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【摘要】数学中演绎推理的可靠性依赖于推理前提、假设的确定性.本文以施瓦茨问题、无穷大和欧几里得平行公设为例,回顾数学家对于推理前提无可置疑性的探求过程,从中展现追求完美的求真精神.
【关键词】数学;精神;求真
中图分类号:G623.5 文献标识码:A 文章编号:1009-8283(2010)05-0165-01
1推理假设的确定性
数学推理往往从一些不证自明的定理出发推出其他定理的正确性.所谓“不证自明”,意味著演绎推理的前提条件是无可置疑的.这种“无可置疑”的特点使得推导的结论具有确定性,保证推理能够正确地进行.著名的数学家施瓦茨曾经提出了这样一个问题:设有一个锐角三角形,即其三内角均小于90,求它的一个内接三角形,使其周长可能最小?根据赫伦原理,其解必须是一个光线三角形,但还需证明解的存在性【1】.然而,一些大数学家(包括黎曼在内)没有对施瓦茨问题中解的存在性给予足够的重视,确认有解这个推断前提是否一定成立.直到1869年,卡尔.外尔斯特拉斯才使大家意识到必须对解的存在性问题加以论证.所以,当初看似完全正确的证明过程只是空中楼阁而已.
2无穷概念与平行公理
数学上一些关于推理前提的无可置疑性的探讨经历了十分漫长、曲折的过程.在此期间,产生过许多错误的结论和悖论.这使得数学在人们的眼中更加带有迷人而神秘的色彩.“无穷大”这个深刻影响人类精神,却比任何东西都更需要澄清的概念,留下了许多值得思索的空间.假若不存在无穷大,可以得出一条让人瞠目结舌的结论:1是正整数中最大的数.证明如下:假定有一个最大的整数.要“证明”1也是最大的整数.为此,取除1以外的一个任意整数 n,则n小于n×n,n×n也是一个整数,所以n不可能是最大的整数.那么唯有1还可能是所有1、2、3……中最大的一个.
结论是滑稽可笑.因为正整数不可能存在一个最大的数.然而,当时承认无穷大却引起了轩然大波,数学家对此也颇有争议.托比亚斯.丹齐克在他的经典著作《数——科学的语言》一书中说:“无穷大是禁忌,必须不惜一切代价回避它.否则,如果做不到的话,必须借助达到荒谬程度的理由等等把它隐藏起来.”【2】 这种对无穷大的否定在一个悖论中值得注意:设有一个函数y=[SX(]1[]x[SX)],如下图a所示(图中只给出了x取正值的分支).
围绕x轴旋转该图形可得到一个称为旋转双曲面的立体,如图b所示.运用微积分可证明该立体的曲面面积(随x的增大而趋于无限);另一方面,当x趋于无穷大时,这个立体的体积将逼近一个确定的极限.如果在该立体的外部曲面上均匀地涂上一层薄油漆,所需的油漆量是无穷的.如果使用油漆把双曲面的内部空间填满,一定量的油漆便足够.这个悖论没有“初等”的解释.它再次说明:一旦涉及到无穷,常识很可能让人失望.经历了漫长的时间,数学家们凭借执着的探索,终于使问题迎刃而解,使“无穷大”为人类所接受.
数学家所具有的一丝不苟的推理精神在关于平行公理的讨论中又一次得到了体现.在现代的几何学知识中,有许多定理都来自于Euclid几何公理.从公元前300年直到1800年,人们都始终相信Euclid几何是物理空间的正确理想化.其中一条大家熟悉的平行公理被现在看作不证自明的真理.但数学家却认为Euclid的陈述方式过于复杂,而且缺乏其他公理那样的说服力.他的表述如下【3】:如果一条直线与两条直线相交,使得一侧内角不都是直角,则如果将这两条直线延长,它们在内角不都是直角的直线一侧相交.Euclid用另一种方式来叙述:若∠1+∠2=180,则直线a与直线b永不相交.
这样的表述是为了避免假设有一条永不相交的无限直线.假如直线都是有限的,则在任何情况下它们不可能按需要任意延长.由于经验并没有提供无限直线的性质,许多数学家试图从其他无可置疑的前提出发来证明平行公理.大致有两种研究途径:一种是用更为自明的命题来代替平行公理;另一种是从Euclid的其他九个公理推导出平行公理.之后的2000多年中,许多著名的数学家曾从事于这方面的研究,终于使平行公理建立在了一个稳固、正确的基础之上.也正是基于他们在这方面的努力,非Euclid几何得以产生,和Euclid成为了几何中交相辉映的两颗群星.
3数学精神对数学教育的启示
从数学家对平行公理的研究中不难发现,如果演绎推理的前提出现丝毫的不确定,数学家们将力致修正,使真理的基石完美无暇,哪怕这需要上千年的时间.正如笛卡儿在《方法论》中这样称赞数学的证明:迄今为止,在所有探求真理的人中,只有数学家成功地进行一种证明,即进行明白无误、确定无疑的推理【4】.数学中有过类似的探讨还有很多,但这恰恰体现了数学家对于完美的追求.这一点对于学习数学的中学生而言是相当值得借鉴. 我们可以借此教育学生从小的方面做起,养成良好的数学习惯,培养他们对重要细节的洞察力,作到有条理的推断等等.这些对学生未来的继续学习都有着莫大的好处.张奠宙在《数学教育学导论》中这样写到:追求完美的数学境界是数学思维的一个特点.我们要运用数学的美学教育功能,使人的思想得到升华,思维品质得到提高,创新精神得到发扬【5】.
参考文献:
[1] 斯特凡.希尔德布兰特.悭悭宇宙——自然界里的形态和造型[M].上海教育出版社,2004
[2] 伊莱.马奥尔.无穷之旅—关于无穷大的文化史[M].上海教育出版社,2000
[3] M.克莱因.数学:确定性的丧失[M].湖南科学技术出版社,2004
[4] 莫里斯.克莱因.古今数学思想[M].上海科学技术出版社,2002.
[5] 张奠宙,李士[XC錡.tif,JZ],李俊.数学教育学导论[M].高等教育出版社,2003
【关键词】数学;精神;求真
中图分类号:G623.5 文献标识码:A 文章编号:1009-8283(2010)05-0165-01
1推理假设的确定性
数学推理往往从一些不证自明的定理出发推出其他定理的正确性.所谓“不证自明”,意味著演绎推理的前提条件是无可置疑的.这种“无可置疑”的特点使得推导的结论具有确定性,保证推理能够正确地进行.著名的数学家施瓦茨曾经提出了这样一个问题:设有一个锐角三角形,即其三内角均小于90,求它的一个内接三角形,使其周长可能最小?根据赫伦原理,其解必须是一个光线三角形,但还需证明解的存在性【1】.然而,一些大数学家(包括黎曼在内)没有对施瓦茨问题中解的存在性给予足够的重视,确认有解这个推断前提是否一定成立.直到1869年,卡尔.外尔斯特拉斯才使大家意识到必须对解的存在性问题加以论证.所以,当初看似完全正确的证明过程只是空中楼阁而已.
2无穷概念与平行公理
数学上一些关于推理前提的无可置疑性的探讨经历了十分漫长、曲折的过程.在此期间,产生过许多错误的结论和悖论.这使得数学在人们的眼中更加带有迷人而神秘的色彩.“无穷大”这个深刻影响人类精神,却比任何东西都更需要澄清的概念,留下了许多值得思索的空间.假若不存在无穷大,可以得出一条让人瞠目结舌的结论:1是正整数中最大的数.证明如下:假定有一个最大的整数.要“证明”1也是最大的整数.为此,取除1以外的一个任意整数 n,则n小于n×n,n×n也是一个整数,所以n不可能是最大的整数.那么唯有1还可能是所有1、2、3……中最大的一个.
结论是滑稽可笑.因为正整数不可能存在一个最大的数.然而,当时承认无穷大却引起了轩然大波,数学家对此也颇有争议.托比亚斯.丹齐克在他的经典著作《数——科学的语言》一书中说:“无穷大是禁忌,必须不惜一切代价回避它.否则,如果做不到的话,必须借助达到荒谬程度的理由等等把它隐藏起来.”【2】 这种对无穷大的否定在一个悖论中值得注意:设有一个函数y=[SX(]1[]x[SX)],如下图a所示(图中只给出了x取正值的分支).
围绕x轴旋转该图形可得到一个称为旋转双曲面的立体,如图b所示.运用微积分可证明该立体的曲面面积(随x的增大而趋于无限);另一方面,当x趋于无穷大时,这个立体的体积将逼近一个确定的极限.如果在该立体的外部曲面上均匀地涂上一层薄油漆,所需的油漆量是无穷的.如果使用油漆把双曲面的内部空间填满,一定量的油漆便足够.这个悖论没有“初等”的解释.它再次说明:一旦涉及到无穷,常识很可能让人失望.经历了漫长的时间,数学家们凭借执着的探索,终于使问题迎刃而解,使“无穷大”为人类所接受.
数学家所具有的一丝不苟的推理精神在关于平行公理的讨论中又一次得到了体现.在现代的几何学知识中,有许多定理都来自于Euclid几何公理.从公元前300年直到1800年,人们都始终相信Euclid几何是物理空间的正确理想化.其中一条大家熟悉的平行公理被现在看作不证自明的真理.但数学家却认为Euclid的陈述方式过于复杂,而且缺乏其他公理那样的说服力.他的表述如下【3】:如果一条直线与两条直线相交,使得一侧内角不都是直角,则如果将这两条直线延长,它们在内角不都是直角的直线一侧相交.Euclid用另一种方式来叙述:若∠1+∠2=180,则直线a与直线b永不相交.
这样的表述是为了避免假设有一条永不相交的无限直线.假如直线都是有限的,则在任何情况下它们不可能按需要任意延长.由于经验并没有提供无限直线的性质,许多数学家试图从其他无可置疑的前提出发来证明平行公理.大致有两种研究途径:一种是用更为自明的命题来代替平行公理;另一种是从Euclid的其他九个公理推导出平行公理.之后的2000多年中,许多著名的数学家曾从事于这方面的研究,终于使平行公理建立在了一个稳固、正确的基础之上.也正是基于他们在这方面的努力,非Euclid几何得以产生,和Euclid成为了几何中交相辉映的两颗群星.
3数学精神对数学教育的启示
从数学家对平行公理的研究中不难发现,如果演绎推理的前提出现丝毫的不确定,数学家们将力致修正,使真理的基石完美无暇,哪怕这需要上千年的时间.正如笛卡儿在《方法论》中这样称赞数学的证明:迄今为止,在所有探求真理的人中,只有数学家成功地进行一种证明,即进行明白无误、确定无疑的推理【4】.数学中有过类似的探讨还有很多,但这恰恰体现了数学家对于完美的追求.这一点对于学习数学的中学生而言是相当值得借鉴. 我们可以借此教育学生从小的方面做起,养成良好的数学习惯,培养他们对重要细节的洞察力,作到有条理的推断等等.这些对学生未来的继续学习都有着莫大的好处.张奠宙在《数学教育学导论》中这样写到:追求完美的数学境界是数学思维的一个特点.我们要运用数学的美学教育功能,使人的思想得到升华,思维品质得到提高,创新精神得到发扬【5】.
参考文献:
[1] 斯特凡.希尔德布兰特.悭悭宇宙——自然界里的形态和造型[M].上海教育出版社,2004
[2] 伊莱.马奥尔.无穷之旅—关于无穷大的文化史[M].上海教育出版社,2000
[3] M.克莱因.数学:确定性的丧失[M].湖南科学技术出版社,2004
[4] 莫里斯.克莱因.古今数学思想[M].上海科学技术出版社,2002.
[5] 张奠宙,李士[XC錡.tif,JZ],李俊.数学教育学导论[M].高等教育出版社,2003