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众所周知，数学活动不仅是“数学认知活动”，还是在情感参与下进行的活动。数学活动有别于其他实践活动的特点决定了一种特殊的人类情感，必定伴随数学活动而出现，这就是“数学情感”。具体地说，数学情感是指在人类数学活动中主体对客体是否符合自己的需要所产生的心理体验，它是与“数学认知”相对称的一个专门概念。现代认知心理学认为，数学教学过程乃是数学认知和数学情感互相交织、互相促进的过程。在数学教学中，以情促知与以知促情，两者缺一不可。
一、以情促知的设计
美国教育心理学家布卢姆强调：“从情感这一角度来看，我们清楚地认识到动机、内驱力和情绪是引起掌握认知行为的因素。”由此可知，学生带着情感能更好地吸收知识，这就需要教师设计以情促知的教学方法。
一是创设数学文化氛围。让学生在一定的数学文化氛围中领会数学的真正意义和价值。数学不仅为自然科学的发展提供了语言基础和推理基础，也为社会科学提供了理性思维与崇高理性的精神。如从“几何命题的证明”教学开始，讲述“对顶角相等”时，教师为了让学生理解并掌握它的证明方法，简短地向学生们介绍了一段史料。公元前3世纪，古希腊数学家欧几里得提出了“对顶相等”的命题，并且在《几何原本》中做出了证明，而最早证明这个命题的是公元前7世纪古希腊数学家泰勒斯。教师向学生指出，这里的重要价值不是命题本身，而是他们为人类提供了不凭直观，而是借助实验的逻辑证明的方法，从而使学生懂得数学不仅要回答“什么是数学真理”，而且还必须回答“为什么它是数学真理”；学习数学不仅要记住定义和定理的内容，更重要的是能学会理性思维，学会逻辑证明。
二是科学设计教学过程。教师要更新数学教学观念，通过科学合理的设计，使教学过程切合学生的情感特点和认知特点，并利用教师的有效情感激发和促进学生积极思维。如为了让学生自己发现余弦定理，教师分别就直角、锐角、钝角三角形的三种不同情况，让学生观察，并在积极探索的过程中，对三角形三边的平方关系，作出判断或猜想：在三角形ABC中，当∠A＝90°时，学生由勾股定理知道，a2＝b2＋c2；当∠A＜90°时，a2＜b2＋c2，或记为a2＝b2＋c2－□；当∠A＞90°时，a2＞b2＋c2，或记为a2＝b2＋c2＋□。通过以上的观察和猜想，学生们又作出进一步的猜想：当∠A≠90°，a2＝b2＋c22与∠A有关的量，其中∠A为锐角时取减号，∠A为钝角时取加号。然后，教师指出：究竟应该减多少或加多少，取决于∠A是多少。因此，问题归结为“已知三角形的两边及其夹角，如何求第三边”。接着，教师写下板书“余弦定理及其证明”，展开并完成教学过程。
三是设计课堂教学高潮。教师要遵循学生思维活动规律，客观地面对学生大脑兴奋中心可能出现的“思维波谷区”，在科学合理地设计教学内容的基础上，运用教学语言艺术以及有效的教学手段，设计课堂教学，激发学生思维亢进，让学生跃过“思维波谷区”，从而促进学生的认知活动。如教师在讲解例题：“已知方程：x2－2x＋lg(2a2－a)＝0有一正根和负根，求实数a的范围”时，学生常因考虑不周会产生一系列错误。教师采用预设陷阱、故作惊讶、欲擒故纵等教学技巧，用以情促知、师生互动的方法，不断激发学生的认知活动，使学生在学情亢奋、高潮迭起中，探索正确的解答，从而完美地完成教学过程。
二、以知促情的设计
情感可以刺激认知，而认知又可以促发情感，因此，教师可以知促情，让学生带着情感进入数学知识的殿堂。
一是设置认知冲突。教师利用认知矛盾，引导学生巧妙地解除疑点，妥善地处理难点，让学生得到精神上和情感上的满足。如教师在“一元二次不等式的应用”这节课上，向学生布置一道课堂练习题：“m是什么实数的时候，方程X2－(m＋2)x＋4＝0有实数根。”教师在巡视中发现不少学生是这样解题的：因为方程有实数根，所以判别式△≥0，解此不等式，得m≤－6或m≥2。当教师请其中一位学生在黑板上写出上述解题过程后，学生众说纷纭，各抒己见，思维高度集中。每个学生都在思考，并积极参与讨论。面对学生的争议，教师先指出上述解法的错误所在：原题要求m是什么实数时，方程X2－(m＋2)x＋4＝O才有实数根。而这种解法却从“因为方程有实数根”出发，去求m，因而犯了因果倒置的逻辑错误。接着，教师再让学生思考怎样给出正确的解题过程。稍后，一位学生在黑板上写出正确的解法。可是，解题的讨论尚未结束，教师接着向学生提出三个问题进行再讨论：(1)从表面上看，前后两种解法得出的结果是相同的，为什么我们还要把前面的解法判为错误的呢?(2)从前面的错误解法中，我们应该汲取怎样的经验教训呢?(3)如果采用了前面的解法，那么我们的题目应该改为什么?学生对这些问题，进行了积极讨论，这一方面激发了学生的学习热情，营造了生动活泼的课堂氛围，另一方面也加深了学生对这个知识点的印象，达到了更好的学习效果。
二是提倡反思性学习。因为数学对象的抽象性、数学活动的探索性、数学推理的严谨性以及数学精神、数学思想方法的内隐性，使得处于思维发展阶段的中学生还必须坚持反思性学习。各种反思性学习手段不仅是通向深刻认知的桥梁，还能让学生收获丰富的情感体验。如在一元一次不等式组的练习课上，教师给出这样一道题：一堆书分给几个孩子，如果每人分到4本，则剩余9本；如果每人分到6本，则最后一个孩子分到的书少于3本。问共有几个孩子?分了多少本书?有的学生的解答是：设共有x个孩子，则这堆书共有(4x＋9)本。故由题意知，最后一个孩子分到的书本数为[4x＋9－6(X－1)]，从而4x＋9－6(x－1)＜3，得x＞6。答：孩子数大于6。这时教师就引导学生反思答案，询问学生是否存在问题。经过引导，学生们感到答案“孩子数只要大于6都可以”不合常理。经过反复思考，学生们发现：上述解答忽略了题目的一个隐含条件——最后一个孩子分到的书本数应当大于或等于零。从而，由4x＋9－6(x－1)≥0求得x≤7.5，又因x是孩子数，为整数，最后得到唯一正确的结果x＝7。经过这样的反思过程，同学们深深地体会到，要正确地解题，不能忽略题目中的“隐含条件”，问题的答案不能违背常理。
三是发挥教学机智。教师要善于猜测和判断学生的思维动向，把握和捕捉启发的时机。课堂上一旦突发意外情况，必须机智、敏捷、及时地进行调节，化平淡为新奇，化消极为积极，营造师生双方的认知和谐与情感和谐。如有一次教师在复习提问“直线的斜率”这一概念的定义时，一位学生回答：“直线倾斜角的余切叫做直线的斜率。”这个令人十分意外的回答，顿时招来满堂哄笑。这时，教师却沉着应对，认真并亲切地问大家：“我们能把倾斜角的余切规定为直线的斜率吗?”课堂气氛立即活跃起来，学生们积极寻找答案，教师转而先问两个问题：(1)能把倾斜角的正弦(或余割)规定为直线的斜率吗?(2)能把倾斜角的余弦(或正割)规定为直线的斜率吗?经过一番深入而具体的分析讨论，师生之间展开了一系列的认知互激和情感互动，学生们对斜率定义的理解，深刻完整、入木三分。并且，教师的教学机智给全班学生留下了不可磨灭的印象。
当代美国著名学者罗杰斯指出：“在情感的参与下，认知和情感的协调活动，能使认知活动达到一个单凭认知能力本身所不能达到的水平。换言之，当情感与认知结合起来，学生作为一个‘完整的人’来活动时，就能产生一种整体效应。”把数学情感和数学认知结合起来，以情促知，以知促情，情知交融，其整体效应必将使数学教学的质量和效率得到提高，必将使学生真正爱上数学课堂。
作者单位 江苏省吴江市青云实验中学
(责任编辑 黄蜀红)
一、以情促知的设计
美国教育心理学家布卢姆强调：“从情感这一角度来看，我们清楚地认识到动机、内驱力和情绪是引起掌握认知行为的因素。”由此可知，学生带着情感能更好地吸收知识，这就需要教师设计以情促知的教学方法。
一是创设数学文化氛围。让学生在一定的数学文化氛围中领会数学的真正意义和价值。数学不仅为自然科学的发展提供了语言基础和推理基础，也为社会科学提供了理性思维与崇高理性的精神。如从“几何命题的证明”教学开始，讲述“对顶角相等”时，教师为了让学生理解并掌握它的证明方法，简短地向学生们介绍了一段史料。公元前3世纪，古希腊数学家欧几里得提出了“对顶相等”的命题，并且在《几何原本》中做出了证明，而最早证明这个命题的是公元前7世纪古希腊数学家泰勒斯。教师向学生指出，这里的重要价值不是命题本身，而是他们为人类提供了不凭直观，而是借助实验的逻辑证明的方法，从而使学生懂得数学不仅要回答“什么是数学真理”，而且还必须回答“为什么它是数学真理”；学习数学不仅要记住定义和定理的内容，更重要的是能学会理性思维，学会逻辑证明。
二是科学设计教学过程。教师要更新数学教学观念，通过科学合理的设计，使教学过程切合学生的情感特点和认知特点，并利用教师的有效情感激发和促进学生积极思维。如为了让学生自己发现余弦定理，教师分别就直角、锐角、钝角三角形的三种不同情况，让学生观察，并在积极探索的过程中，对三角形三边的平方关系，作出判断或猜想：在三角形ABC中，当∠A＝90°时，学生由勾股定理知道，a2＝b2＋c2；当∠A＜90°时，a2＜b2＋c2，或记为a2＝b2＋c2－□；当∠A＞90°时，a2＞b2＋c2，或记为a2＝b2＋c2＋□。通过以上的观察和猜想，学生们又作出进一步的猜想：当∠A≠90°，a2＝b2＋c22与∠A有关的量，其中∠A为锐角时取减号，∠A为钝角时取加号。然后，教师指出：究竟应该减多少或加多少，取决于∠A是多少。因此，问题归结为“已知三角形的两边及其夹角，如何求第三边”。接着，教师写下板书“余弦定理及其证明”，展开并完成教学过程。
三是设计课堂教学高潮。教师要遵循学生思维活动规律，客观地面对学生大脑兴奋中心可能出现的“思维波谷区”，在科学合理地设计教学内容的基础上，运用教学语言艺术以及有效的教学手段，设计课堂教学，激发学生思维亢进，让学生跃过“思维波谷区”，从而促进学生的认知活动。如教师在讲解例题：“已知方程：x2－2x＋lg(2a2－a)＝0有一正根和负根，求实数a的范围”时，学生常因考虑不周会产生一系列错误。教师采用预设陷阱、故作惊讶、欲擒故纵等教学技巧，用以情促知、师生互动的方法，不断激发学生的认知活动，使学生在学情亢奋、高潮迭起中，探索正确的解答，从而完美地完成教学过程。
二、以知促情的设计
情感可以刺激认知，而认知又可以促发情感，因此，教师可以知促情，让学生带着情感进入数学知识的殿堂。
一是设置认知冲突。教师利用认知矛盾，引导学生巧妙地解除疑点，妥善地处理难点，让学生得到精神上和情感上的满足。如教师在“一元二次不等式的应用”这节课上，向学生布置一道课堂练习题：“m是什么实数的时候，方程X2－(m＋2)x＋4＝0有实数根。”教师在巡视中发现不少学生是这样解题的：因为方程有实数根，所以判别式△≥0，解此不等式，得m≤－6或m≥2。当教师请其中一位学生在黑板上写出上述解题过程后，学生众说纷纭，各抒己见，思维高度集中。每个学生都在思考，并积极参与讨论。面对学生的争议，教师先指出上述解法的错误所在：原题要求m是什么实数时，方程X2－(m＋2)x＋4＝O才有实数根。而这种解法却从“因为方程有实数根”出发，去求m，因而犯了因果倒置的逻辑错误。接着，教师再让学生思考怎样给出正确的解题过程。稍后，一位学生在黑板上写出正确的解法。可是，解题的讨论尚未结束，教师接着向学生提出三个问题进行再讨论：(1)从表面上看，前后两种解法得出的结果是相同的，为什么我们还要把前面的解法判为错误的呢?(2)从前面的错误解法中，我们应该汲取怎样的经验教训呢?(3)如果采用了前面的解法，那么我们的题目应该改为什么?学生对这些问题，进行了积极讨论，这一方面激发了学生的学习热情，营造了生动活泼的课堂氛围，另一方面也加深了学生对这个知识点的印象，达到了更好的学习效果。
二是提倡反思性学习。因为数学对象的抽象性、数学活动的探索性、数学推理的严谨性以及数学精神、数学思想方法的内隐性，使得处于思维发展阶段的中学生还必须坚持反思性学习。各种反思性学习手段不仅是通向深刻认知的桥梁，还能让学生收获丰富的情感体验。如在一元一次不等式组的练习课上，教师给出这样一道题：一堆书分给几个孩子，如果每人分到4本，则剩余9本；如果每人分到6本，则最后一个孩子分到的书少于3本。问共有几个孩子?分了多少本书?有的学生的解答是：设共有x个孩子，则这堆书共有(4x＋9)本。故由题意知，最后一个孩子分到的书本数为[4x＋9－6(X－1)]，从而4x＋9－6(x－1)＜3，得x＞6。答：孩子数大于6。这时教师就引导学生反思答案，询问学生是否存在问题。经过引导，学生们感到答案“孩子数只要大于6都可以”不合常理。经过反复思考，学生们发现：上述解答忽略了题目的一个隐含条件——最后一个孩子分到的书本数应当大于或等于零。从而，由4x＋9－6(x－1)≥0求得x≤7.5，又因x是孩子数，为整数，最后得到唯一正确的结果x＝7。经过这样的反思过程，同学们深深地体会到，要正确地解题，不能忽略题目中的“隐含条件”，问题的答案不能违背常理。
三是发挥教学机智。教师要善于猜测和判断学生的思维动向，把握和捕捉启发的时机。课堂上一旦突发意外情况，必须机智、敏捷、及时地进行调节，化平淡为新奇，化消极为积极，营造师生双方的认知和谐与情感和谐。如有一次教师在复习提问“直线的斜率”这一概念的定义时，一位学生回答：“直线倾斜角的余切叫做直线的斜率。”这个令人十分意外的回答，顿时招来满堂哄笑。这时，教师却沉着应对，认真并亲切地问大家：“我们能把倾斜角的余切规定为直线的斜率吗?”课堂气氛立即活跃起来，学生们积极寻找答案，教师转而先问两个问题：(1)能把倾斜角的正弦(或余割)规定为直线的斜率吗?(2)能把倾斜角的余弦(或正割)规定为直线的斜率吗?经过一番深入而具体的分析讨论，师生之间展开了一系列的认知互激和情感互动，学生们对斜率定义的理解，深刻完整、入木三分。并且，教师的教学机智给全班学生留下了不可磨灭的印象。
当代美国著名学者罗杰斯指出：“在情感的参与下，认知和情感的协调活动，能使认知活动达到一个单凭认知能力本身所不能达到的水平。换言之，当情感与认知结合起来，学生作为一个‘完整的人’来活动时，就能产生一种整体效应。”把数学情感和数学认知结合起来，以情促知，以知促情，情知交融，其整体效应必将使数学教学的质量和效率得到提高，必将使学生真正爱上数学课堂。
作者单位 江苏省吴江市青云实验中学
(责任编辑 黄蜀红)