题目 已知椭圆x24+y2=1的左顶点为A，过A作两条互相垂直的弦AM，AN交椭圆于M，N两点.
　　（1）当直线AM的斜率为1时，求点M的坐标.
　　（2）当直线AM的斜率变化时，直线MN是否过x轴上的一定点？若过定点，请给出证明，并求出该定点；若不过定点，请说明理由.
　　解 （1）直线AM的斜率为1时，将直线AM：y=x+2
　　代入椭圆方程，并化简得5x2+16x+12=0，
　　解得x1=-2，x2=-65，∴M-65，45.
　　（2）设直线AM的斜率为k，直线AM：y=k(x+2)，
　　则y=k(x+2)，x24+y2=1，化简得(1+4k2)x2+16k2x+16k2-4=0.
　　∵此方程有一个根为-2，∴xM=2-8k21+4k2.
　　同理可得xN=2k2-8k2+4.
　　由（1）知，若存在定点，则此点必为P-65，0.
　　∵kMP=yMxM+65=5k4-4k2，
　　同理可计算得kNP=yNxN+65=5k4-4k2.
　　∴直线MN过x轴上的一定点P-65，0.
　　说明 此题为江苏省无锡市2010年秋学期高三期末考试数学试卷第18题，笔者解完后觉得本题第二个小问题值得推广，经笔者认真思考、大胆猜想、小心推广、仔细求证得到了圆锥曲线顶点弦的有趣性质.
　　一、将调研试题中给定具体椭圆进行一般性推广
　　注意到调研试题中涉及的曲线为一个具体的、给定的、特殊的椭圆，考虑将x24+y2=1推广为x2a2+y2b2=1(a>b>0)，于是得到推广1.
　　推广1 已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左顶点为A，过A作两条互相垂直的弦AM，AN交椭圆于M，N两点.试问：当直线AM的斜率变化时，直线MN是否过x轴上的一定点？若过定点，请给出证明，并求出该定点；若不过定点，请说明理由.
　　证明 设直线AM的斜率为k，直线AM：y=k(x+a)，则直线AN的斜率为-1k，直线AN：y=-1k(x+a).将直线AM方程与椭圆方程联立如下：
　　x2a2+y2b2=1，y=k(x+a)，消去y，得
　　(a2k2+b2)x2+2a3k2x+a4k2-a2b2=0.
　　∵此方程有一个根为-a，∴xM=ab2-a3k2a2k2+b2，
　　于是可得点Mab2-a3k2a2k2+b2，2ab2ka2k2+b2，
　　同理可得Nab2k2-a3b2k2+a2，-2ab2kb2k2+a2 .
　　（1）当k2≠1时，kMN=2ab2ka2k2+b2--2ab2kb2k2+a2ab2-a3k2a2k2+b2-ab2k2-a3b2k2+a2=(a2+b2)k(1-k2)a2.
　　直线MN：y-2ab2ka2k2+b2=(a2+b2)ka2(1-k2)x-ab2-a3k2a2k2+b2.
　　令y=0，得x=-2ab2ka2k2+b2×a2(1-k2)(a2+b2)k+ab2-a3k2a2k2+b2=(b2-a2)aa2+b2，直线MN过定点P(b2-a2)aa2+b2，0；
　　（2）当k2=1时，直线MN方程为x=(b2-a2)aa2+b2，此时直线MN过定点P(b2-a2)aa2+b2，0，∴直线MN过x轴上的一定点P(b2-a2)aa2+b2，0.
　　二、将调研试题中给定具体椭圆推广为双曲线和抛物线
　　注意到调研试题中给定曲线为圆锥曲线之一的椭圆，考虑将其椭圆x24+y2=1推广为双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0,a≠b)及抛物线y2=2px(p>0)后，发现顶点弦也同样具备类似结论，于是得到推论2，3.
　　推广2 已知双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0,a≠b)的左顶点为A，过A作两条互相垂直的弦AM，AN交双曲线于M，N两点.试问：当直线AM的斜率变化时，直线MN是否过x轴上的一定点？若过定点，请给出证明，并求出该定点；若不过定点，请说明理由.
　　证明 设直线AM的斜率为kk≠±ba，直线AM：y=k(x+a)，则直线AN的斜率为-1k，直线AN：y=-1k(x+a).将直线AM方程与双曲线方程联立如下：
　　x2a2-y2b2=1，y=k(x+a)，消去y，得
　　(b2-a2k2)x2-2a3k2x-a4k2-a2b2=0.
　　∵此方程有一个根为-a，
　　∴xM=ab2+a3k2b2-a2k2，于是可得点Mab2+a3k2b2-a2k2，2ab2kb2-a2k2.
　　同理可得Nab2k2+a3b2k2-a2，-2ab2kb2k2-a2.
　　（1）当k2≠1时，kMN=2ab2kb2-a2k2--2ab2kb2k2-a2ab2+a3k2b2-a2k2-ab2k2+a3b2k2-a2=(b2-a2)k(k2-1)a2.
　　直线MN：y--2ab2kb2k2-a2=(b2-a2)k(k2-1)a2x-ab2k2+a3b2k2-a2.
　　令y=0，得x=--2ab2kb2k2-a2×(b2-a2)k(k2-1)a2+ab2k2+a3b2k2-a2=(b2+a2)ab2-a2，直线MN过定点P(b2+a2)ab2-a2，0；
　　（2）当k2=1时，直线MN方程为x=(b2+a2)ab2-a2，此时直线MN过定点P(b2+a2)ab2-a2，0，∴直线MN过x轴上的一定点P(b2+a2)ab2-a2，0.
　　说明 当a=b时，过左顶点作不出两条相互垂直的直线分别与双曲线相交于不同两点.
　　推广3 已知抛物线y2=2px(p>0)的顶点为A，过A作两条互相垂直的弦AM，AN交抛物线于M，N两点.试问：当直线AM的斜率变化时，直线MN是否过x轴上的一定点？若过定点，请给出证明，并求出该定点；若不过定点，请说明理由.
　　证明 设直线AM的斜率为k，直线AM：y=kx，则直线AN的斜率为-1k，直线AN：y=-1kx.将直线AM方程与抛物线方程联立如下：
　　y2=2px，y=kx，消去y,得k2x2-2px=0.
　　∵此方程有一个根为0，∴xM=2pk2.
　　于是可得点M2pk2,2pk，同理可得N(2pk2，-2pk).
　　（1）当k2≠1时，kMN=2pk-(-2pk)2pk2-2pk2=k1-k2.
　　直线MN：y-(-2pk)=k1-k2(x-2pk2).再令y=0，得x=2pk×1-k2k+2pk2=2p，直线MN过定点P(2p,0).
　　（2）当k2=1时，直线MN方程为x=2p，直线MN过定点P(2p,0)，∴直线MN过x轴上的一定点P(2p,0).