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摘要：
文章基于Robinson关于定义的理论，结合教学论的方法，通过两个实验来了解学生对数学定义的理解和应用方式。实验揭示了已有理论的不足。作者提出一个新的理论框架，并对已有理论进行了补充。
关键词：词典定义；约定定义；概念；概念的定义；概念的形象；直觉反应
前言
笔者在一次交流中曾谈论过本科生学习高等数学时对其中的定义的理解和运用。作者在担任《高等数学》授课期间，发现很多学生在对定义，比如“极限”和“连续性”的运用和理解上颇有问题。作者直觉上认为正是这些术语被赋予的非数学含义与它们在初等微积分中欠严格的用法导致了这些问题。笔者猜测，学生对抽象代数学中的定义的理解可能不会有这些困难，或者至少会是不同的困难。比如对“群”与“陪集”等没有那么多非数学含义的术语。
于是笔者对正在学习抽象代数入门的数学系本科生进行了研究。令人惊讶的是，学生在对抽象代数学中的术语定义的理解和应用时仍然出现了高等数学的情况下同样的问题。特别地，我们发现学生的困难更在于对数学定义的本质的理解上，而不仅在于对定义内容的理解上。
此后，借用哲学与数学教学论中的思想，我们给出了一个简单的二分理论框架。尽管不会展开叙
述对学生的研究的细节，但概括介绍方法论对弄清观察结果及其背景将是必要的。然后我们列出了两条学生对定义的理解各运用上体现出的令人惊讶的问题，给出了翔实的例子，并依据一开始提出的理论框架给与了可能的解释。
理论框架
我们经常注意到一些工科专业的学生在最初接触高等数学，抽象代数与数论的证命题时不知从何下手。一些研究人员曾对学生数学对问题的证明和理解的一些方面进行过探讨。特别地，Moore注意到当试图去作出证明时，学生没有必要去真正理解问题中相关概念的定义和怎样运用这些定义。作者课上的调查表明，即使是那些从成绩上来看应该是对课程掌握很成功的学生，仍然很难弄清定义在数学中究竟起了什么样的作用。两个最主要的困难来自于对数学定义的哲学范畴的理解，还有如何把定义运用到数学问题的解答中，比如证明题。
定义在数学中起到了关键的作用，但是它们的提出和使用不同于“日常用语”的定义。首先，我们从哲学中去寻找对定义的范畴的界定，然后，我们在数学教学论的语境中深入理解数学定义的使用。
Richard Robinson对“词典定义”与“约定定义”进行了界定。他认为“词典定义是人们用来解释事实上的个人对事实上的事物的事实上的使用方式”。Sidney I. Landau论及同样的范畴，认为“词典定义是从一堆事实中抽取出来的，以实际应用的事例为基础的”。
与此形成对比的是，Robinson的“约定定义”意思是“词语和对象之间显见的和自我意识建构的意义联系，把对象赋予词语（或词语赋予对象）的过程”。它的进步在于“概念上的进步，新概念的建立”，而这“正是一门成功科学的敲门砖”。Landau论及同样的范畴，认为这种定义“是在专家的建议下强加的”，目的是“用这门科学语言进行交流时确保精确性，减少摩擦”。
从而，词典定义展示了运用方法，而约定定义创造了运用方法，最终建立了“概念”。一旦用约定定义建立了一个术语，当理解这个术语时就应当脱离或独立于术语其他的含义。数学中的定义是约定定义，而生活中其他的定义通常是词典定义。
下面我们到数学教学论的语境中来描述学生怎样运用定义。Vinner认为每个数学概念都伴随着一个概念的定义（Concept Definition）和一个概念的形象（Concept Image）。概念的定义可以是赋予一个给定概念的约定定义，而概念的形象则是个人对概念理解的非语言表示。它包括“视觉表现，大脑中的图景，印象，以及与概念的名字相联系的经验”。我们同意Vinner的看法，他认为数学教师普遍认为学生概念的形象是从一个给定的概念定义中得到的，如图所示。
当面对一个含有概念的问题时，严格的数学会要求概念的应用服从Vinne在图1至图4中给出的范式之一。从图中可以看到的关键的一点是，无论概念形象是以什么方式进入整个信息处理过程，最终的输出只基于概念的定义。
综上，我们介绍了两个范畴：词典定义和约定定义，其中数学定义属于后者。然后给出了基于概念定义和概念形象的认知模型，定义正是通过这个模型中的过程完成数学任务。
方法论
两个研究的目的是透过学生对数学定义内容的理解来探求他们对数学中的形式定义所起的作用的理解。这个过程可能会多少有些棘手，因为数学定义有可能出于两种原因而误用。一方面，错误可能源自于对所定义的概念的不完全的或错误的理解；另一方面，错误也可能源自于没能对从整体把握住“定义”这种对象在数学中所起的作用。进一步影响研究设计困难在于，如果问题提得太直接，即使学生对定义的理解有误，他也能表现出对定义的足够理解。毕竟准确重复一个自己听说过但并不真的理解的东西并不难。
两个研究使用了相似的研究方法。研究对象是作者任教的班级的学生，使用教材为张禾瑞著《近世代数基础》，盛祥耀著《高等数学》，。得到的数据为全班34位同学上交的两份书面作业和对10位自愿参与的同学的面对面提问。我们在众多定义和题目中选取了能够在概念的定义和概念的形象之间产生冲突的几个，也选择了一些根据经验对学生来讲不容易理解的一些。我们最主要的兴趣在于观察学生能否利用定义去解决问题，如果能，怎么样去利用。每个访谈对象分别进行提问，分别记录。经过分析我们得出了一个对定义的新的编码范式。正是在把得到的结果与传统的认识之间的对比之后，得到了以下的重新认识。
重新认识
1. 很多学生并不像数学家那样把数学定义分类
数学家懂得，数学定义都是约定的。但数学教师也许没有意识到学生并没有把数学定义归类到约定定义中。据此笔者一开始猜测，学生在理解一些抽象代数概念时，由于不会受到太多非数学意义的干扰，不得不以约定定义的范式来理解数学定义。为了佐证学生事实上并非像猜测的那样，而是没有以约定定义的范式来理解数学定义，我们列举两个抽象代数实验中的例子。 当被问到“什么是数学”这个问题时，A同学 提到了“定理”和“定义”。他说：“其实数学就是定理和定义的罗列……一旦一个定理被证明了，它就成为了一个定义……比如，我们证明了2加2是等于4的，然后我们就定义2加2等于4了……”A同学的观点令人感到非常奇怪，但从定义的分类上来看就不难理解了。对于A同学来说，数学定义不过是在描述事实，每一个数学对象的特征都体现在了定义上。他的定义即使不是从日常应用中提取出来的，但是也是从他对数学概念的理解中提取出来的，明显不属于约定定义。
B同学是另一个不按约定定义的方式去理解定义的例子。他对问题的回答并没有过于偏离约定定义，从而给出了两种对数学定义的理解方式并不是明显分离的证据，亦即，学生们并没有清晰地划分为两个使用不同理解方式的群体。我们把B同学视作处于Burger和Shaughnessy]所说的过渡态。他们认为，学生可能对不同的题目有不同的理解程度，有些甚至可能在同一个问题上理解程度也会发生摇摆。
在我们看来，B同学对数学定义在数学中所处的地位的理解是模糊的。因为在对他的第一个提问中，他有时好像能很正确地意识到定义的作用，有时却不能。比如他会说：“定义必须从这个东西事实上是什么中抽取出来”。
对他的第二个提问是有关陪集乘法的问题。提问前，陪集的概念已经在课上讲授。B同学在课上做过一些陪集的计算，并在讨论中观察到了一些陪集的性质。但是计算我们给出的问题时，他却不知道怎样去计算了。尽管他花了二十多分钟去计算，但仍然无果而终。我们问：“定义就摆在你面前你为什么不去参考呢？”他的回答是：“我明明知道怎么算……我算过的……”直到被提示以后，他才意识到要去根据定义来计算。从他的回答中可以看出，他对概念的理解是基于“算过”一类的过程，是从事实中去提取的，而不是将数学定义归类于约定定义。
上面的两位同学的学习成绩都是很优秀的，每次考试都能得到高分，但他们不能正确地将数学定义归类。事实上上述他们遇到的困难根源基本在于没有将数学定义归类于约定定义。
读者现在不妨联想一下在教学过程中遇到的类似困难，并尝试从错误的归类中寻找原因。
2. 很多学生尽管能够正确地陈述并解释定义，但不能用数学家所用的方式去运用
误用定义的情况并不少见，最极端的一种情况是根本不使用定义。每一个讲授过高等数学习题课的助教都会发现很多学生按照图5所展现的方式去做题，Vinner称之为直觉反应（Intuitive Response）。很多人认为正是没有弄清定义的内容造成了直觉反应，这意味着，一旦学生能够准确地叙述并解释定义，直觉反应便不复存在。研究告诉我们，事实并非如此。
作者在高等数学习题课上曾讨论过无限小数的概念。C同学能够准确解释无限小数的定义和内含，并能使用定义去解释为什么0.333……=1/3，然而他却认为0.999……不等于1。事实上他使用了基于除法运算的概念的形象。通过计算1除以3能够得到0.333……，但0.999……无法通过类似的手段（1除以1）得到。他全然忽略了概念的定义。与他对数学定义的分类相一致，他发现很难从0.999……的情况中提取无限循环小数的概念。
类似地，D同学能够正确给出“连续性”的定义，但当问及“绝对值函数F（x）=|x|”是否连续时他的第一反应是“在0点不连续”。尽管他后来只根据定义确认了该函数是连续的，但我们可以看出高中数学中强调的“绝对值函数不同于其他函数”这个印象左右了他的判断。
图5. 直觉反应[8]
结论
我们使用了文献中对定义的分类方式，亦即词典定义与约定定义。我们的研究发现本科数学专业的一些同学不能明确区分两种不同的定义范式，从而导致他们对数学定义的理解经常出现问题。数学分析课上的一些学生倾向于依靠概念的形象而非概念的定义去解答问题，部分原因在于学生在先导课程中已经对这些概念有了一定的熟悉。抽象代数中的概念没有这种干扰，然而一些学生们仍然倾向于依靠概念的形象而非概念的定义。
因而我们建议数学定义的这种特殊的本质特征应当在教学过程中向学生阐明。尤其是在以证明为主的学科的入门课程中。学生应当集中一些精力锻炼对定义的理解，还有对提出定义的过程的理解。
参考文献
[1] G. Harel and L. Sowder， Students' proof schemes： Results from exploratory studies， in Issues in Math- ematics Education Vol. 7： Research in Collegiate Mathematics Education. III， A. H. Schoenfeld et al.， eds.， American Mathematical Society， Providence， 1998， pp. 234-383.
[2] A. Selden and J. Selden， Validations of proofs considered as texts： Can undergraduates tell whether an argument proves a theorem？ J. Research in Math. Education 34 （2003） 4-36.
[3] R. C. Moore， Making the transition to formal proof， Educational Studies in Math. 27 （1994） 249-266.
[4] 陈志，《实变函数》中概念教学的探讨，《宁夏大学学报（自然科学版）》11卷第4期，69-73页，1990年12月
[5] 汪晓勤，M.克莱因的数学教育思想与高等数学教学，《曲阜师范大学学报（自然科学版）》30卷第4期，106-110页，2004年10月
[6] R. Robinson， Definition， Oxford University Press， London， 1954； reprinted by D. R. Hillman & Sons， Frome， U.K.， 1962.
[7] S. I. Landau， Dictionaries： The Art and Craft of Lexicography， 2nd ed.， Cambridge University Press， Cambridge， 2001.
[8] S. Vinner， The Role of Definitions in the Teaching and Learning of Mathematics， in Advanced Mathe- matical Thinking， D. Tall， ed.， Kluwer， Dordrecht， 1991， pp. 65-81.
[9] 张禾瑞，《近世代数基础》，高等教育出版社，1978年
[10] 盛祥耀，《高等数学》，高等教育出版社，2003年第二版
[11] 杨子胥，《近世代数》，高等教育出版社，2003年第二版
[12] W. Burger and J. M. Shaughnessy， Characterizing the van Hiele levels of development in geometry， J. Research in Math. Education 16 （1986） 31-48.
（作者单位：北京信息科技大学理学院，北京100192
文章基于Robinson关于定义的理论，结合教学论的方法，通过两个实验来了解学生对数学定义的理解和应用方式。实验揭示了已有理论的不足。作者提出一个新的理论框架，并对已有理论进行了补充。
关键词：词典定义；约定定义；概念；概念的定义；概念的形象；直觉反应
前言
笔者在一次交流中曾谈论过本科生学习高等数学时对其中的定义的理解和运用。作者在担任《高等数学》授课期间，发现很多学生在对定义，比如“极限”和“连续性”的运用和理解上颇有问题。作者直觉上认为正是这些术语被赋予的非数学含义与它们在初等微积分中欠严格的用法导致了这些问题。笔者猜测，学生对抽象代数学中的定义的理解可能不会有这些困难，或者至少会是不同的困难。比如对“群”与“陪集”等没有那么多非数学含义的术语。
于是笔者对正在学习抽象代数入门的数学系本科生进行了研究。令人惊讶的是，学生在对抽象代数学中的术语定义的理解和应用时仍然出现了高等数学的情况下同样的问题。特别地，我们发现学生的困难更在于对数学定义的本质的理解上，而不仅在于对定义内容的理解上。
此后，借用哲学与数学教学论中的思想，我们给出了一个简单的二分理论框架。尽管不会展开叙
述对学生的研究的细节，但概括介绍方法论对弄清观察结果及其背景将是必要的。然后我们列出了两条学生对定义的理解各运用上体现出的令人惊讶的问题，给出了翔实的例子，并依据一开始提出的理论框架给与了可能的解释。
理论框架
我们经常注意到一些工科专业的学生在最初接触高等数学，抽象代数与数论的证命题时不知从何下手。一些研究人员曾对学生数学对问题的证明和理解的一些方面进行过探讨。特别地，Moore注意到当试图去作出证明时，学生没有必要去真正理解问题中相关概念的定义和怎样运用这些定义。作者课上的调查表明，即使是那些从成绩上来看应该是对课程掌握很成功的学生，仍然很难弄清定义在数学中究竟起了什么样的作用。两个最主要的困难来自于对数学定义的哲学范畴的理解，还有如何把定义运用到数学问题的解答中，比如证明题。
定义在数学中起到了关键的作用，但是它们的提出和使用不同于“日常用语”的定义。首先，我们从哲学中去寻找对定义的范畴的界定，然后，我们在数学教学论的语境中深入理解数学定义的使用。
Richard Robinson对“词典定义”与“约定定义”进行了界定。他认为“词典定义是人们用来解释事实上的个人对事实上的事物的事实上的使用方式”。Sidney I. Landau论及同样的范畴，认为“词典定义是从一堆事实中抽取出来的，以实际应用的事例为基础的”。
与此形成对比的是，Robinson的“约定定义”意思是“词语和对象之间显见的和自我意识建构的意义联系，把对象赋予词语（或词语赋予对象）的过程”。它的进步在于“概念上的进步，新概念的建立”，而这“正是一门成功科学的敲门砖”。Landau论及同样的范畴，认为这种定义“是在专家的建议下强加的”，目的是“用这门科学语言进行交流时确保精确性，减少摩擦”。
从而，词典定义展示了运用方法，而约定定义创造了运用方法，最终建立了“概念”。一旦用约定定义建立了一个术语，当理解这个术语时就应当脱离或独立于术语其他的含义。数学中的定义是约定定义，而生活中其他的定义通常是词典定义。
下面我们到数学教学论的语境中来描述学生怎样运用定义。Vinner认为每个数学概念都伴随着一个概念的定义（Concept Definition）和一个概念的形象（Concept Image）。概念的定义可以是赋予一个给定概念的约定定义，而概念的形象则是个人对概念理解的非语言表示。它包括“视觉表现，大脑中的图景，印象，以及与概念的名字相联系的经验”。我们同意Vinner的看法，他认为数学教师普遍认为学生概念的形象是从一个给定的概念定义中得到的，如图所示。
当面对一个含有概念的问题时，严格的数学会要求概念的应用服从Vinne在图1至图4中给出的范式之一。从图中可以看到的关键的一点是，无论概念形象是以什么方式进入整个信息处理过程，最终的输出只基于概念的定义。
综上，我们介绍了两个范畴：词典定义和约定定义，其中数学定义属于后者。然后给出了基于概念定义和概念形象的认知模型，定义正是通过这个模型中的过程完成数学任务。
方法论
两个研究的目的是透过学生对数学定义内容的理解来探求他们对数学中的形式定义所起的作用的理解。这个过程可能会多少有些棘手，因为数学定义有可能出于两种原因而误用。一方面，错误可能源自于对所定义的概念的不完全的或错误的理解；另一方面，错误也可能源自于没能对从整体把握住“定义”这种对象在数学中所起的作用。进一步影响研究设计困难在于，如果问题提得太直接，即使学生对定义的理解有误，他也能表现出对定义的足够理解。毕竟准确重复一个自己听说过但并不真的理解的东西并不难。
两个研究使用了相似的研究方法。研究对象是作者任教的班级的学生，使用教材为张禾瑞著《近世代数基础》，盛祥耀著《高等数学》，。得到的数据为全班34位同学上交的两份书面作业和对10位自愿参与的同学的面对面提问。我们在众多定义和题目中选取了能够在概念的定义和概念的形象之间产生冲突的几个，也选择了一些根据经验对学生来讲不容易理解的一些。我们最主要的兴趣在于观察学生能否利用定义去解决问题，如果能，怎么样去利用。每个访谈对象分别进行提问，分别记录。经过分析我们得出了一个对定义的新的编码范式。正是在把得到的结果与传统的认识之间的对比之后，得到了以下的重新认识。
重新认识
1. 很多学生并不像数学家那样把数学定义分类
数学家懂得，数学定义都是约定的。但数学教师也许没有意识到学生并没有把数学定义归类到约定定义中。据此笔者一开始猜测，学生在理解一些抽象代数概念时，由于不会受到太多非数学意义的干扰，不得不以约定定义的范式来理解数学定义。为了佐证学生事实上并非像猜测的那样，而是没有以约定定义的范式来理解数学定义，我们列举两个抽象代数实验中的例子。 当被问到“什么是数学”这个问题时，A同学 提到了“定理”和“定义”。他说：“其实数学就是定理和定义的罗列……一旦一个定理被证明了，它就成为了一个定义……比如，我们证明了2加2是等于4的，然后我们就定义2加2等于4了……”A同学的观点令人感到非常奇怪，但从定义的分类上来看就不难理解了。对于A同学来说，数学定义不过是在描述事实，每一个数学对象的特征都体现在了定义上。他的定义即使不是从日常应用中提取出来的，但是也是从他对数学概念的理解中提取出来的，明显不属于约定定义。
B同学是另一个不按约定定义的方式去理解定义的例子。他对问题的回答并没有过于偏离约定定义，从而给出了两种对数学定义的理解方式并不是明显分离的证据，亦即，学生们并没有清晰地划分为两个使用不同理解方式的群体。我们把B同学视作处于Burger和Shaughnessy]所说的过渡态。他们认为，学生可能对不同的题目有不同的理解程度，有些甚至可能在同一个问题上理解程度也会发生摇摆。
在我们看来，B同学对数学定义在数学中所处的地位的理解是模糊的。因为在对他的第一个提问中，他有时好像能很正确地意识到定义的作用，有时却不能。比如他会说：“定义必须从这个东西事实上是什么中抽取出来”。
对他的第二个提问是有关陪集乘法的问题。提问前，陪集的概念已经在课上讲授。B同学在课上做过一些陪集的计算，并在讨论中观察到了一些陪集的性质。但是计算我们给出的问题时，他却不知道怎样去计算了。尽管他花了二十多分钟去计算，但仍然无果而终。我们问：“定义就摆在你面前你为什么不去参考呢？”他的回答是：“我明明知道怎么算……我算过的……”直到被提示以后，他才意识到要去根据定义来计算。从他的回答中可以看出，他对概念的理解是基于“算过”一类的过程，是从事实中去提取的，而不是将数学定义归类于约定定义。
上面的两位同学的学习成绩都是很优秀的，每次考试都能得到高分，但他们不能正确地将数学定义归类。事实上上述他们遇到的困难根源基本在于没有将数学定义归类于约定定义。
读者现在不妨联想一下在教学过程中遇到的类似困难，并尝试从错误的归类中寻找原因。
2. 很多学生尽管能够正确地陈述并解释定义，但不能用数学家所用的方式去运用
误用定义的情况并不少见，最极端的一种情况是根本不使用定义。每一个讲授过高等数学习题课的助教都会发现很多学生按照图5所展现的方式去做题，Vinner称之为直觉反应（Intuitive Response）。很多人认为正是没有弄清定义的内容造成了直觉反应，这意味着，一旦学生能够准确地叙述并解释定义，直觉反应便不复存在。研究告诉我们，事实并非如此。
作者在高等数学习题课上曾讨论过无限小数的概念。C同学能够准确解释无限小数的定义和内含，并能使用定义去解释为什么0.333……=1/3，然而他却认为0.999……不等于1。事实上他使用了基于除法运算的概念的形象。通过计算1除以3能够得到0.333……，但0.999……无法通过类似的手段（1除以1）得到。他全然忽略了概念的定义。与他对数学定义的分类相一致，他发现很难从0.999……的情况中提取无限循环小数的概念。
类似地，D同学能够正确给出“连续性”的定义，但当问及“绝对值函数F（x）=|x|”是否连续时他的第一反应是“在0点不连续”。尽管他后来只根据定义确认了该函数是连续的，但我们可以看出高中数学中强调的“绝对值函数不同于其他函数”这个印象左右了他的判断。
图5. 直觉反应[8]
结论
我们使用了文献中对定义的分类方式，亦即词典定义与约定定义。我们的研究发现本科数学专业的一些同学不能明确区分两种不同的定义范式，从而导致他们对数学定义的理解经常出现问题。数学分析课上的一些学生倾向于依靠概念的形象而非概念的定义去解答问题，部分原因在于学生在先导课程中已经对这些概念有了一定的熟悉。抽象代数中的概念没有这种干扰，然而一些学生们仍然倾向于依靠概念的形象而非概念的定义。
因而我们建议数学定义的这种特殊的本质特征应当在教学过程中向学生阐明。尤其是在以证明为主的学科的入门课程中。学生应当集中一些精力锻炼对定义的理解，还有对提出定义的过程的理解。
参考文献
[1] G. Harel and L. Sowder， Students' proof schemes： Results from exploratory studies， in Issues in Math- ematics Education Vol. 7： Research in Collegiate Mathematics Education. III， A. H. Schoenfeld et al.， eds.， American Mathematical Society， Providence， 1998， pp. 234-383.
[2] A. Selden and J. Selden， Validations of proofs considered as texts： Can undergraduates tell whether an argument proves a theorem？ J. Research in Math. Education 34 （2003） 4-36.
[3] R. C. Moore， Making the transition to formal proof， Educational Studies in Math. 27 （1994） 249-266.
[4] 陈志，《实变函数》中概念教学的探讨，《宁夏大学学报（自然科学版）》11卷第4期，69-73页，1990年12月
[5] 汪晓勤，M.克莱因的数学教育思想与高等数学教学，《曲阜师范大学学报（自然科学版）》30卷第4期，106-110页，2004年10月
[6] R. Robinson， Definition， Oxford University Press， London， 1954； reprinted by D. R. Hillman & Sons， Frome， U.K.， 1962.
[7] S. I. Landau， Dictionaries： The Art and Craft of Lexicography， 2nd ed.， Cambridge University Press， Cambridge， 2001.
[8] S. Vinner， The Role of Definitions in the Teaching and Learning of Mathematics， in Advanced Mathe- matical Thinking， D. Tall， ed.， Kluwer， Dordrecht， 1991， pp. 65-81.
[9] 张禾瑞，《近世代数基础》，高等教育出版社，1978年
[10] 盛祥耀，《高等数学》，高等教育出版社，2003年第二版
[11] 杨子胥，《近世代数》，高等教育出版社，2003年第二版
[12] W. Burger and J. M. Shaughnessy， Characterizing the van Hiele levels of development in geometry， J. Research in Math. Education 16 （1986） 31-48.
（作者单位：北京信息科技大学理学院，北京100192