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【摘 要】《义务教育数学课程标准（2011年版）》强调指出：让学生经历从不同角度寻求分析问题和解决问题的方法的过程，体验解决问题方法的多样性，掌握分析问题和解决问题的一些基本方法.因此，加强变式教学尤为重要.本文从一道初中数学课本习题出发，讨论其各种解法，并将此题及其解法进行变式和拓展.
【主题词】数学、习题、解法、变式、拓展
【中图分类号】G634.6 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2015）21-
近年来，全国各地的数学中考题中有许多题目源于课本，它们由课本的例题、習题进行变式、迁移、整合、拓展而成，因此，我们教师应该认真研究课本中的典型例题、习题，挖掘问题内涵，提炼其解题规律及思想方法.新人教版七年级（下）第七章《平面直角坐标系》习题7.2第9题：△AOB中，A、B两点的坐标分别为（2，4），（6，2），求△AOB的面积（如图1所示）.
教材给予解法提示：△AOB的面积可以看作一个长方形的面积减去一些三角形的面积.而笔者认为，这种“友情”提示显得多余，因为它会限制学生的思维.下面对这类题型进行研究.
一、题型概括
在平面直角坐标系中，已知三点，求这三个点围成的三角形的面积.
二、解法探究
（一）补形法
一些不规则几何图形的面积计算问题，直接从原图分析会很困难，然而合理添加辅助线，将它转化成一些规则的便于计算的图形，就能达到化难为易的目的.
1.“框”矩形法
正如课本提供的解法，分别过△AOB的上下两边的边界点A，O和左右两边的边界点O，B作垂直于y轴及x轴的垂线，得到△AOB的外接矩形ODEF，这样就将所求的三角形“框”在其中，只需用这个矩形的面积减去△AOB旁边的三个三角形的面积即可（如图1）.除此之处，也可以用四边形OBEF或四边形ODEA的面积减去其余两个三角形的面积.
2.向坐标轴引垂线法
由点的坐标的意义可知，一个点到x轴、y轴的距离分别等于这个点的纵坐标和横坐标的绝对值.因此，过已知点向坐标轴引垂线段，也可对图形进行修补.
如图2，分别过点A、B作x轴的垂线，垂足分别为D、E，用△AOD的面积加上四边形ADEB的面积再减去△OBE的面积就得到△AOB的面积.同理，分别过点A、B向y轴引垂线段也可以求出△AOB的面积.
（二）分割法
选择一条恰当的直线，将三角形转化成两个便于计算面积的三角形.
如图3，过点B向y轴引垂线，交OA于点E，将△AOB分割为上下两个三角形.在△ABE和△OBE中，BE是它们的公共边，BE边上的高都是2，由一次函数知识可知，将E点的纵坐标2代入直线OA的解析式y=2x即可求出点D的横坐标是1，从而求出分割线BE=6-1=5，再用面积公式即可求出△ABE和△OBE的面积.类似地，过点A向x轴引垂线，可将△AOB分割成左右两个三角形，也能轻松求出三角形的面积.
（三）公式法
1.三角形的面积公式
由于三角形的面积是底与高乘积的一半，故首先利用两点之间的距离公式求出两点之间的线段长（底边），再用点到直线的距离公式算出另一点到底边的距离（高），最后代入公式求出面积.在本题中，由点O（0，0），A（2，4）可得 ，直线OA的方程为2x-y=0，则点B（6，2）到直线OA的距离为 ，故
2.三角形的正、余弦公式
3.海伦公式
在人教版八（下）第16章《二次根式》中的“阅读与思考”介绍了海伦公式： （其中， 为三角形的三边的长，p为半周长，即 ）.海伦公式形式漂亮，便于记忆，是一个计算三角形的万能公式，但涉及到二次根式的计算，比较繁琐.
（四）行列式法
三、变式研究
已知三个点可以求出三角形的面积，已知四个顶点，能否求出它们围成的四边形的面积呢？例如：在平面直角坐标系中，已知A（3，-4），B（4，-3），C（5，0），求四边形ABCO的面积.这是一个不规则的凸四边形，如何将它转化成能够计算的规则图形呢？
法1：先框出矩形OCDE，再用矩形面积减去三个三角形的面积（如图4）；
法2：分别过A、B两点向x轴或y轴引垂线（如图5），将四边形分割成两个三角形和一个梯形；
法3：过点B作x轴的平行线交OA于点D（如图6），将四边形分割成一个梯形和一个三角形，只要用函数方法求出点D的坐标就迎刃而解了.
法4：连接OB（如图7），将四边形分割成两个三角形，而用前面介绍的几个公式或行列式法都能求出△OBC和△OAB的面积.
四、拓展探索
我们知道，一个多边形通过连接对角线就能转化成三角形.因此，只要学会了三角形面积的计算方法即可.对初学者而言，用书本提示的“补形法”更为简单易学，即用一个矩形的面积减去几个三角形的面积.
由此可见，我们在教学中千万不要拘泥于教材而照本宣科，而应该从课本例题和习题出发，深刻挖掘其潜在功能，及时把相关的数学思想和数学方法进行渗透.只有这样，才能帮助学生突破思维障碍，培养学生的发散思维能力.
参考文献：
[1]义务教育数学课程标准2011年版.北京师范大学出版社，2012.01
[2]义务教育课程标准实验教科书《数学》七年级下册.人民教育出版社，2012.11
[3]义务教育课程标准实验教科书《数学》八年级下册.人民教育出版社，2013.12
【主题词】数学、习题、解法、变式、拓展
【中图分类号】G634.6 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2015）21-
近年来，全国各地的数学中考题中有许多题目源于课本，它们由课本的例题、習题进行变式、迁移、整合、拓展而成，因此，我们教师应该认真研究课本中的典型例题、习题，挖掘问题内涵，提炼其解题规律及思想方法.新人教版七年级（下）第七章《平面直角坐标系》习题7.2第9题：△AOB中，A、B两点的坐标分别为（2，4），（6，2），求△AOB的面积（如图1所示）.
教材给予解法提示：△AOB的面积可以看作一个长方形的面积减去一些三角形的面积.而笔者认为，这种“友情”提示显得多余，因为它会限制学生的思维.下面对这类题型进行研究.
一、题型概括
在平面直角坐标系中，已知三点，求这三个点围成的三角形的面积.
二、解法探究
（一）补形法
一些不规则几何图形的面积计算问题，直接从原图分析会很困难，然而合理添加辅助线，将它转化成一些规则的便于计算的图形，就能达到化难为易的目的.
1.“框”矩形法
正如课本提供的解法，分别过△AOB的上下两边的边界点A，O和左右两边的边界点O，B作垂直于y轴及x轴的垂线，得到△AOB的外接矩形ODEF，这样就将所求的三角形“框”在其中，只需用这个矩形的面积减去△AOB旁边的三个三角形的面积即可（如图1）.除此之处，也可以用四边形OBEF或四边形ODEA的面积减去其余两个三角形的面积.
2.向坐标轴引垂线法
由点的坐标的意义可知，一个点到x轴、y轴的距离分别等于这个点的纵坐标和横坐标的绝对值.因此，过已知点向坐标轴引垂线段，也可对图形进行修补.
如图2，分别过点A、B作x轴的垂线，垂足分别为D、E，用△AOD的面积加上四边形ADEB的面积再减去△OBE的面积就得到△AOB的面积.同理，分别过点A、B向y轴引垂线段也可以求出△AOB的面积.
（二）分割法
选择一条恰当的直线，将三角形转化成两个便于计算面积的三角形.
如图3，过点B向y轴引垂线，交OA于点E，将△AOB分割为上下两个三角形.在△ABE和△OBE中，BE是它们的公共边，BE边上的高都是2，由一次函数知识可知，将E点的纵坐标2代入直线OA的解析式y=2x即可求出点D的横坐标是1，从而求出分割线BE=6-1=5，再用面积公式即可求出△ABE和△OBE的面积.类似地，过点A向x轴引垂线，可将△AOB分割成左右两个三角形，也能轻松求出三角形的面积.
（三）公式法
1.三角形的面积公式
由于三角形的面积是底与高乘积的一半，故首先利用两点之间的距离公式求出两点之间的线段长（底边），再用点到直线的距离公式算出另一点到底边的距离（高），最后代入公式求出面积.在本题中，由点O（0，0），A（2，4）可得 ，直线OA的方程为2x-y=0，则点B（6，2）到直线OA的距离为 ，故
2.三角形的正、余弦公式
3.海伦公式
在人教版八（下）第16章《二次根式》中的“阅读与思考”介绍了海伦公式： （其中， 为三角形的三边的长，p为半周长，即 ）.海伦公式形式漂亮，便于记忆，是一个计算三角形的万能公式，但涉及到二次根式的计算，比较繁琐.
（四）行列式法
三、变式研究
已知三个点可以求出三角形的面积，已知四个顶点，能否求出它们围成的四边形的面积呢？例如：在平面直角坐标系中，已知A（3，-4），B（4，-3），C（5，0），求四边形ABCO的面积.这是一个不规则的凸四边形，如何将它转化成能够计算的规则图形呢？
法1：先框出矩形OCDE，再用矩形面积减去三个三角形的面积（如图4）；
法2：分别过A、B两点向x轴或y轴引垂线（如图5），将四边形分割成两个三角形和一个梯形；
法3：过点B作x轴的平行线交OA于点D（如图6），将四边形分割成一个梯形和一个三角形，只要用函数方法求出点D的坐标就迎刃而解了.
法4：连接OB（如图7），将四边形分割成两个三角形，而用前面介绍的几个公式或行列式法都能求出△OBC和△OAB的面积.
四、拓展探索
我们知道，一个多边形通过连接对角线就能转化成三角形.因此，只要学会了三角形面积的计算方法即可.对初学者而言，用书本提示的“补形法”更为简单易学，即用一个矩形的面积减去几个三角形的面积.
由此可见，我们在教学中千万不要拘泥于教材而照本宣科，而应该从课本例题和习题出发，深刻挖掘其潜在功能，及时把相关的数学思想和数学方法进行渗透.只有这样，才能帮助学生突破思维障碍，培养学生的发散思维能力.
参考文献：
[1]义务教育数学课程标准2011年版.北京师范大学出版社，2012.01
[2]义务教育课程标准实验教科书《数学》七年级下册.人民教育出版社，2012.11
[3]义务教育课程标准实验教科书《数学》八年级下册.人民教育出版社，2013.12