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我曾先后五次执教“圆的周长”一课(人教版实验教材六年级上册)。在此过程中我曾困惑，经不断尝试，终有所悟。
一、用线把“珍珠”串起来
[思考]作为一线教师，我发现在教学“圆的认识”时，教师非常重视画圆方法的指导，注重对学生画圆技能的训练。然而当学生进入后续学习时，除了考试，它被抛弃了。难道画圆是走一次过场?画圆就不能与后续学习的内容发生关联?
如果把对圆周长探索的每个环节看做一颗颗珍珠，以“画圆”为主线，把这些珍珠串起来，那就在“画圆”与“探索圆周长”之间找到了一个结合点。而这条线并不是孤立的，它融圆周长于学生的探索之中，能使教学行云流水。
[回放]
师：请同学们用圆规在纸上任意画一个圆。
(学生第一次画圆)
师：刚才我们用圆规画出来的曲线一周的长度就是圆的……周长。圆规两脚之间的距离就是圆的……半径。
师：再画一个周长不一样的圆。
(学生第二次画圆)
师：通过刚才的活动，你有什么发现?
生：圆规两脚之间的距离越长，画出来的圆就越大；圆规两脚之间的距离越短，画出来的圆就越小。
生：圆的周长和半径有关系。
师：请同学们画一个周长是12.56cm的圆。
(学生第三次画圆，此时大多数学生不知所措，无从下手)
师：遇到什么困难?
生：我不能保证画出来的圆的周长是12.56cm。
生：如果知道半径就好了。
师：看来要准确地画出周长是1256cm的圆，现在有点困难。怎么办呢?
生：是不是可以根据圆的周长先算出半径?
师：今天我们学习的是课本第62～64页的内容，同学们看看课本，梳理一下这节课学到的知识和运用的方法，有什么问题请及时提出来。
生：周长12.56cm的圆还没画。
师：你准备怎么画?
(第四次画圆，学生积极发表见解)
生：半径是12.56÷3.14÷2=2cm，再画半径是2cm的圆。
第一次画圆是简洁的开始，自然地揭示了圆的周长的意义；第二次画圆是搭一座便桥，巧妙地唤起学生头脑中已有的知识经验；第三次画圆是一次挑战，为新知识的探索指明了方向；第四次画圆是一次反刍，检验学生运用知识解决问题的能力。立足学生已有的知识经验，从画圆导入，学生自然想到圆的周长与半径(圆规两脚之间的距离)存在某种关系。通过画不同要求的圆，巧妙地进入到对圆周长的探索中，可谓“顺其自然，水到渠成”。
二、让“镜头”换个角度
[思考]对于圆周长的教学，从教材编排和传统教学来看，一般都以“圆的周长和直径的关系”为主要研究方向，从直径来突破。当我确定“以研究圆的周长和半径的关系为重心，从半径来突破”的思路设计教学时，我犹豫了，这样的设计能行吗?
换个角度，从半径来突破圆周长的教学，并不是无的放矢。从学生的认知起点来说，对于圆的周长学生已有相应的知识储备，已经知道半径的作用是确定圆的大小。从数学活动的有效性来说，在观察、操作、猜想、验证等数学活动的基础上发现圆的周长和半径的关系，进而推理得出圆的周长和直径的关系，能使学生更好地构建与内化数学知识。
[回放]
(学生提出先算出半径，再画圆)
师：圆的周长和半径之间会有什么样的关系呢?
(学生独立思考)
生：我估计圆的周长可能是半径的4倍。
生：我认为圆的周长是半径的6倍。
师：现在同学们有不同的猜测，但有一点是一致的，大家都认为圆的周长和半径存在倍数关系。要知道我们的猜测是否正确，可以怎样验证?
生：先量出圆的周长和半径，再计算出那个圆的周长除以半径所得的商。
(学生完成实验)
师：你有什么发现?
生：圆的周长与半径的商大约是6。
师：是不是在任意一个圆中，圆的周长都是半径的6倍左右呢?
(学生表示肯定，教师演示课件加以验证)
师：我国古代数学家刘徽曾经用这样的方法研究圆的周长。(课件演示：割圆术) 师：你有什么发现? 生：正六边形的边长就是圆的半径，圆的周长是半径的6倍多一些。
师：我们的实验、电脑的演示、刘徽的方法都告诉我们，在任意一个圆中，圆的周长是它的半径的6倍多一些，看来我们猜测的方向是正确的。
师：我们知道圆的直径与半径有关系，现在我们发现了圆的周长是半径的6倍多一些，那么圆的周长和直径会有什么样的关系呢?
生：直径是半径的两倍，圆的周长是半径的6倍多一些，所以圆的周长是直径的3倍多一些。
师：其实，我们的先辈在研究圆的周长的过程中取得了卓越的成就。约2000年前，(周髀算经)中就记载“周三径一”。你知道“周三径一”是什么意思吗?
生：圆的周长是它的直径的3倍。
让学生画周长为12.56cm的圆，这是很有挑战性的数学活动。学生发现了问题，主动去寻找解决问题的途径，这就促使学生从数学的本质思考解决问题的策略——“应该找到圆的周长和半径有什么关系”。在系列探索活动的基础上，学生发现了“圆的周长与半径的关系”，进而推理得出“圆的周长与直径的关系”，之后通过对“周三径一”的解释，沟通了圆的周长与半径、直径的关系，实现了数学知识的自我建构。如果强行将学生的思维拉到研究圆的周长与直径的关系上，则是“强扭的瓜不甜”。
三、“粗粮细粮”全都有
[思考]如果把教师选择的学习材料比作“精粮”，那么来源于学生，生成于课堂的学习材料就是“粗粮”。“精粮”代表性强，易于操作，但指向性太强，学生处于被动状态。“粗粮”能更好地促使学生参与学习，但学生自主操作有难度。两者如何取舍?
学习材料是数学教学的基石，它直接决定着课堂教学的效益。以“圆”为基石，精心组织“粗粮细粮”，挖掘其丰富的内涵，使学习材料更简洁、有效，让学生在对材料的利用中达到数学内容吸收的最大化。
[回放]
师：在学具袋中，老师为同学们准备了一些材料，请你用这些材料，运用我们想出的方法，量一量、算一算，验证一下我们的猜测。
(学生发现圆的周长与半径、直径的关系后)
师：刚才我们用滚动、绕线的方法测量了圆的周长，用这样的方法测量黑板上这个圆的周长方便吗?测量圆形大花坛的周长呢?有没有好的方法，能让我们快速、准确地知道圆的周长。 生：只要先量出圆的直径或半径，就可以算出圆的周长。
师：我量出黑板上这个圆的直径是3dm，半径是1.5dm，请你任选一条信息，试着算算圆的周长是多少? (学生尝试解决问题)
生：圆的周长是它的直径的π倍，也就是3×3.14=9.42dm。
师：这种方法用含有字母的式子怎样表示?(生答) 师：为什么“π”写在前面? 生：π是固定的无限不循环小数，数字与字母相乘用简便方法表示时，数字写在前面。 师：还有不同想法吗? 生：圆的周长是它的半径的2π倍，可以用2×3.14×1.5=9.42dm。(板书：C=2πr)
师：知道了直径或半径，就可以计算出圆的周长，你能运用这些方法解决一些问题吗?
师：先量出自己所画的任意一个圆的直径或半径，再计算圆的周长。
……
画不同要求的圆是学生对圆周长内涵的逐层体验，是探索圆周长相关知识的生发点，是推导圆周长计算方法的基本素材，是学生应用知识解决问题的练习对象……在这里材料虽然简洁，但使用充分。当学生感到用“化曲为直”的方法测量圆的周长不方便时，不约而同地想到用计算方法求圆的周长，而课堂上所画的圆就成为研究圆周长计算公式的素材。学生依托这些素材自主推导出圆周长的计算方法。运用现成的素材进行自主探索、公式推导和应用练习，充分发挥了学习材料的效益，恰似“删繁就简三秋树”。
四、撩开“遮面琵琶”的面纱
[思考]“数学是人类的一种文化”。圆周长一课蕴含着比较丰富的数学文化内涵，教材的编排也体现了这一点。如何使学生在探索圆周长的过程中体验数学文化，从文化层面去理解数学呢?
数学文化不是“遮面琵琶”，对它的体验应自然地镶嵌在数学活动中，使学生产生情感的共鸣。伴随着学生对圆周长的探索，回望人类研究圆周长的历程，学生在与古人的对话中，运用古人的成就解决问题，走过了一段令人难忘的体验之路。
[回放]
师：我国古代数学家刘徽曾经用这样的方法研究圆的周长。(课件演示：割圆术)
师：你有什么发现?
生：正六边形的边长就是圆的半径，圆的周长是半径的6倍多一些。
师：我们的实验、电脑的演示、刘徽的方法都告诉我们，在任意一个圆中，圆的周长是它的半径的6倍多一些。看来我们猜测的方向是正确的，不过有些同学的猜测误差比较大。
师：其实，我们的先辈在研究圆的周长的过程中取得了卓越的成就。约2000年前，《周髀算经》中就记载“周三径一”。你知道“周三径一”是什么意思吗?
生：圆的周长是它的直径的3倍。
师：我们再来认识我国古代一位伟大的数学家——相冲之。请同学们默读这段文字，找找有价值的数学信息。
生：圆的周长除以直径的商是一个固定的无限不循环小数，我们把它叫做圆周率。
生：圆周率用字母π表示，π=3.1415926535……，取近似值是3.14。
师：能用含有字母的式子表示圆的周长和直径的关系吗?
对刘徽割圆术的重温，再次验证了圆的周长和半径的关系；对《周髀算经》中记载的“周三径一”的解释，沟通了圆的周长与半径、直径的关系；而对祖冲之和圆周率相关信息的检索，凸显了探索圆周率的历程。而课件的演示，文本的阅读，以及学生的思辨，丰富了学生的情感体验。这既是对数学文化的体验，又是对知识的一次新的探索，“润物细无声”的体验是我们应该追求的教学真谛。
我庆幸自己是个易感知的人，能观草拔节听花开，真实地享受孩子们成长的快乐，真切地感知他们智力之花绽放时的美丽，见证生命的灵动与鲜活!
一、用线把“珍珠”串起来
[思考]作为一线教师，我发现在教学“圆的认识”时，教师非常重视画圆方法的指导，注重对学生画圆技能的训练。然而当学生进入后续学习时，除了考试，它被抛弃了。难道画圆是走一次过场?画圆就不能与后续学习的内容发生关联?
如果把对圆周长探索的每个环节看做一颗颗珍珠，以“画圆”为主线，把这些珍珠串起来，那就在“画圆”与“探索圆周长”之间找到了一个结合点。而这条线并不是孤立的，它融圆周长于学生的探索之中，能使教学行云流水。
[回放]
师：请同学们用圆规在纸上任意画一个圆。
(学生第一次画圆)
师：刚才我们用圆规画出来的曲线一周的长度就是圆的……周长。圆规两脚之间的距离就是圆的……半径。
师：再画一个周长不一样的圆。
(学生第二次画圆)
师：通过刚才的活动，你有什么发现?
生：圆规两脚之间的距离越长，画出来的圆就越大；圆规两脚之间的距离越短，画出来的圆就越小。
生：圆的周长和半径有关系。
师：请同学们画一个周长是12.56cm的圆。
(学生第三次画圆，此时大多数学生不知所措，无从下手)
师：遇到什么困难?
生：我不能保证画出来的圆的周长是12.56cm。
生：如果知道半径就好了。
师：看来要准确地画出周长是1256cm的圆，现在有点困难。怎么办呢?
生：是不是可以根据圆的周长先算出半径?
师：今天我们学习的是课本第62～64页的内容，同学们看看课本，梳理一下这节课学到的知识和运用的方法，有什么问题请及时提出来。
生：周长12.56cm的圆还没画。
师：你准备怎么画?
(第四次画圆，学生积极发表见解)
生：半径是12.56÷3.14÷2=2cm，再画半径是2cm的圆。
第一次画圆是简洁的开始，自然地揭示了圆的周长的意义；第二次画圆是搭一座便桥，巧妙地唤起学生头脑中已有的知识经验；第三次画圆是一次挑战，为新知识的探索指明了方向；第四次画圆是一次反刍，检验学生运用知识解决问题的能力。立足学生已有的知识经验，从画圆导入，学生自然想到圆的周长与半径(圆规两脚之间的距离)存在某种关系。通过画不同要求的圆，巧妙地进入到对圆周长的探索中，可谓“顺其自然，水到渠成”。
二、让“镜头”换个角度
[思考]对于圆周长的教学，从教材编排和传统教学来看，一般都以“圆的周长和直径的关系”为主要研究方向，从直径来突破。当我确定“以研究圆的周长和半径的关系为重心，从半径来突破”的思路设计教学时，我犹豫了，这样的设计能行吗?
换个角度，从半径来突破圆周长的教学，并不是无的放矢。从学生的认知起点来说，对于圆的周长学生已有相应的知识储备，已经知道半径的作用是确定圆的大小。从数学活动的有效性来说，在观察、操作、猜想、验证等数学活动的基础上发现圆的周长和半径的关系，进而推理得出圆的周长和直径的关系，能使学生更好地构建与内化数学知识。
[回放]
(学生提出先算出半径，再画圆)
师：圆的周长和半径之间会有什么样的关系呢?
(学生独立思考)
生：我估计圆的周长可能是半径的4倍。
生：我认为圆的周长是半径的6倍。
师：现在同学们有不同的猜测，但有一点是一致的，大家都认为圆的周长和半径存在倍数关系。要知道我们的猜测是否正确，可以怎样验证?
生：先量出圆的周长和半径，再计算出那个圆的周长除以半径所得的商。
(学生完成实验)
师：你有什么发现?
生：圆的周长与半径的商大约是6。
师：是不是在任意一个圆中，圆的周长都是半径的6倍左右呢?
(学生表示肯定，教师演示课件加以验证)
师：我国古代数学家刘徽曾经用这样的方法研究圆的周长。(课件演示：割圆术) 师：你有什么发现? 生：正六边形的边长就是圆的半径，圆的周长是半径的6倍多一些。
师：我们的实验、电脑的演示、刘徽的方法都告诉我们，在任意一个圆中，圆的周长是它的半径的6倍多一些，看来我们猜测的方向是正确的。
师：我们知道圆的直径与半径有关系，现在我们发现了圆的周长是半径的6倍多一些，那么圆的周长和直径会有什么样的关系呢?
生：直径是半径的两倍，圆的周长是半径的6倍多一些，所以圆的周长是直径的3倍多一些。
师：其实，我们的先辈在研究圆的周长的过程中取得了卓越的成就。约2000年前，(周髀算经)中就记载“周三径一”。你知道“周三径一”是什么意思吗?
生：圆的周长是它的直径的3倍。
让学生画周长为12.56cm的圆，这是很有挑战性的数学活动。学生发现了问题，主动去寻找解决问题的途径，这就促使学生从数学的本质思考解决问题的策略——“应该找到圆的周长和半径有什么关系”。在系列探索活动的基础上，学生发现了“圆的周长与半径的关系”，进而推理得出“圆的周长与直径的关系”，之后通过对“周三径一”的解释，沟通了圆的周长与半径、直径的关系，实现了数学知识的自我建构。如果强行将学生的思维拉到研究圆的周长与直径的关系上，则是“强扭的瓜不甜”。
三、“粗粮细粮”全都有
[思考]如果把教师选择的学习材料比作“精粮”，那么来源于学生，生成于课堂的学习材料就是“粗粮”。“精粮”代表性强，易于操作，但指向性太强，学生处于被动状态。“粗粮”能更好地促使学生参与学习，但学生自主操作有难度。两者如何取舍?
学习材料是数学教学的基石，它直接决定着课堂教学的效益。以“圆”为基石，精心组织“粗粮细粮”，挖掘其丰富的内涵，使学习材料更简洁、有效，让学生在对材料的利用中达到数学内容吸收的最大化。
[回放]
师：在学具袋中，老师为同学们准备了一些材料，请你用这些材料，运用我们想出的方法，量一量、算一算，验证一下我们的猜测。
(学生发现圆的周长与半径、直径的关系后)
师：刚才我们用滚动、绕线的方法测量了圆的周长，用这样的方法测量黑板上这个圆的周长方便吗?测量圆形大花坛的周长呢?有没有好的方法，能让我们快速、准确地知道圆的周长。 生：只要先量出圆的直径或半径，就可以算出圆的周长。
师：我量出黑板上这个圆的直径是3dm，半径是1.5dm，请你任选一条信息，试着算算圆的周长是多少? (学生尝试解决问题)
生：圆的周长是它的直径的π倍，也就是3×3.14=9.42dm。
师：这种方法用含有字母的式子怎样表示?(生答) 师：为什么“π”写在前面? 生：π是固定的无限不循环小数，数字与字母相乘用简便方法表示时，数字写在前面。 师：还有不同想法吗? 生：圆的周长是它的半径的2π倍，可以用2×3.14×1.5=9.42dm。(板书：C=2πr)
师：知道了直径或半径，就可以计算出圆的周长，你能运用这些方法解决一些问题吗?
师：先量出自己所画的任意一个圆的直径或半径，再计算圆的周长。
……
画不同要求的圆是学生对圆周长内涵的逐层体验，是探索圆周长相关知识的生发点，是推导圆周长计算方法的基本素材，是学生应用知识解决问题的练习对象……在这里材料虽然简洁，但使用充分。当学生感到用“化曲为直”的方法测量圆的周长不方便时，不约而同地想到用计算方法求圆的周长，而课堂上所画的圆就成为研究圆周长计算公式的素材。学生依托这些素材自主推导出圆周长的计算方法。运用现成的素材进行自主探索、公式推导和应用练习，充分发挥了学习材料的效益，恰似“删繁就简三秋树”。
四、撩开“遮面琵琶”的面纱
[思考]“数学是人类的一种文化”。圆周长一课蕴含着比较丰富的数学文化内涵，教材的编排也体现了这一点。如何使学生在探索圆周长的过程中体验数学文化，从文化层面去理解数学呢?
数学文化不是“遮面琵琶”，对它的体验应自然地镶嵌在数学活动中，使学生产生情感的共鸣。伴随着学生对圆周长的探索，回望人类研究圆周长的历程，学生在与古人的对话中，运用古人的成就解决问题，走过了一段令人难忘的体验之路。
[回放]
师：我国古代数学家刘徽曾经用这样的方法研究圆的周长。(课件演示：割圆术)
师：你有什么发现?
生：正六边形的边长就是圆的半径，圆的周长是半径的6倍多一些。
师：我们的实验、电脑的演示、刘徽的方法都告诉我们，在任意一个圆中，圆的周长是它的半径的6倍多一些。看来我们猜测的方向是正确的，不过有些同学的猜测误差比较大。
师：其实，我们的先辈在研究圆的周长的过程中取得了卓越的成就。约2000年前，《周髀算经》中就记载“周三径一”。你知道“周三径一”是什么意思吗?
生：圆的周长是它的直径的3倍。
师：我们再来认识我国古代一位伟大的数学家——相冲之。请同学们默读这段文字，找找有价值的数学信息。
生：圆的周长除以直径的商是一个固定的无限不循环小数，我们把它叫做圆周率。
生：圆周率用字母π表示，π=3.1415926535……，取近似值是3.14。
师：能用含有字母的式子表示圆的周长和直径的关系吗?
对刘徽割圆术的重温，再次验证了圆的周长和半径的关系；对《周髀算经》中记载的“周三径一”的解释，沟通了圆的周长与半径、直径的关系；而对祖冲之和圆周率相关信息的检索，凸显了探索圆周率的历程。而课件的演示，文本的阅读，以及学生的思辨，丰富了学生的情感体验。这既是对数学文化的体验，又是对知识的一次新的探索，“润物细无声”的体验是我们应该追求的教学真谛。
我庆幸自己是个易感知的人，能观草拔节听花开，真实地享受孩子们成长的快乐，真切地感知他们智力之花绽放时的美丽，见证生命的灵动与鲜活!