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义务教育和高中阶段数学课程标准都指出，数学教育要发挥数学在培养人的思维能力方面不可替代的作用。义务教育阶段数学课程标准将“数学思考”列为四个课程目标之一，要求学生通过数学思考，发展数学思维，体会数学基本思想和思维方式。高中数学课程标准则将“注重提高学生的数学思维能力”列为十大基本理念之一。关注“以数学思维能力为基础的数学能力的培养”是重要的评价维度之一。思维是具有意识的人脑对客观事物的本质属性和内部规律概括的间接反映，简而言之，人的大脑思考问题的这种内部活动就是思维[1]。根据数学思维活动的特点，在中学数学绿色课堂中，主要关注抽象思维、推理思维和发散思维活动。
一、抽象思维
高度的抽象性是数学的三大特点之一。所谓抽象思维，是指舍弃对象的具体形象，凭借概念，按照形式逻辑和辩证逻辑的规律，进行判断和推理的一种思维。在中学数学课堂教学活动中，抽象思维主要体现在形成数学概念和应用数学知识两种活动中。因此，我们主要从这两个维度来评价数学绿色课堂中，学生抽象思维的运用和发展情况。
1.在数学概念形成过程中，运用和发展学生的抽象思维
数学概念的形成是学生数学学习活动的重要组成部分之一。数学概念的形成过程，应该是学生在观察、分析、归纳等活动的基础上，运用抽象思维，提取本质属性，舍弃非本质属性的过程。数学教师要通过设计有效的数学活动，促进学生对数学概念的理解，培养和发展学生的抽象思维。例如在“平行线的判定方法”教学过程中，在讲授“两条直线平行，内错角相等”时，当教师问“所有的内错角都相等吗”，不少学生都会想当然地回答“是”，这就是由于他们没有真正理解“内错角”的概念所导致的结果。如果教师在之前的教学中，引导学生学习内错角、同位角和同旁内角等概念时，能够设计有效的情境，通过“做一做（实际操作或媒体模拟）——看一看（两个角的变化情况）——想一想（请学生给这两个角命名）——议一议（小组交流，说明理由）”等教学流程，让学生经历抽象这些概念的过程，就能清楚地把握它们的本质属性（位置关系），舍弃非本质属性（角的大小、其中两条直线是否平行等）。
2.在数学知识应用过程中，运用和发展学生的抽象思维
数学是模型的科学[2]。现代中学数学教学日益强调模型思想和建模意识的培养，并在数学课程中明确以模型观审视一次函数、不等式等基本内容。因此，从广义上而言，数学知识的应用过程，就是数学建模的过程。在日常数学课堂教学中，教师应该有意识地在问题解决过程中，通过清晰地表达、合理地化简等过程，训练和发展学生的抽象思维。比如在学完“一次函数”内容后，教师就可以基于学生熟悉的“手机套餐”问题，设计“精打细算选套餐”活动，让学生在调查研究的基础上，利用学习过的知识，将问题化简、抽象，建立数学模型，解决问题。需要注意的是，学生运用数学知识的过程中，教师要结合实际，尽可能放开手脚，让学生经历发现问题、提出问题、分析问题和解决问题的全过程。
二、推理思维
推理是思维的一种基本形式，是学生获取知识的重要方法，也是解答或证明问题的重要手段[3]。《义务教育数学课程标准（2011年版）》指出：“在参与观察、实验、猜想、证明、综合实践等数学活动中，发展合情推理和演绎推理能力，清晰地表达自己的想法。”即将合情推理与逻辑推理放在了同等重要的地位。“观察、实验、猜想”实质上是一个利用合情推理探索发现的过程，而“证明”则是在合情推理的基础上，进行演绎论证从而完成完整的推理过程，得到合理且严谨的结论[4]。《中学数学绿色课堂评价标准》主要从合情推理和演绎推理两个维度来考查学生推理思维的运用和发展情况。
1.合情推理
合情推理是从观察或实验获得的事实出发，凭借经验和直觉，通过归纳和类比推断某些结果。它的核心是“探索发现，归纳类比”。所以，教师能否为学生提供思考、探索、交流和发现的空间，让学生经历“观察、实验、猜想”等活动机会，就显得尤为重要。这也是考查教师是否重视学生合理推理思维培养与发展的重要依据之一。例如在“平行线的判定方法”教学案例中，教师就为学生提供了这样的机会：让学生观察同旁内角互补的情况，并通过“大家通过观察猜想一下这两条直线是什么关系？”“我们如何来证明这个猜想呢”和“这和我们以前学习过的平行线的判定方法有什么联系”等“问题串”形成的思维空间，让学生较为流畅地找到证明同旁内角定理的方法，并在脑海中形成了大致的证明思路。
2.演绎推理
演绎推理是从已有的定义、公理、定理和确定的规则，包括运算的定义、法则、顺序等出发，按照逻辑推理的法则证明和计算。在数学课堂教学中，训练和发展学生的演绎推理思维，是数学教育价值的重要体现之一。因此，《中学数学绿色课堂评价标准》也将教师能否有效培养和发展学生的演绎推理思维作为重要的评价指标之一。
要让学生形成良好的演绎推理思维，在数学课堂教学中经常性地整理学生松散跳跃的思维过程是很重要的一个方面。特别是在初始阶段，教师需要经常性地指导和反复强调。在前文提到的案例中，学生已经通过合情推理找到了证明“同旁内角互补，两直线平行”的方法。接下来，教师就根据学生口述，板书了证明过程：
∠4 ∠7=180。
∠7 ∠8=180。
∴∠4=∠8（同位角的余角相等）
∴AB平行于CD（同位角相等，两直线平行）
这时教师转而问全班同学：“有什么不完整的地方吗？”部分学生若有所思地表示赞同，教师继续询问道：“第一个式子是哪里来的？”部分学生回答：“已知的。”教师在第一个式子的后面补上证明理由：（已知），并反复强调证明的过程要按照格式注明式子的来历，而后学生立刻反应到第二个式子也没有写证明理由，当教师问道：“第二个式子哪里来的？”学生齐答：“邻补角互补。”经过这样的训练，学生每次口述证明过程时，都会在式子叙述完后加上一句“理由是……”这就达到了训练学生严谨思维的目标。
不难看出，与合情推理用于探索思路、发现结论不同，演绎推理注重结论的严谨证明，两种推理方式虽然功能不同，但应相辅相成。
三、发散思维
发散思维又叫求异思维，它是由某一条件或事实出发，从各个方面思考，产生出多种答案，即它的思考方向是向外发散的。发散思维还指从不同角度去理解问题，寻找某一结论的各种可能的充分条件和必要条件，提出解决某一问题的各种设想和方法等[5]。由于这种思维是朝着各个不同方向进行的，思路开阔，易于探索到新结论，提出新的方法和思想，所以正如徐利治先生给出的公式“创造能力=知识量×发散思维能力”，发散思维能力越高的人，越有利于思维创造性的发挥。因此，学生发散思维的运用和发展情况也是《中学数学绿色课堂教学评价标准》的重要指标之一。在中学数学教学过程中，教师可以创造机会有意识地培养和再塑学生的发散思维。比如在上文教学案例中，教师在“同旁内角互补，两直线平行”证明方法探索和论证环节，就通过寻求不同的转化方法（分别转化为同位角相等、内错角相等）来发展学生的发散思维。需要注意的是，由于学生年龄特征的限制，教师要加以适时指导，以防止学生毫无目的地发散。
参考文献：
[1]任樟辉.数学思维论[M].南宁：广西教育出版社，1996.
[2]蒋志萍，汪文贤.数学思维方法[M].杭州：浙江大学出版社，2011.
[3]朱晓鸽.逻辑析理与数学思维研究[M].北京：北京大学出版社，2009.
[4]马复.初中数学教学策略[M].北京：北京师范大学出版社，2010.
[5]周春荔.数学思维概论[M].北京：北京师范大学出版社，2012.
（作者单位：1.北京师范大学教育学部 2.北京市石景山区基础教育研究中心 3.北京市苹果园中学）
（责任编辑：马赞）
一、抽象思维
高度的抽象性是数学的三大特点之一。所谓抽象思维，是指舍弃对象的具体形象，凭借概念，按照形式逻辑和辩证逻辑的规律，进行判断和推理的一种思维。在中学数学课堂教学活动中，抽象思维主要体现在形成数学概念和应用数学知识两种活动中。因此，我们主要从这两个维度来评价数学绿色课堂中，学生抽象思维的运用和发展情况。
1.在数学概念形成过程中，运用和发展学生的抽象思维
数学概念的形成是学生数学学习活动的重要组成部分之一。数学概念的形成过程，应该是学生在观察、分析、归纳等活动的基础上，运用抽象思维，提取本质属性，舍弃非本质属性的过程。数学教师要通过设计有效的数学活动，促进学生对数学概念的理解，培养和发展学生的抽象思维。例如在“平行线的判定方法”教学过程中，在讲授“两条直线平行，内错角相等”时，当教师问“所有的内错角都相等吗”，不少学生都会想当然地回答“是”，这就是由于他们没有真正理解“内错角”的概念所导致的结果。如果教师在之前的教学中，引导学生学习内错角、同位角和同旁内角等概念时，能够设计有效的情境，通过“做一做（实际操作或媒体模拟）——看一看（两个角的变化情况）——想一想（请学生给这两个角命名）——议一议（小组交流，说明理由）”等教学流程，让学生经历抽象这些概念的过程，就能清楚地把握它们的本质属性（位置关系），舍弃非本质属性（角的大小、其中两条直线是否平行等）。
2.在数学知识应用过程中，运用和发展学生的抽象思维
数学是模型的科学[2]。现代中学数学教学日益强调模型思想和建模意识的培养，并在数学课程中明确以模型观审视一次函数、不等式等基本内容。因此，从广义上而言，数学知识的应用过程，就是数学建模的过程。在日常数学课堂教学中，教师应该有意识地在问题解决过程中，通过清晰地表达、合理地化简等过程，训练和发展学生的抽象思维。比如在学完“一次函数”内容后，教师就可以基于学生熟悉的“手机套餐”问题，设计“精打细算选套餐”活动，让学生在调查研究的基础上，利用学习过的知识，将问题化简、抽象，建立数学模型，解决问题。需要注意的是，学生运用数学知识的过程中，教师要结合实际，尽可能放开手脚，让学生经历发现问题、提出问题、分析问题和解决问题的全过程。
二、推理思维
推理是思维的一种基本形式，是学生获取知识的重要方法，也是解答或证明问题的重要手段[3]。《义务教育数学课程标准（2011年版）》指出：“在参与观察、实验、猜想、证明、综合实践等数学活动中，发展合情推理和演绎推理能力，清晰地表达自己的想法。”即将合情推理与逻辑推理放在了同等重要的地位。“观察、实验、猜想”实质上是一个利用合情推理探索发现的过程，而“证明”则是在合情推理的基础上，进行演绎论证从而完成完整的推理过程，得到合理且严谨的结论[4]。《中学数学绿色课堂评价标准》主要从合情推理和演绎推理两个维度来考查学生推理思维的运用和发展情况。
1.合情推理
合情推理是从观察或实验获得的事实出发，凭借经验和直觉，通过归纳和类比推断某些结果。它的核心是“探索发现，归纳类比”。所以，教师能否为学生提供思考、探索、交流和发现的空间，让学生经历“观察、实验、猜想”等活动机会，就显得尤为重要。这也是考查教师是否重视学生合理推理思维培养与发展的重要依据之一。例如在“平行线的判定方法”教学案例中，教师就为学生提供了这样的机会：让学生观察同旁内角互补的情况，并通过“大家通过观察猜想一下这两条直线是什么关系？”“我们如何来证明这个猜想呢”和“这和我们以前学习过的平行线的判定方法有什么联系”等“问题串”形成的思维空间，让学生较为流畅地找到证明同旁内角定理的方法，并在脑海中形成了大致的证明思路。
2.演绎推理
演绎推理是从已有的定义、公理、定理和确定的规则，包括运算的定义、法则、顺序等出发，按照逻辑推理的法则证明和计算。在数学课堂教学中，训练和发展学生的演绎推理思维，是数学教育价值的重要体现之一。因此，《中学数学绿色课堂评价标准》也将教师能否有效培养和发展学生的演绎推理思维作为重要的评价指标之一。
要让学生形成良好的演绎推理思维，在数学课堂教学中经常性地整理学生松散跳跃的思维过程是很重要的一个方面。特别是在初始阶段，教师需要经常性地指导和反复强调。在前文提到的案例中，学生已经通过合情推理找到了证明“同旁内角互补，两直线平行”的方法。接下来，教师就根据学生口述，板书了证明过程：
∠4 ∠7=180。
∠7 ∠8=180。
∴∠4=∠8（同位角的余角相等）
∴AB平行于CD（同位角相等，两直线平行）
这时教师转而问全班同学：“有什么不完整的地方吗？”部分学生若有所思地表示赞同，教师继续询问道：“第一个式子是哪里来的？”部分学生回答：“已知的。”教师在第一个式子的后面补上证明理由：（已知），并反复强调证明的过程要按照格式注明式子的来历，而后学生立刻反应到第二个式子也没有写证明理由，当教师问道：“第二个式子哪里来的？”学生齐答：“邻补角互补。”经过这样的训练，学生每次口述证明过程时，都会在式子叙述完后加上一句“理由是……”这就达到了训练学生严谨思维的目标。
不难看出，与合情推理用于探索思路、发现结论不同，演绎推理注重结论的严谨证明，两种推理方式虽然功能不同，但应相辅相成。
三、发散思维
发散思维又叫求异思维，它是由某一条件或事实出发，从各个方面思考，产生出多种答案，即它的思考方向是向外发散的。发散思维还指从不同角度去理解问题，寻找某一结论的各种可能的充分条件和必要条件，提出解决某一问题的各种设想和方法等[5]。由于这种思维是朝着各个不同方向进行的，思路开阔，易于探索到新结论，提出新的方法和思想，所以正如徐利治先生给出的公式“创造能力=知识量×发散思维能力”，发散思维能力越高的人，越有利于思维创造性的发挥。因此，学生发散思维的运用和发展情况也是《中学数学绿色课堂教学评价标准》的重要指标之一。在中学数学教学过程中，教师可以创造机会有意识地培养和再塑学生的发散思维。比如在上文教学案例中，教师在“同旁内角互补，两直线平行”证明方法探索和论证环节，就通过寻求不同的转化方法（分别转化为同位角相等、内错角相等）来发展学生的发散思维。需要注意的是，由于学生年龄特征的限制，教师要加以适时指导，以防止学生毫无目的地发散。
参考文献：
[1]任樟辉.数学思维论[M].南宁：广西教育出版社，1996.
[2]蒋志萍，汪文贤.数学思维方法[M].杭州：浙江大学出版社，2011.
[3]朱晓鸽.逻辑析理与数学思维研究[M].北京：北京大学出版社，2009.
[4]马复.初中数学教学策略[M].北京：北京师范大学出版社，2010.
[5]周春荔.数学思维概论[M].北京：北京师范大学出版社，2012.
（作者单位：1.北京师范大学教育学部 2.北京市石景山区基础教育研究中心 3.北京市苹果园中学）
（责任编辑：马赞）