该角度可为任意值。当旋转的角度发生变化时,信号在分数域的分布也会因此发生改变。据此,为减小信号和噪声或干扰的耦合程度可以采用时频旋转这一方法,对于信号和噪声或干扰的分离十分有效;
(5)和传统意义上的线性时频十分类似的是,分数傅里叶变换也属于一种线性的时频变换,不存在交叉项,有利于处理多分量信号。分数傅里叶变换以其独特的特性在众多研究领域备受关注,时至今日,分数傅里叶变换的运用范围还在不断扩大,这里就不能全都一一列出。
参考文献
[1]宋占杰. 随机信号的局部平均采样[D].南开大学, 2006.
[2]冯小芳. 光束通过含有硬边光阑光学系统的传输[D].四川师范大学, 2009.
[3]郭小爱 陈家壁. 菲涅耳衍射和分数傅里叶变换[D].上海理工大学光学与电子信息工程学院,上海200093 上海理, 2002.
[4]龙泓琳. 层析SAR三维成像算法研究[D].电子科技大学, 2010.