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【摘要】数学复习中基于学习者视角的“图式建构”，是指在数学复习过程中引导学生进行高水平认知联结的图式学习。采用图式复习单作为复习课上学生学习的媒介，以“我梳理”“我提醒”“我总结”三个环节作为复习主线引导学生进行伙伴共研，能促进学生形成良好的认知建构策略，加深他们对复习内容的整体理解与综合应用，使他们真正从知识进阶走向思维进阶。
【关键词】“图式建构”；学习者视角；数学复习课
【中图分类号】G623.5【文献标志码】A【文章编号】1005-6009（2020）09-0042-05
【作者简介】陈馨，南京市鼓楼区第一中心小学（南京，210029）副校长，高级教师。
立足江苏省教育科学“十三五”规划课题“儿童图式学习中的价值体认与建构研究”，我校近年来一直开展“图式学习”方面的研究，尝试基本现代的图式基本理论，以促进认知联结与认知建构为目的，借助与运用图式的工具和方法，支持学生的自主学习、学会学习、创造性学习，力求建构学习方法、学习过程、学习效果优化的学习方式。简单地说，图式就是存在于记忆中的认知结构或知识结构。瑞士儿童心理学家皮亚杰的认知发展理论认为，学生的学习过程就是图式的不断增删、改组和完善过程。基于小學生的认知规律和数学的学科特性，我校数学教研组提出了“图式建构”的教学主张，即采用图像表征、可视化学习、“认知地图”等直观手段，帮助学生由形象直观的认识逐步上升到抽象的认识，不断建构和丰富认知图式。本文中的“图式”既指学生的认知结果，也指数学教学过程中学生采用的学习路径与方法，特别是可视化的学习路径与方法。基于学习者视角的数学学习不仅有助于学生完成从个体建构到社会建构的过渡，并在社会建构中发挥不同的作用，还有助于教师了解学生的认知和思维过程，找到相应的教学路径，从而有效地实施教学。
根据上述认识，笔者在数学复习课教学中开展了基于学习者视角的“图式建构”的实践探索，引导学生借助知识经验、数学思维和知识表征方式对复习内容进行高水平认知联结的图式学习，在自主复习过程中进行选择、应用与提升，在与学习伙伴的交流互动中进行评价、欣赏与反思，在整个复习过程中进行贯通性、批判性、创造性的思考，从而加深对复习内容的整体理解与综合应用，形成良好的认知建构策略。让学生经历学习的过程，让学习发生，让过程可见，让思维呈现，有助于培养学生的高阶思维，促进其学力生长。
数学复习课的知识整理是动态的、逐步递进的。基于学习者视角的复习应建立在学生自主梳理的基础上。在课堂上，教师要创设开放的学习场域，引导学生通过与学习伙伴的互动交流进行知识的补充与完善，实现意义建构。
（一）基于学习者视角的复习媒介
以复习单作为数学复习的有效媒介，给学生提供了自主建构、整理反馈、分享交流、内化提升的工具。近几年来，笔者每次教学数学复习课，都会给班级学生设计一张复习单，复习单由三部分内容构成———“我梳理”“我提醒”“我总结”，让学生利用思维导图、表格、文字、符号、图像等来整理与交流复习内容。
（二）数学复习中“图式建构”的主要操作方法
数学复习中的“图式建构”基于图式的生成、转换、创新，指向学生高质量联结的创造性思维品质发展。笔者让学生课前先自主复习，填写复习单，课堂上以复习单的三个环节为主线，引导全班进行深入研讨。
在“我梳理”环节，引导学生对复习内容的主要知识点进行汇总提炼，形成知识框架。课堂上学生先小组交流，提取共同点，讨论交流不同点，融会贯通。然后小组自主推荐一人在全班分享。小组汇报后，全班互动评价、补充生成，完善已有的知识建构。
在“我提醒”环节，学生先自己提出要注意的事项，选择易错题，并运用图式写出主要思路。课堂上先在组内交流，解决简单的问题，然后把不能解决的问题在全班提出，或者把小组公认的典型易错题在班级分享，全班共研。
在“我总结”环节，课前学生从自己的实际情况出发，有体会就填写，没有想法也可以不填。在课堂复习过程中就知识内容和思想方法进行归纳总结，同时将本节课复习内容的知识框架与思维框架整理、提炼出来。
（三）伙伴共研的组织架构
在数学复习课上，伙伴共研很重要，有助于学生不断补充、调整、优化自己原有的认知结构，启发他们新的思考，促进其深度学习。笔者将学习者的组织架构从“师/生”二级结构转变为“师/组/生”三级结构，随组而学。每四人或两人组成一个研究小组。先在组内开展图式复习，建构知识结构，通过伙伴评价引导学生进行内省与调整；然后由小组自主推荐，选择经典的思路在全班交流，有向开放，交互反馈，集聚生成，在全班的互动评价中整合意义相关内容，促进学生实现认知建构和思维进阶。
数学中的很多知识是相互联系、不断递进的。在复习课中，引导学生整理、理解知识之间的联系与区别，通过联结与创造进行动态调整，使之内化为学生自己的认知结构，不仅有助于学生更好地复习单元内容，还有利于学生完善自己的认知结构，便于他们提取和应用知识。下面以苏教版五上《多边形面积的复习》一课的教学为例，呈现数学复习中基于学习者视角开展的“图式建构”的实践操作。
（一）认知动态的生成构建
课始，笔者让学生回顾本单元学习了哪些知识点，根据学生的回答出示相应的板贴，再引导学生把这些知识点排一排、分分类，并用线连一连，构建单元知识框架图（如图1）。然后进行第一课时具体内容的复习，即多边形面积的整理与练习。在梳理、提醒、总结的过程中，学生多次运用相关数学思想方法，笔者及时进行相应的板书。课尾，对复习的内容进行提升，在原有知识框架的基础上进行二次补充，构建出思维框架（如图2）。通过复习课的知识内化与思维提升，引导学生进行认知动态的生成建构，让他们的数学思考更有深度。
（四）图式应用的内化迁移
1.数据分析呈现知识要点。
基于学习者视角的复习知识要点提醒具有典型性、真实性、普遍性等特征。每一次上图式复习课，笔者均在课前收集学生的复习单进行整体了解，对学生点击率高的知识点做进一步的数据统计与学情分析。如在“我提醒”环节，每个班级均有30%以上的学生都提醒大家：在计算三角形面积和梯形面积时不要忘了除以2。笔者教学时便在课堂上做了重点提醒与分析。
2.错题分析促进思维进阶。
复习课重视生成，力求通过真实的学习实现深度的拓展。这节复习课的课堂练习大多数都来自学生的易错题分享，不同班级的学生整理的练习资源也不同，但他们呈现的主要问题是相近的，需要提醒大家注意的地方也是共通的，所以教师要注意选择共性的、典型的、有价值的数学问题来引导全班共研。本节课，学生经过组内研讨，向全班同学分享自己整理的易错题。笔者从中选择典型的、有价值的作为全班练习题，并引导学生在练习应用中谈感受、谈分析、谈思路，在与学习伙伴交流的过程中不断内化，从而深入体会在多边形面积的变式练习中如何运用对应、数形结合、转化等数学思想。可见，应用图式学习有利于知识的融会贯通与拓展应用，可以更好地助力学生解决问题，使他们的思路更清晰、更简单。
（五）图式表达的数学本质
数学复习要关注学生思维的深度，引导他们透过现象分析本质。课堂上，有不少学生提醒大家要注意“推本子”和“拉木框”的问题。因在前期教学中发现学生对这块知识还有些混淆，于是笔者将学生呈现出的相关图像提醒进行了汇总（如图4），并引导学生思考现象背后的原因：“为什么把本子斜推以后，这个面的面积不变，周长变了？”“为什么把木框斜拉后，周长不变，面积变了？”当学生产生认知冲突或理解困难时，教师可以适时介入，从具体图像中抽象出图式，用图式表达数学本质，并辅以课件的动态演示（如下页图5），帮助学生理解周长与面积的“变与不变”。
（一）真实经历的学习过程
笔者认为，数学复习课要让学生真实地经历学习过程，要做到以下三点：一是课前让学生自主整理知识点，遇到不会的可以不填写复习单中的相应栏目；二是课上鼓励学生勇于表达自己的困惑和思路，让问题和想法呈现，这样的复习才更有针对性，才能更好地解决问题，从而促进学生深度思考；三是在总结归纳时要引导学生表达自己真实的感想与体会，这样既可以归纳知识内容，也可以提炼思想方法，还可以表达复习体会，但不能简单地重复别人的观点，要有自己个性化的思考。让学生真实地经历复习过程，可以更好地激发学生的内在动机，使他们深度参与学习、研究与评价，获得积极的复习体验，提升学力。
（二）深度卷入的伙伴共研
数学复习中的“图式建构”对教师和学生提出了更高的要求。作为学习伙伴，师生要一起“卷入”、共同研究。复习课上的学习场域是开放的，学生的知识梳理、错题整理、总结归纳都是在课堂上由学生个体或小组自主推荐的，学生在与伙伴的交流过程中又会不断产生新的启发与思考，因而复习的内容是动态生成的。无论是教师还是学生，一定要沉浸在课堂中，认真倾听他人的想法，积极思考，并对课堂生成及时做出合适的评价与建议。师生作为研究共同体，开展伙伴共研可以让数学复习更有深度与厚度。
（三）基于学情的教学实施
复习课上学习的资源主要来自学生，教师课前一定要认真研读每一位学生的复习单，了解每一位学生梳理的思路、整理的亮点、存在的困惑等，同时要做好数据统计与学情分析，根据学生关注的热点问题和重点知识做好相应的教学预设，并在课堂上根据学生的生成及时进行知识的补充、方法的指导、学习的评价、进度的把握与调整等。图式复习注重知识的分析、综合、评价与创造，教师要指导学生学会包容地倾听、有条理地表达、有深度地思考，更要引导学生学会合作与共事、尊重与悦纳。如此，才能更好地培养学生的高阶思维和高阶社会情感。
综上可知，数学复习中基于学习者视角的“图式建构”，只有经历有深度的思考和有价值的实践探索才能实现意义的建构，才能有效促进学生学力的生长，从而使学生真正从知识进阶走向思维进阶。
[1]张春莉，刘怡.基于学生学习路径分析的教学路径研究[J].中小学教师培训，2015（9）： 39-43.
[2]周军平.建构主义学习理论及其倡导的教学模式[J].兰州交通大学学报，2006，25（2）： 121-124.
[3]佐藤学.学校的挑战：创建学习共同体[M].钟启泉，译.上海：华东师范大学出版社，2010.
【关键词】“图式建构”；学习者视角；数学复习课
【中图分类号】G623.5【文献标志码】A【文章编号】1005-6009（2020）09-0042-05
【作者简介】陈馨，南京市鼓楼区第一中心小学（南京，210029）副校长，高级教师。
立足江苏省教育科学“十三五”规划课题“儿童图式学习中的价值体认与建构研究”，我校近年来一直开展“图式学习”方面的研究，尝试基本现代的图式基本理论，以促进认知联结与认知建构为目的，借助与运用图式的工具和方法，支持学生的自主学习、学会学习、创造性学习，力求建构学习方法、学习过程、学习效果优化的学习方式。简单地说，图式就是存在于记忆中的认知结构或知识结构。瑞士儿童心理学家皮亚杰的认知发展理论认为，学生的学习过程就是图式的不断增删、改组和完善过程。基于小學生的认知规律和数学的学科特性，我校数学教研组提出了“图式建构”的教学主张，即采用图像表征、可视化学习、“认知地图”等直观手段，帮助学生由形象直观的认识逐步上升到抽象的认识，不断建构和丰富认知图式。本文中的“图式”既指学生的认知结果，也指数学教学过程中学生采用的学习路径与方法，特别是可视化的学习路径与方法。基于学习者视角的数学学习不仅有助于学生完成从个体建构到社会建构的过渡，并在社会建构中发挥不同的作用，还有助于教师了解学生的认知和思维过程，找到相应的教学路径，从而有效地实施教学。
根据上述认识，笔者在数学复习课教学中开展了基于学习者视角的“图式建构”的实践探索，引导学生借助知识经验、数学思维和知识表征方式对复习内容进行高水平认知联结的图式学习，在自主复习过程中进行选择、应用与提升，在与学习伙伴的交流互动中进行评价、欣赏与反思，在整个复习过程中进行贯通性、批判性、创造性的思考，从而加深对复习内容的整体理解与综合应用，形成良好的认知建构策略。让学生经历学习的过程，让学习发生，让过程可见，让思维呈现，有助于培养学生的高阶思维，促进其学力生长。
一、数学复习中基于学习者视角的“图式建构”的运行机制
数学复习课的知识整理是动态的、逐步递进的。基于学习者视角的复习应建立在学生自主梳理的基础上。在课堂上，教师要创设开放的学习场域，引导学生通过与学习伙伴的互动交流进行知识的补充与完善，实现意义建构。
（一）基于学习者视角的复习媒介
以复习单作为数学复习的有效媒介，给学生提供了自主建构、整理反馈、分享交流、内化提升的工具。近几年来，笔者每次教学数学复习课，都会给班级学生设计一张复习单，复习单由三部分内容构成———“我梳理”“我提醒”“我总结”，让学生利用思维导图、表格、文字、符号、图像等来整理与交流复习内容。
（二）数学复习中“图式建构”的主要操作方法
数学复习中的“图式建构”基于图式的生成、转换、创新，指向学生高质量联结的创造性思维品质发展。笔者让学生课前先自主复习，填写复习单，课堂上以复习单的三个环节为主线，引导全班进行深入研讨。
在“我梳理”环节，引导学生对复习内容的主要知识点进行汇总提炼，形成知识框架。课堂上学生先小组交流，提取共同点，讨论交流不同点，融会贯通。然后小组自主推荐一人在全班分享。小组汇报后，全班互动评价、补充生成，完善已有的知识建构。
在“我提醒”环节，学生先自己提出要注意的事项，选择易错题，并运用图式写出主要思路。课堂上先在组内交流，解决简单的问题，然后把不能解决的问题在全班提出，或者把小组公认的典型易错题在班级分享，全班共研。
在“我总结”环节，课前学生从自己的实际情况出发，有体会就填写，没有想法也可以不填。在课堂复习过程中就知识内容和思想方法进行归纳总结，同时将本节课复习内容的知识框架与思维框架整理、提炼出来。
（三）伙伴共研的组织架构
在数学复习课上，伙伴共研很重要，有助于学生不断补充、调整、优化自己原有的认知结构，启发他们新的思考，促进其深度学习。笔者将学习者的组织架构从“师/生”二级结构转变为“师/组/生”三级结构，随组而学。每四人或两人组成一个研究小组。先在组内开展图式复习，建构知识结构，通过伙伴评价引导学生进行内省与调整；然后由小组自主推荐，选择经典的思路在全班交流，有向开放，交互反馈，集聚生成，在全班的互动评价中整合意义相关内容，促进学生实现认知建构和思维进阶。
二、数学复习中基于学习者视角的“图式建构”的实践操作
数学中的很多知识是相互联系、不断递进的。在复习课中，引导学生整理、理解知识之间的联系与区别，通过联结与创造进行动态调整，使之内化为学生自己的认知结构，不仅有助于学生更好地复习单元内容，还有利于学生完善自己的认知结构，便于他们提取和应用知识。下面以苏教版五上《多边形面积的复习》一课的教学为例，呈现数学复习中基于学习者视角开展的“图式建构”的实践操作。
（一）认知动态的生成构建
课始，笔者让学生回顾本单元学习了哪些知识点，根据学生的回答出示相应的板贴，再引导学生把这些知识点排一排、分分类，并用线连一连，构建单元知识框架图（如图1）。然后进行第一课时具体内容的复习，即多边形面积的整理与练习。在梳理、提醒、总结的过程中，学生多次运用相关数学思想方法，笔者及时进行相应的板书。课尾，对复习的内容进行提升，在原有知识框架的基础上进行二次补充，构建出思维框架（如图2）。通过复习课的知识内化与思维提升，引导学生进行认知动态的生成建构，让他们的数学思考更有深度。
（四）图式应用的内化迁移
1.数据分析呈现知识要点。
基于学习者视角的复习知识要点提醒具有典型性、真实性、普遍性等特征。每一次上图式复习课，笔者均在课前收集学生的复习单进行整体了解，对学生点击率高的知识点做进一步的数据统计与学情分析。如在“我提醒”环节，每个班级均有30%以上的学生都提醒大家：在计算三角形面积和梯形面积时不要忘了除以2。笔者教学时便在课堂上做了重点提醒与分析。
2.错题分析促进思维进阶。
复习课重视生成，力求通过真实的学习实现深度的拓展。这节复习课的课堂练习大多数都来自学生的易错题分享，不同班级的学生整理的练习资源也不同，但他们呈现的主要问题是相近的，需要提醒大家注意的地方也是共通的，所以教师要注意选择共性的、典型的、有价值的数学问题来引导全班共研。本节课，学生经过组内研讨，向全班同学分享自己整理的易错题。笔者从中选择典型的、有价值的作为全班练习题，并引导学生在练习应用中谈感受、谈分析、谈思路，在与学习伙伴交流的过程中不断内化，从而深入体会在多边形面积的变式练习中如何运用对应、数形结合、转化等数学思想。可见，应用图式学习有利于知识的融会贯通与拓展应用，可以更好地助力学生解决问题，使他们的思路更清晰、更简单。
（五）图式表达的数学本质
数学复习要关注学生思维的深度，引导他们透过现象分析本质。课堂上，有不少学生提醒大家要注意“推本子”和“拉木框”的问题。因在前期教学中发现学生对这块知识还有些混淆，于是笔者将学生呈现出的相关图像提醒进行了汇总（如图4），并引导学生思考现象背后的原因：“为什么把本子斜推以后，这个面的面积不变，周长变了？”“为什么把木框斜拉后，周长不变，面积变了？”当学生产生认知冲突或理解困难时，教师可以适时介入，从具体图像中抽象出图式，用图式表达数学本质，并辅以课件的动态演示（如下页图5），帮助学生理解周长与面积的“变与不变”。
三、数学复习中基于学习者视角的“图式建构”的几点思考
（一）真实经历的学习过程
笔者认为，数学复习课要让学生真实地经历学习过程，要做到以下三点：一是课前让学生自主整理知识点，遇到不会的可以不填写复习单中的相应栏目；二是课上鼓励学生勇于表达自己的困惑和思路，让问题和想法呈现，这样的复习才更有针对性，才能更好地解决问题，从而促进学生深度思考；三是在总结归纳时要引导学生表达自己真实的感想与体会，这样既可以归纳知识内容，也可以提炼思想方法，还可以表达复习体会，但不能简单地重复别人的观点，要有自己个性化的思考。让学生真实地经历复习过程，可以更好地激发学生的内在动机，使他们深度参与学习、研究与评价，获得积极的复习体验，提升学力。
（二）深度卷入的伙伴共研
数学复习中的“图式建构”对教师和学生提出了更高的要求。作为学习伙伴，师生要一起“卷入”、共同研究。复习课上的学习场域是开放的，学生的知识梳理、错题整理、总结归纳都是在课堂上由学生个体或小组自主推荐的，学生在与伙伴的交流过程中又会不断产生新的启发与思考，因而复习的内容是动态生成的。无论是教师还是学生，一定要沉浸在课堂中，认真倾听他人的想法，积极思考，并对课堂生成及时做出合适的评价与建议。师生作为研究共同体，开展伙伴共研可以让数学复习更有深度与厚度。
（三）基于学情的教学实施
复习课上学习的资源主要来自学生，教师课前一定要认真研读每一位学生的复习单，了解每一位学生梳理的思路、整理的亮点、存在的困惑等，同时要做好数据统计与学情分析，根据学生关注的热点问题和重点知识做好相应的教学预设，并在课堂上根据学生的生成及时进行知识的补充、方法的指导、学习的评价、进度的把握与调整等。图式复习注重知识的分析、综合、评价与创造，教师要指导学生学会包容地倾听、有条理地表达、有深度地思考，更要引导学生学会合作与共事、尊重与悦纳。如此，才能更好地培养学生的高阶思维和高阶社会情感。
综上可知，数学复习中基于学习者视角的“图式建构”，只有经历有深度的思考和有价值的实践探索才能实现意义的建构，才能有效促进学生学力的生长，从而使学生真正从知识进阶走向思维进阶。
【参考文献】
[1]张春莉，刘怡.基于学生学习路径分析的教学路径研究[J].中小学教师培训，2015（9）： 39-43.
[2]周军平.建构主义学习理论及其倡导的教学模式[J].兰州交通大学学报，2006，25（2）： 121-124.
[3]佐藤学.学校的挑战：创建学习共同体[M].钟启泉，译.上海：华东师范大学出版社，2010.