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管尤跃 云南省教育学会副秘书长，云南省教育科学研究院小学数学教研员，贵州省教育厅特聘研究员，云南师范大学兼职教授。中国教育学会小学数学教学专业委员会学术委员，云南省教育学会小学数学教学专业委员会秘书长。
精彩的课堂来自于课堂精彩之处，源于学生的心底之音。日常的、平常的、正常的，即所谓家常的、常态的小学数学课堂教学就应如水，来自山间，来自江河，更应来自心灵，来自学生的感受和感悟，顺其自然，顺势而导，顺逆从容，顺应而生！
【摘要】结合美国数学家杜宾斯基等人提出的一种数学教学理论——APOS理论。先分析对APOS理论四阶段（活动阶段、过程阶段、对象阶段和图式阶段）的认识，然后通过“三角形的认识”的教学实践尝试了APOS理论在小学数学概念教学中的应用，主要分析三角形的定义、特征以及底和高等多个概念之间的内在联系。
【关键词】APOS理论 小学数学概念 教学模式 三角形的认识
一、引言
我们都知道，数学概念就是数学知识的“细胞”，数学学习过程就是一个不断运用数学概念的思维过程。高斯曾经指出，在数学中重要的不是符号，而是概念。数学概念是人们对客观事物在感性认识的基础上经过比较、分析、综合、概括、判断、抽象等一系列思维活动，逐步认识到它的本质属性以后才形成的。
由于数学具有高度抽象性，在教学中应该注重体现概念的来龙去脉，经历数学概念从具体到抽象的过程，在运用中逐步理解概念的本质。但在一线教学实践中，很多教师认为概念就是一种规定，就是一种定义，就是一种约定俗成，没什么好讲的，只要能记住就行；或者认为小学阶段的数学概念大多“显而易见”，无须多讲；或者浅尝辄此，草草收场，节省时间用来“刷题”。此现象在常态课中屡见不鲜，如何才能将小学数学概念教学执行“到位”？下面就结合APOS理论，以《三角形的认识》为例，简要谈一谈小学数学概念教学模式。
二、引论
APOS理论是20世纪80年代由美国数学教育家杜宾斯基提出来的一种关于数学概念学习的理论，这种理论具有很强的数学学科特色，被誉为近年来数学教育界最大的理论成果之一。该理论认为学生学习数学概念需要经历四个阶段的心理建构，即活动阶段（Action）、过程阶段（Process）、对象阶段（Object）和图式阶段（Scheme），简称APOS。指出：学生学习是一个建构的过程，建构是有层次的，反映的是学生学习数学概念过程的真实的思维活动。
尽管国内外众多学者对教学模式的解说不一，无法达成一致认识，我更愿意接受这样的观点，教学模式指的是在一定教学思想指导下所建立的比较典型的、稳定的教学程序或阶段，又称为“教学结构”。教学模式源于教学实践又反过来指导教学实践，是人们在长期的教学实践中不断总结、改良之后逐步形成的。小学数学概念教学的重要地位和价值无须赘言，是否应该有相对适用、合理而有效的模式可供参考和借鉴？大家所熟知的概念形成模式、同化模式、“七阶段”模式等，在小学数学教学中都得到了广泛的认同和使用。
《义务教育数学课程标准（2011年版）》中指出：“数学课程应该返璞归真，努力揭示数学概念、法则、结论的发展过程和本质。”“数学概念具有过程和对象的双重性，它既是逻辑分析的对象，又是具有现实背景和丰富寓意的数学过程。”
小学数学概念的本质如何让学生在学习过程得到揭示和经历其发展过程成为制约小学数学教学发展的重要因素，APOS理论在小学数学教学中的合理运用，可以充分体现小学数学概念的形成过程，充分反映学生个体认知数学概念的思维过程，充分揭示小学数学概念学习的本质。更为重要的是，这与当前我国新一轮课程改革所倡导的理念是一脉相承的。
基于此，我想以一节涉及很多数学概念的课为例，来分析如何使用APOS理论作为指导，突出各概念间的联系，更为重要的是剖析概念之间以及概念域和特征之间的内在联系。
四、引議
在教学《三角形的认识》中，结合APOS理论可看出：
对三角形的认识中相关概念属性的具体操作、观察，呈现数学概念的具体实例阶段就相当于活动阶段；
从多个具体操作、具体活动和具体实例中抽象概括出三角形相关概念属性的阶段则是过程阶段；
将每个概念或概念组作为一个个抽象的概念出现在头脑中，是能将概念作为一个独立的对象并施加各种心理运算的阶段就是对象阶段；
图式阶段指对三角形有关概念的具体实例、本质属性及其应用的认识进一步充实丰富之后，这些概念会以一种完整的心理图式贮存于大脑中，包括具体的“活动”——实例、抽象的“过程”、完整的“对象”——定义，以及与其他概念之间的区分与联系，等等。
本节课的教学，最能体现APOS理论在小学数学概念教学中的运用价值，因为，“数学概念教学应该返璞归真，揭示数学概念的形成过程，让学生从概念的现实原型，概念的抽象过程、形式表述和符号化的运用等多方位、多角度地理解一个数学概念，使之符合学生概念建构的教育原理。”基于此，笔者认为基于APOS理论指导下的小学数学概念教学可以从以下几个方面着手：
第一，APOS理论的“四阶段”在同一个（或单一）概念教学中的使用是按顺序依次进行的，但是对单位时间内要完成多个有紧密联系的“概念组”来说就可能需要多次重复、交叉进行这四个阶段的任务。
第二，小学数学概念的建立需要经过长时间的多次反复过程。一个概念的建立从“活动”“过程”到“对象”的不断抽象、具体、压缩、形成，直到学生理解是一个较为漫长的过程，特别是达到“图式”阶段需要的是学生用简洁的语言、文字、符号表征并在头脑中建立这组概念的直观结构形象。
第三，让“教”“学”合一。教学重心是使教和学和谐共生，相互促进，精心设计“活动”（包括外在的和内隐的），主动参与“过程”，自觉形成“对象”。感受到数学知识内部结构之间的联系，领会数学的思想和方法，培养和积累数学应用意识。
第四，认识APOS理论的价值和作用。APOS理论不仅是概念教学的理论，也是一种工具，可以根据它来设计教学全过程（包括教学目标、教学活动、教学组织等）。同时，我们也可以用其作为一种检测评价手段或工具，对学习现象、学习过程、思维过程和思维结果等进行观察、分析和评价，了解学生的学习水平处于何种层面，反过来思考和调整教学的行为、策略和方法。
精彩的课堂来自于课堂精彩之处，源于学生的心底之音。日常的、平常的、正常的，即所谓家常的、常态的小学数学课堂教学就应如水，来自山间，来自江河，更应来自心灵，来自学生的感受和感悟，顺其自然，顺势而导，顺逆从容，顺应而生！
【摘要】结合美国数学家杜宾斯基等人提出的一种数学教学理论——APOS理论。先分析对APOS理论四阶段（活动阶段、过程阶段、对象阶段和图式阶段）的认识，然后通过“三角形的认识”的教学实践尝试了APOS理论在小学数学概念教学中的应用，主要分析三角形的定义、特征以及底和高等多个概念之间的内在联系。
【关键词】APOS理论 小学数学概念 教学模式 三角形的认识
一、引言
我们都知道，数学概念就是数学知识的“细胞”，数学学习过程就是一个不断运用数学概念的思维过程。高斯曾经指出，在数学中重要的不是符号，而是概念。数学概念是人们对客观事物在感性认识的基础上经过比较、分析、综合、概括、判断、抽象等一系列思维活动，逐步认识到它的本质属性以后才形成的。
由于数学具有高度抽象性，在教学中应该注重体现概念的来龙去脉，经历数学概念从具体到抽象的过程，在运用中逐步理解概念的本质。但在一线教学实践中，很多教师认为概念就是一种规定，就是一种定义，就是一种约定俗成，没什么好讲的，只要能记住就行；或者认为小学阶段的数学概念大多“显而易见”，无须多讲；或者浅尝辄此，草草收场，节省时间用来“刷题”。此现象在常态课中屡见不鲜，如何才能将小学数学概念教学执行“到位”？下面就结合APOS理论，以《三角形的认识》为例，简要谈一谈小学数学概念教学模式。
二、引论
APOS理论是20世纪80年代由美国数学教育家杜宾斯基提出来的一种关于数学概念学习的理论，这种理论具有很强的数学学科特色，被誉为近年来数学教育界最大的理论成果之一。该理论认为学生学习数学概念需要经历四个阶段的心理建构，即活动阶段（Action）、过程阶段（Process）、对象阶段（Object）和图式阶段（Scheme），简称APOS。指出：学生学习是一个建构的过程，建构是有层次的，反映的是学生学习数学概念过程的真实的思维活动。
尽管国内外众多学者对教学模式的解说不一，无法达成一致认识，我更愿意接受这样的观点，教学模式指的是在一定教学思想指导下所建立的比较典型的、稳定的教学程序或阶段，又称为“教学结构”。教学模式源于教学实践又反过来指导教学实践，是人们在长期的教学实践中不断总结、改良之后逐步形成的。小学数学概念教学的重要地位和价值无须赘言，是否应该有相对适用、合理而有效的模式可供参考和借鉴？大家所熟知的概念形成模式、同化模式、“七阶段”模式等，在小学数学教学中都得到了广泛的认同和使用。
《义务教育数学课程标准（2011年版）》中指出：“数学课程应该返璞归真，努力揭示数学概念、法则、结论的发展过程和本质。”“数学概念具有过程和对象的双重性，它既是逻辑分析的对象，又是具有现实背景和丰富寓意的数学过程。”
小学数学概念的本质如何让学生在学习过程得到揭示和经历其发展过程成为制约小学数学教学发展的重要因素，APOS理论在小学数学教学中的合理运用，可以充分体现小学数学概念的形成过程，充分反映学生个体认知数学概念的思维过程，充分揭示小学数学概念学习的本质。更为重要的是，这与当前我国新一轮课程改革所倡导的理念是一脉相承的。
基于此，我想以一节涉及很多数学概念的课为例，来分析如何使用APOS理论作为指导，突出各概念间的联系，更为重要的是剖析概念之间以及概念域和特征之间的内在联系。
四、引議
在教学《三角形的认识》中，结合APOS理论可看出：
对三角形的认识中相关概念属性的具体操作、观察，呈现数学概念的具体实例阶段就相当于活动阶段；
从多个具体操作、具体活动和具体实例中抽象概括出三角形相关概念属性的阶段则是过程阶段；
将每个概念或概念组作为一个个抽象的概念出现在头脑中，是能将概念作为一个独立的对象并施加各种心理运算的阶段就是对象阶段；
图式阶段指对三角形有关概念的具体实例、本质属性及其应用的认识进一步充实丰富之后，这些概念会以一种完整的心理图式贮存于大脑中，包括具体的“活动”——实例、抽象的“过程”、完整的“对象”——定义，以及与其他概念之间的区分与联系，等等。
本节课的教学，最能体现APOS理论在小学数学概念教学中的运用价值，因为，“数学概念教学应该返璞归真，揭示数学概念的形成过程，让学生从概念的现实原型，概念的抽象过程、形式表述和符号化的运用等多方位、多角度地理解一个数学概念，使之符合学生概念建构的教育原理。”基于此，笔者认为基于APOS理论指导下的小学数学概念教学可以从以下几个方面着手：
第一，APOS理论的“四阶段”在同一个（或单一）概念教学中的使用是按顺序依次进行的，但是对单位时间内要完成多个有紧密联系的“概念组”来说就可能需要多次重复、交叉进行这四个阶段的任务。
第二，小学数学概念的建立需要经过长时间的多次反复过程。一个概念的建立从“活动”“过程”到“对象”的不断抽象、具体、压缩、形成，直到学生理解是一个较为漫长的过程，特别是达到“图式”阶段需要的是学生用简洁的语言、文字、符号表征并在头脑中建立这组概念的直观结构形象。
第三，让“教”“学”合一。教学重心是使教和学和谐共生，相互促进，精心设计“活动”（包括外在的和内隐的），主动参与“过程”，自觉形成“对象”。感受到数学知识内部结构之间的联系，领会数学的思想和方法，培养和积累数学应用意识。
第四，认识APOS理论的价值和作用。APOS理论不仅是概念教学的理论，也是一种工具，可以根据它来设计教学全过程（包括教学目标、教学活动、教学组织等）。同时，我们也可以用其作为一种检测评价手段或工具，对学习现象、学习过程、思维过程和思维结果等进行观察、分析和评价，了解学生的学习水平处于何种层面，反过来思考和调整教学的行为、策略和方法。