【摘 要】
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定理：二次函数的值域是的充要条件是且。 证明：由于=，所以二次函数的值域是的最小值是0且无最大值且. 下面举例说明该结论的应用. 例1:已知函数的值域是，求实数的值。 解：因为的定义域为R。 由，得且。 所以函数的值域是与的值域都是。 又因为，所以。 例2:是否存在实数，使函数的图象经过点且满足：对任意实数，总有？并说明理由. 解：假设存在实数满足题设。 因为的图象经过点，所以
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定理：二次函数的值域是的充要条件是且。
证明：由于=，所以二次函数的值域是的最小值是0且无最大值且.
下面举例说明该结论的应用.
例1:已知函数的值域是，求实数的值。
解：因为的定义域为R。
由，得且。
所以函数的值域是与的值域都是。
又因为，所以。
例2:是否存在实数，使函数的图象经过点且满足：对任意实数，总有？并说明理由.
解：假设存在实数满足题设。
因为的图象经过点，所以。
所以。
又因为对任意实数，总有。
所以取得，。
由，得且。
所以和的值域是。
即且且，解得。
故存在实数满足题设，且。
评注：这是两道常见题，在解答过程中，极易将题设条件转化为恒成立问题处理。如将例1转化为不等式和对一切实数恒成立，从而得不等式组，
但是不能解出的值。例2虽然能由不等式组解出，但这纯属巧合.其实一元二次不等式对一切实数恒成立是二次函数的值域为的必要不充分条件.
（作者单位：409100重庆市石柱中学）
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