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【摘要】本文论述在图形与几何教学中渗透数学思想的策略，通过引导学生提出问题，开展自主探究，在自主探究中经历分类、集合、类比的过程，逐步渗透数学思想，以让学生感悟数学的本质属性，领悟数学思想方法。
【关键词】图形与几何 数学思想 自主探究
【中图分类号】G 【文献标识码】A
【文章编号】0450-9889（2021）13-0089-02
图形与几何是小学数学重要的课程内容。教材关于“图形的认识”的编排体现了从生活到数学、从直观到抽象、从整体到局部的特点。新课标明确指出，要在教学中渗透数学思想方法，让学生逐步感悟数学思想。如何在图形与几何教学中实现这一目标呢？笔者认为，教师要给学生提供观察、操作、整理、交流的机会，引导学生针对问题开展自主探究，充分经历分类、集合、类比的数学思想形成过程，从而积累提出问题和探究几何知识的经验，初步领悟数学思想方法。
一、基于自主探究渗透分类思想
图形与几何的知识贯穿整个小学阶段，教师要引导学生提出问题，开展自主探究，通过对问题的梳理，发现图形之间的相互关联，积累分类标准不同而得到结果多样的分类思想经验，从而在自主探究教学中渗透分类思想。
在学习复杂的图形概念时，学生由于缺乏思维的深刻性，因此，教师要给予学生先行感知的机会，借助观察、操作、想象等方式，激活已有经验，让学生在自主探究的过程中对图形先行感知，而后生成一个个数学问题。如在教学《角的分类》一课时，笔者给学生设计了预习任务单，布置了如下任务：（1）用活动角做出不同的角并画下来，再用量角器测量。（2）用一副三角板画出三角板上的各个角并测量各个角的度数。（3）根据测量结果，请你对角进行分类。（4）关于角的分类相关知识，你还能提出什么数学问题吗？
借助预习任务单，激活了学生已有的角的知识经验，引导学生对角的概念先行感知，接着教师提出如下问题：“角的大小和角的两条边的长短无关，它与什么有关？锐角、直角、钝角、平角和周角之间有什么联系和区别？有没有大于180°小于360°的角？”这些问题将聚焦点放在角的不同定义、角的特征以及不同角的联系与区別上，给学生提供了探究的动力，让学生经历知识形成的过程，从而有效获得几何的概念与运用几何知识解决问题的能力。
此外，学生还会借助日常生活的原型获得对概念的感知，然而这一原型的图例，却包含与所属概念无关的特征，这就给学生学习几何图形的概念造成障碍。为此，教师要引导学生提出问题，并根据问题展开探究，以此突破知识的表象，带领学生经历分类的过程，学会分类的方法。
如在教学《平行与垂直》一课时，笔者让学生根据教材的编排内容提出问题。学生提出了这样的疑问：“画在纸上的两条直线不是平行就是垂直吗？两条直线的位置关系就只有平行和垂直吗？”很显然，这些疑问融入了学生的生活经验，而这些经验给学生带来了困惑：“斜着画的两条直线，怎样判断是不是互相平行呢？”由此可知，学生对平行的认识往往伴有水平放置与竖直放置等生活经验，同时还存在分类标准不明确的困惑。为此，笔者带领学生根据这些问题展开探究，引导学生通过自主分析、分类比较等操作过程，逐步认识到相交分为两类，即互相垂直和一般相交，由此建立分类的概念，感悟分类的数学思想。
二、基于自主探究渗透集合思想
在图形与几何教学中，教师要引导学生深入探究图形的性质，基于问题找出不同图形之间的联系和区别，并用集合图的方式表示不同图形之间的关系，由此渗透集合思想。学生刚开始接触几何图形的知识时，其空间观念的形成是一个逐步发展的渐进过程，教师可以借助比较类推的方式指导学生自主探究。
如在教学“梯形”的相关内容时，学生已有了探究平行四边形特征的基本经验，即采用直尺和三角尺推的方式探究两组对边分别平行，再采用尺量的方式探究两组对边分别相等。因此，学生在借助探究平行四边形的特征的经验探究梯形的特征时，也采用直尺和三角尺测量，得出只有一组对边平行的结论。学生由此提出疑问：“梯形还有什么特点呢？”在这一问题的引导下，学生用量角器测量出角的大小，再用三角尺和直尺操作感知等腰梯形和直角梯形的特点。在操作过程中学生继续产生疑问：“等腰梯形和直角梯形有什么区别？梯形与平行四边形有什么相同和不同的地方？”通过这样的自主探究，学生进一步感知梯形和平行四边形之间的关系。
学生经历过描述分析图形之后，开始关注图形与图形性质之间的关系，探究图形的内在隶属和包含关系，学会运用思维导图的方式，将这些性质进行分类整理。通过自主分析、综合比较、抽象概括等形式表征图形之间的包含关系和并列关系，并用集合的方式对概念进行建构。如在教学《四边形的分类》时，学生根据已经学过的知识，从对边是否平行、是否相等，对角是否相等来描述四边形的特征。与此同时提出疑问：“正方形能否看成特殊的长方形？长方形和正方形能否看成特殊的平行四边形？四边形可以按对边是否平行进行分类吗？四边形可以按对边是否相等进行分类吗？四边形可以按对角是否相等进行分类吗？”通过问题引导学生展开自主探究、交流，逐一导出一系列特殊的四边形，并用思维导图的方式将其整理出来，揭示各种四边形概念之间的内涵关系。（如图1）
学生也可以从对边是否平行来比较四边形的特征，梳理各种四边形概念的外延之间的关系，如并列关系、包含关系等，并用集合图的形式进行呈现。（如图2）
三、基于自主探究渗透类比思想
在图形与几何的数学知识体系中，存在着包含并列等多种数学关系，这就需要教师引导学生自主探究，通过观察、操作、比较、联想等环节拓展图形知识，探究含有多种关系的数学问题。
如在学习“四边形的分类”相关知识后，学生根据集合图进行整理总结，生成了新的问题：“正方形是特殊的长方形，它们之间是一种包含的关系，还有哪些数学知识之间也是这种包含关系？等腰梯形和直角梯形是特殊的梯形，它们之间是并列的关系，还有哪些数学知识之间也有这种并列关系？”通过自主探究这些数学问题，逐步渗透关系类比的思想，为学生进一步探究数学知识提供了保障。
此外，要让学生理解图形的特征、发展空间观念，最有效的操作活动就是作图。教师可以引导学生通过亲身实践、合作操作等方式，探索作图的方法和步骤，让学生在操作、归纳、类比等实践活动中不断生成新的数学问题，开展自主探究，这样既是对教材知识的有效拓展，也是后续学习的有力保障。
如在学习“画垂线”这一知识内容时，学生先根据自己的知识和经验，尝试先用三角板和量角器自主尝试画垂线，再使用三角尺过直线上一点画垂线，通过这样的实践探究，学生逐步认识并概括出画垂线的一般方法和步骤。另外，学生借助点子图练习画两条互相垂直的直线和两条互相平行的直线，在这个过程中提出问题：“如果不借助点子图，怎么画两条互相平行的直线呢？怎么用画平行线的方法检验两条直线是否平行呢？怎么用直尺和三角尺过直线外一点画已知直线的平行线呢？”学生根据这些问题展开自主探究，由此认识到平行线的判定以及两条平行线间的距离处处相等的几何性质。通过自主探究数学问题，学生在实践中建立了类比关系，奠定了画长方形和正方形的基础，也由此积累了学习平行四边形和梯形的经验，进而渗透类比的数学思想。
总之，数学基本思想的渗透是课堂教学中一个不可忽视的环节，教师要引导学生善于提出问题，基于自主探究，在观察、操作、整理、交流等课堂实践中，经历感知图形、建构分类、比较类推、抽象概括、关系类比、实践类比的探究过程，在分类、集合、类比的基本数学思想的渗透中深刻感悟和理解数学思想。
【作者简介】韦仕宁（1972— ），壮族，广西贺州人，大学专科学历，一级教师，研究方向为小学数学教育教学。
（责编 黄健清）
【关键词】图形与几何 数学思想 自主探究
【中图分类号】G 【文献标识码】A
【文章编号】0450-9889（2021）13-0089-02
图形与几何是小学数学重要的课程内容。教材关于“图形的认识”的编排体现了从生活到数学、从直观到抽象、从整体到局部的特点。新课标明确指出，要在教学中渗透数学思想方法，让学生逐步感悟数学思想。如何在图形与几何教学中实现这一目标呢？笔者认为，教师要给学生提供观察、操作、整理、交流的机会，引导学生针对问题开展自主探究，充分经历分类、集合、类比的数学思想形成过程，从而积累提出问题和探究几何知识的经验，初步领悟数学思想方法。
一、基于自主探究渗透分类思想
图形与几何的知识贯穿整个小学阶段，教师要引导学生提出问题，开展自主探究，通过对问题的梳理，发现图形之间的相互关联，积累分类标准不同而得到结果多样的分类思想经验，从而在自主探究教学中渗透分类思想。
在学习复杂的图形概念时，学生由于缺乏思维的深刻性，因此，教师要给予学生先行感知的机会，借助观察、操作、想象等方式，激活已有经验，让学生在自主探究的过程中对图形先行感知，而后生成一个个数学问题。如在教学《角的分类》一课时，笔者给学生设计了预习任务单，布置了如下任务：（1）用活动角做出不同的角并画下来，再用量角器测量。（2）用一副三角板画出三角板上的各个角并测量各个角的度数。（3）根据测量结果，请你对角进行分类。（4）关于角的分类相关知识，你还能提出什么数学问题吗？
借助预习任务单，激活了学生已有的角的知识经验，引导学生对角的概念先行感知，接着教师提出如下问题：“角的大小和角的两条边的长短无关，它与什么有关？锐角、直角、钝角、平角和周角之间有什么联系和区别？有没有大于180°小于360°的角？”这些问题将聚焦点放在角的不同定义、角的特征以及不同角的联系与区別上，给学生提供了探究的动力，让学生经历知识形成的过程，从而有效获得几何的概念与运用几何知识解决问题的能力。
此外，学生还会借助日常生活的原型获得对概念的感知，然而这一原型的图例，却包含与所属概念无关的特征，这就给学生学习几何图形的概念造成障碍。为此，教师要引导学生提出问题，并根据问题展开探究，以此突破知识的表象，带领学生经历分类的过程，学会分类的方法。
如在教学《平行与垂直》一课时，笔者让学生根据教材的编排内容提出问题。学生提出了这样的疑问：“画在纸上的两条直线不是平行就是垂直吗？两条直线的位置关系就只有平行和垂直吗？”很显然，这些疑问融入了学生的生活经验，而这些经验给学生带来了困惑：“斜着画的两条直线，怎样判断是不是互相平行呢？”由此可知，学生对平行的认识往往伴有水平放置与竖直放置等生活经验，同时还存在分类标准不明确的困惑。为此，笔者带领学生根据这些问题展开探究，引导学生通过自主分析、分类比较等操作过程，逐步认识到相交分为两类，即互相垂直和一般相交，由此建立分类的概念，感悟分类的数学思想。
二、基于自主探究渗透集合思想
在图形与几何教学中，教师要引导学生深入探究图形的性质，基于问题找出不同图形之间的联系和区别，并用集合图的方式表示不同图形之间的关系，由此渗透集合思想。学生刚开始接触几何图形的知识时，其空间观念的形成是一个逐步发展的渐进过程，教师可以借助比较类推的方式指导学生自主探究。
如在教学“梯形”的相关内容时，学生已有了探究平行四边形特征的基本经验，即采用直尺和三角尺推的方式探究两组对边分别平行，再采用尺量的方式探究两组对边分别相等。因此，学生在借助探究平行四边形的特征的经验探究梯形的特征时，也采用直尺和三角尺测量，得出只有一组对边平行的结论。学生由此提出疑问：“梯形还有什么特点呢？”在这一问题的引导下，学生用量角器测量出角的大小，再用三角尺和直尺操作感知等腰梯形和直角梯形的特点。在操作过程中学生继续产生疑问：“等腰梯形和直角梯形有什么区别？梯形与平行四边形有什么相同和不同的地方？”通过这样的自主探究，学生进一步感知梯形和平行四边形之间的关系。
学生经历过描述分析图形之后，开始关注图形与图形性质之间的关系，探究图形的内在隶属和包含关系，学会运用思维导图的方式，将这些性质进行分类整理。通过自主分析、综合比较、抽象概括等形式表征图形之间的包含关系和并列关系，并用集合的方式对概念进行建构。如在教学《四边形的分类》时，学生根据已经学过的知识，从对边是否平行、是否相等，对角是否相等来描述四边形的特征。与此同时提出疑问：“正方形能否看成特殊的长方形？长方形和正方形能否看成特殊的平行四边形？四边形可以按对边是否平行进行分类吗？四边形可以按对边是否相等进行分类吗？四边形可以按对角是否相等进行分类吗？”通过问题引导学生展开自主探究、交流，逐一导出一系列特殊的四边形，并用思维导图的方式将其整理出来，揭示各种四边形概念之间的内涵关系。（如图1）
学生也可以从对边是否平行来比较四边形的特征，梳理各种四边形概念的外延之间的关系，如并列关系、包含关系等，并用集合图的形式进行呈现。（如图2）
三、基于自主探究渗透类比思想
在图形与几何的数学知识体系中，存在着包含并列等多种数学关系，这就需要教师引导学生自主探究，通过观察、操作、比较、联想等环节拓展图形知识，探究含有多种关系的数学问题。
如在学习“四边形的分类”相关知识后，学生根据集合图进行整理总结，生成了新的问题：“正方形是特殊的长方形，它们之间是一种包含的关系，还有哪些数学知识之间也是这种包含关系？等腰梯形和直角梯形是特殊的梯形，它们之间是并列的关系，还有哪些数学知识之间也有这种并列关系？”通过自主探究这些数学问题，逐步渗透关系类比的思想，为学生进一步探究数学知识提供了保障。
此外，要让学生理解图形的特征、发展空间观念，最有效的操作活动就是作图。教师可以引导学生通过亲身实践、合作操作等方式，探索作图的方法和步骤，让学生在操作、归纳、类比等实践活动中不断生成新的数学问题，开展自主探究，这样既是对教材知识的有效拓展，也是后续学习的有力保障。
如在学习“画垂线”这一知识内容时，学生先根据自己的知识和经验，尝试先用三角板和量角器自主尝试画垂线，再使用三角尺过直线上一点画垂线，通过这样的实践探究，学生逐步认识并概括出画垂线的一般方法和步骤。另外，学生借助点子图练习画两条互相垂直的直线和两条互相平行的直线，在这个过程中提出问题：“如果不借助点子图，怎么画两条互相平行的直线呢？怎么用画平行线的方法检验两条直线是否平行呢？怎么用直尺和三角尺过直线外一点画已知直线的平行线呢？”学生根据这些问题展开自主探究，由此认识到平行线的判定以及两条平行线间的距离处处相等的几何性质。通过自主探究数学问题，学生在实践中建立了类比关系，奠定了画长方形和正方形的基础，也由此积累了学习平行四边形和梯形的经验，进而渗透类比的数学思想。
总之，数学基本思想的渗透是课堂教学中一个不可忽视的环节，教师要引导学生善于提出问题，基于自主探究，在观察、操作、整理、交流等课堂实践中，经历感知图形、建构分类、比较类推、抽象概括、关系类比、实践类比的探究过程，在分类、集合、类比的基本数学思想的渗透中深刻感悟和理解数学思想。
【作者简介】韦仕宁（1972— ），壮族，广西贺州人，大学专科学历，一级教师，研究方向为小学数学教育教学。
（责编 黄健清）