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机械振动是高中物理选修3-4的重要内容。高考命题的热点有两个:一是简谐运动的规律及图像;二是单摆简谐运动的周期公式及应用。本文谈谈单摆周期公式复习中应注意的几个方面。
一、明确单摆的概念
1、定义:在一根不可伸长的轻绳下,系一个可视为质点的小球,悬挂起来构成。
2、单摆做简谐运动的条件:在摆角小于10 。时,近似为简谐运动。
3、单摆振动的回复力:由重力沿切线方向的分力G1提供。如图所示,F=G1=mgsinθ≈mg (X为位移,L为摆长), 可见,在摆角小于10。时,近似为简谐运动。
4、单摆的周期公式:
二、对单摆的深入理解
由单摆的公式可以看出,单摆的周期与振幅和摆球的质量无关。换一个角度看,单摆的回复力是重力沿圆弧切线方向并且指向平衡位置的分力,偏角越大,回复力越大,切向加速度(gsinθ)越大,在相等的时间走过的弧长也越大,所以周期与振幅和摆球的质量无关(也叫固有周期),只要摆长和重力加速度定了周期也就定了,可以说回复力影响周期。
三、单摆的公式中的摆长是摆动圆弧的圆心到摆球重心的距离,而不一定是摆线的长
如图中各摆球可视为质点,各段绳长均为L,图(a)、(b)中摆球做垂直纸面的小角度摆动,图(c)中摆球在纸面内做小角度摆动01为垂直纸面的钉子,而且A01=L/3,求各摆的周期。
图(c)中,摆线摆到竖直位置之前,摆动圆弧的圆心是0, 摆线摆到竖直位置之后,摆动圆弧的圆心是01,摆动是半个周期摆长是L,另半个周期是(L-L/3)=2L/3,则
例1、如图所示小球C有细绳AC和BC共同悬挂于重力场中,已知AC=L,BC=2L,∠ACO=∠BCO=30。,∠OAC=90。,试求质量为m的C质点在垂直纸面方向上摆动的周期。
解析: 双结悬挂点A、B的连线与重力作用线的交点0是摆动圆弧的中心
四、对单摆周期公式中 的理解
⑴悬点固定不动的单摆其回复力仅由重力沿切线的分力提供,g为当地的重力加速度;在地球的不同位置和高度g的取值不同;不同星球上g值也不同。
例2、两个等长的单摆,第一个放在地面上,另一个放在高空,当第一个摆动n次的同时,第二个摆振动n-1次。如果地球半径为R那么,第二个摆离地面的高度为多大?
解析:设第二个摆离地面的高度为h,此处重力加速度g地面的重力加速度g,根据万有引力定律,则
⑵ g与单摆系统的运动状态有关:如:单摆在加速运动的升降机中摆动,此时摆球沿圆弧切线方向的回复力变化,使摆动的周期发生变化。单摆在平衡位置静止不动时有:F=mg,而这时g等于F/m,相类似单摆等效加速度g大小等效为摆球在平衡位置不动时,线的拉力与摆球的质量之比。
例3、如图所示,将摆长为L的单摆栓在升降机中,若升降机以加速度a向下减速下降,求单摆的摆动周期。
解析 单摆的在平衡位置在竖直位置,若摆球相对升降机静止时,则单摆受重力mg和绳子拉力F,根据牛顿第二定律:F—mg=ma 即F=m(a+g), 则单摆的等效重力加速度 =F/m=g+a使摆动的周期发生变化
因而单摆的摆动周期
由此可见单摆的摆动周期变小了。
(3)要明确影响单摆周期变化是有力作用且改变了回复力,以至周期发生了变化,请看下面例题:
例4、有一秒摆,摆球带负电,在垂直纸面向里的匀强磁场中作简谐运动,则振动的周期下列说法正确的是:
A、 振动的周期T=2s
B、 振动的周期T>2s
C、 振动的周期T<2s
D、 无法确定振动的周期的大小
解析 秒摆的周期是两秒,现加上磁场后,摆球在运动中又受到洛仑兹力作用,但洛仑兹力始终沿绳子方向,与运动方向垂直,不改变单摆的回复力,因此对单摆作简谐运动没有影响,所以振动的周期不变选项为A。
例5、将上题图中秒摆悬点0处放有一带正电的点电荷,使摆球带负电,且作简谐振动,如右图,则振动的周期下列说法正确的是:
A、振动的周期T=2s
B、振动的周期T>2s
C、振动的周期T<2s
D、无法确定振动的周期的大小
解析 秒摆的周期是两秒,现加悬点0处放有一带正电的点电荷,使摆球带负电,摆球在运动中受到库仑引力作用,但库仑引力始终沿绳子指向圆心0,与运动方向垂直,不改变,单摆的回复力,因此对单摆作简谐运动没有影响,所以振动的周期不变选项仍为A。
上面两题,如若凭感觉认为增加了一个洛仑兹力作用或库仑引力作用,周期要变化,再用例2、例3的方法就会得出错误的结论。其错误的原因:没有真正对单摆的周期公式的来龙去脉真正理解,只要其回复力仍是由重力的分力mgsinθ来提供,则周期不变。
一、明确单摆的概念
1、定义:在一根不可伸长的轻绳下,系一个可视为质点的小球,悬挂起来构成。
2、单摆做简谐运动的条件:在摆角小于10 。时,近似为简谐运动。
3、单摆振动的回复力:由重力沿切线方向的分力G1提供。如图所示,F=G1=mgsinθ≈mg (X为位移,L为摆长), 可见,在摆角小于10。时,近似为简谐运动。
4、单摆的周期公式:
二、对单摆的深入理解
由单摆的公式可以看出,单摆的周期与振幅和摆球的质量无关。换一个角度看,单摆的回复力是重力沿圆弧切线方向并且指向平衡位置的分力,偏角越大,回复力越大,切向加速度(gsinθ)越大,在相等的时间走过的弧长也越大,所以周期与振幅和摆球的质量无关(也叫固有周期),只要摆长和重力加速度定了周期也就定了,可以说回复力影响周期。
三、单摆的公式中的摆长是摆动圆弧的圆心到摆球重心的距离,而不一定是摆线的长
如图中各摆球可视为质点,各段绳长均为L,图(a)、(b)中摆球做垂直纸面的小角度摆动,图(c)中摆球在纸面内做小角度摆动01为垂直纸面的钉子,而且A01=L/3,求各摆的周期。
图(c)中,摆线摆到竖直位置之前,摆动圆弧的圆心是0, 摆线摆到竖直位置之后,摆动圆弧的圆心是01,摆动是半个周期摆长是L,另半个周期是(L-L/3)=2L/3,则
例1、如图所示小球C有细绳AC和BC共同悬挂于重力场中,已知AC=L,BC=2L,∠ACO=∠BCO=30。,∠OAC=90。,试求质量为m的C质点在垂直纸面方向上摆动的周期。
解析: 双结悬挂点A、B的连线与重力作用线的交点0是摆动圆弧的中心
四、对单摆周期公式中 的理解
⑴悬点固定不动的单摆其回复力仅由重力沿切线的分力提供,g为当地的重力加速度;在地球的不同位置和高度g的取值不同;不同星球上g值也不同。
例2、两个等长的单摆,第一个放在地面上,另一个放在高空,当第一个摆动n次的同时,第二个摆振动n-1次。如果地球半径为R那么,第二个摆离地面的高度为多大?
解析:设第二个摆离地面的高度为h,此处重力加速度g地面的重力加速度g,根据万有引力定律,则
⑵ g与单摆系统的运动状态有关:如:单摆在加速运动的升降机中摆动,此时摆球沿圆弧切线方向的回复力变化,使摆动的周期发生变化。单摆在平衡位置静止不动时有:F=mg,而这时g等于F/m,相类似单摆等效加速度g大小等效为摆球在平衡位置不动时,线的拉力与摆球的质量之比。
例3、如图所示,将摆长为L的单摆栓在升降机中,若升降机以加速度a向下减速下降,求单摆的摆动周期。
解析 单摆的在平衡位置在竖直位置,若摆球相对升降机静止时,则单摆受重力mg和绳子拉力F,根据牛顿第二定律:F—mg=ma 即F=m(a+g), 则单摆的等效重力加速度 =F/m=g+a使摆动的周期发生变化
因而单摆的摆动周期
由此可见单摆的摆动周期变小了。
(3)要明确影响单摆周期变化是有力作用且改变了回复力,以至周期发生了变化,请看下面例题:
例4、有一秒摆,摆球带负电,在垂直纸面向里的匀强磁场中作简谐运动,则振动的周期下列说法正确的是:
A、 振动的周期T=2s
B、 振动的周期T>2s
C、 振动的周期T<2s
D、 无法确定振动的周期的大小
解析 秒摆的周期是两秒,现加上磁场后,摆球在运动中又受到洛仑兹力作用,但洛仑兹力始终沿绳子方向,与运动方向垂直,不改变单摆的回复力,因此对单摆作简谐运动没有影响,所以振动的周期不变选项为A。
例5、将上题图中秒摆悬点0处放有一带正电的点电荷,使摆球带负电,且作简谐振动,如右图,则振动的周期下列说法正确的是:
A、振动的周期T=2s
B、振动的周期T>2s
C、振动的周期T<2s
D、无法确定振动的周期的大小
解析 秒摆的周期是两秒,现加悬点0处放有一带正电的点电荷,使摆球带负电,摆球在运动中受到库仑引力作用,但库仑引力始终沿绳子指向圆心0,与运动方向垂直,不改变,单摆的回复力,因此对单摆作简谐运动没有影响,所以振动的周期不变选项仍为A。
上面两题,如若凭感觉认为增加了一个洛仑兹力作用或库仑引力作用,周期要变化,再用例2、例3的方法就会得出错误的结论。其错误的原因:没有真正对单摆的周期公式的来龙去脉真正理解,只要其回复力仍是由重力的分力mgsinθ来提供,则周期不变。