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《数学课程标准（实验稿）》指出：数学教学活动应是一个互动的过程，课堂教学应是有效的教学，有效的课堂应是一个互动的、动态生成的课堂. 在动态生成的过程中，课堂教学有时会偏离教师预设的教学设计，学生节外生枝或出现错误，如果我们能正视和利用这些“意外的错误”，并把它当作一种有效的教学资源，与学生平等地对话，因势利导，那么这些“意外的错误会产生意外的收获”，成为有效教学的宝贵资源，从而生成高效的课堂.
案例背景：期末复习迎考，其中一张模拟试卷上印有这样一个题目：如图1，某种规格小纸杯的侧面是由一半径为１８ ｃｍ、圆心角是６０°的扇形ＯＡＢ剪去一个半径为１２ ｃｍ的同心扇形ＯＣＤ所围成的（接缝不计）．
（１）求纸杯的底面半径及侧面积（结果可保留π）；
（２）要制作这样一个纸杯的侧面，如果按图2所示的方式剪裁，至少要用多大的矩形纸片（不允许有拼接）？
（３）如果在一张半径为１８ ｃｍ的圆形纸片上剪裁这样的纸杯侧面，最多能裁出多少个？
课堂回放：当讲到这道题时，我采用了小组讨论，每一个小组选派一名代表对本组研究成果进行展示，其他组员可进行补充. 话刚说完，每个小组成员便聚集起来，十分兴奋，个个跃跃欲试.
师：第一小题哪个组来展示？我见王议政已经按捺不住站了起来，便点了他的名.
王：根据扇形卷成圆锥的过程中，半径变母线，周长变弧长. 因而可根据纸杯底面的周长等于扇形ＯＣＤ的弧长，求出底面半径为２；纸杯的侧面积就是扇环的面积，扇环的面积等于大扇形的面积减去小扇形的面积，可求出纸杯的侧面积为30π．
师：王同学思路清晰，讲解简洁，答案正确. 第二小题哪个组来展示？
优秀组长张碧君未等点名，便迅速跑到黑板前，进行了讲解.
张：矩形纸片的大小，就是求矩形的面积，可以转化成求矩形的长和宽，矩形的长就是弦ＡＢ的长，易证△ＡＯＢ是等边三角形，所以ＡＢ ＝ １８ ｃｍ，矩形的宽就是大圆的半径减去小圆的弦ＣＤ的弦心距的差，易证△ＣＯＤ也是等边三角形，所以弦心距是6ｃｍ，因而宽为（１８ － 6）ｃｍ，面积为（324 - 108）cm2；
张同学讲完，同学们报以热烈的掌声，其他小组同学更加热情高涨，积极准备. 见课堂探究展示的气氛很浓，我抓住机遇，接着发问道.
师：第三小题中能制作几个纸杯呢？
我话音刚落，就见“快嘴”翟翌嚷了起来，６个纸杯. 同学们一片大叫：错了. 我示意同学们让她把话说完.
翟：扇形ＯＡＢ的圆心角为６０°，而整圆的圆心角是３６０°，因而可以剪６个. 同组的李心怡同学急忙站了起来，不是６个，因为剩下的余料还可以利用.
师：怎么利用余料呢？
同学们陷入深思，小组间进行了激烈的讨论. ５分钟后，我见时机成熟，便让大家停止了讨论，让有“小数学家”之称的张瑞发言.
张：我认为是８个，剩下的余料还可以剪２个纸杯. 接着他在黑板上画了一个图，进行了讲解. 如图1，在裁剪下的小圆Ｏ的直径ＧＨ上作ＯＫ ＝ ９ ｃｍ，过点Ｋ作弦ＭＮ⊥ＧＨ，根据勾股定理，可得ＭＫ ＝ 3（ｃｍ），而18 - 6 ＜ 3 ＜ ２（18 - 6），所以在直径ＧＨ的一侧只能裁出一个长为１８ ｃｍ，宽为（18 - 6）ｃｍ的矩形. 根据轴对称性，在直径ＧＨ的另一侧也可以裁出一个同样的矩形，在这两个矩形中分别可以裁出１个小纸杯的侧面. 因此在一张半径为１８ ｃｍ的圆形纸片上最多能剪裁８个小纸杯的侧面. （见图3）
同学们报以更加热烈的掌声，纷纷叹服张的数学才能. 我急忙翻看答案，张同学的解答和答案一模一样，答案也是８个，于是我打算结束此题的讲解. 不料，又有同学举手. 我一看，是“小诸葛”韩子壮，他脸涨得通红. 我索性来了兴趣，看看他有何高见？
韩：老师有９个，剩下的余料可以剪３个.
真是一石激起千层浪，教室里炸开了锅. 我也吃了一惊，我示意他到黑板上展示. 他在黑板上画了一个图，急急地讲了起来. 如图4，把剩下的小圆Ｏ三等分，分别取ＯＤ，ＯＥ的中点Ｍ，Ｎ，画弧ＭＮ. 通过计算可知弧ＣＤ的长为8π，弧ＭＮ的长为4π，扇环ＤＭＮＥ的半径为６，在弧ＤＥ上截取ＤＦ ＝ ＥＧ ＝ π，那么扇环ＦＭＮＧ就可以做成一个符合要求的纸杯. 这样的纸杯有３个，因而可以制作９个纸杯. 对于他的解答，说实在的，我心里也没底. 于是我说，大家再讨论一下，他的解答有没有值得质疑的地方？于是各个小组又热闹起来，热火朝天地争辩起来. 不一会儿，便有人举起了手. 我一看是小组长周可可，急忙请她讲解.
周：虽然弧ＦＧ的长度是6π，弧ＭＮ的长是4π，扇环半径也是６，但不能做成同样大小的纸杯，因为弧ＦＧ与弧ＡＢ不是等弧，它们不是在同圆和等圆中，不可能完全重合.
同学们又纷纷鼓掌表示信服. 究竟是８个还是９个呢？课堂再一次陷入沉思. 见此情景，我启发道，刚才韩同学的解答中是因为裁剪的扇环不是在等圆中，我们有办法让它们在等圆中吗？此时张瑞同学又举起了手，他说确实是９个. 他又在黑板上重新画了一个图.
张：如图5，把大圆分成６等份，分别取小圆的弧ＥＣ，ＤＣ的中点Ｇ，Ｈ，过Ｇ，Ｈ分别作ＯＥ，ＯＤ的垂线，交ＯＣ的延长线于点Ｐ，连接ＯＧ. 则Ｒｔ△ＯＥＧ中，ＯＧ ＝ １２，∠ＥＯＧ ＝ 90°，则ＥＧ ＝ ６，在△ＧＯＰ， ∠ＧＯＣ ＝ ∠ＧＰＯ ＝ ３０°，则ＧＰ ＝ ＯＧ ＝ １２，ＭＰ＝１８．则扇环ＭＧＨＮ与扇环ＡＢＤＣ完全重合，因而余料可制作３个纸杯，整圆可制作９个纸杯. 教室里又一次响起了雷鸣般的掌声. 我立即宣布，可制作９个纸杯. 此时，悦耳的下课铃声刚好响起.
课堂反思 数学课堂教学是一个动态生成的过程，是实践的艺术，没有彩排，有时预设能够按照教师的意愿生成，有时则完全出乎意料. 因而要理性地对待课堂中的“意外”，在课堂教学的实践中，学生出现错误不是偶然，而是课堂教学过程中的常态和必然，对于学生课堂中出现的即兴的提问、独特的见解等意外，教师不要断然否定或搪塞过关，更不要压制，而要顺势而为，因势利导，及时抓住这些“意外”， 加以利用、延伸和拓展，激发学生探究的欲望，把学生的思维引向深处，引起学生真正的思维交锋，使之成为学生掌握知识、提高能力、优化思维、培养情感的生长点. 只有这样，才能点燃学生思维的火花，让一个个创新的泉眼喷出智慧的清泉，生成高效的课堂.
注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文
案例背景：期末复习迎考，其中一张模拟试卷上印有这样一个题目：如图1，某种规格小纸杯的侧面是由一半径为１８ ｃｍ、圆心角是６０°的扇形ＯＡＢ剪去一个半径为１２ ｃｍ的同心扇形ＯＣＤ所围成的（接缝不计）．
（１）求纸杯的底面半径及侧面积（结果可保留π）；
（２）要制作这样一个纸杯的侧面，如果按图2所示的方式剪裁，至少要用多大的矩形纸片（不允许有拼接）？
（３）如果在一张半径为１８ ｃｍ的圆形纸片上剪裁这样的纸杯侧面，最多能裁出多少个？
课堂回放：当讲到这道题时，我采用了小组讨论，每一个小组选派一名代表对本组研究成果进行展示，其他组员可进行补充. 话刚说完，每个小组成员便聚集起来，十分兴奋，个个跃跃欲试.
师：第一小题哪个组来展示？我见王议政已经按捺不住站了起来，便点了他的名.
王：根据扇形卷成圆锥的过程中，半径变母线，周长变弧长. 因而可根据纸杯底面的周长等于扇形ＯＣＤ的弧长，求出底面半径为２；纸杯的侧面积就是扇环的面积，扇环的面积等于大扇形的面积减去小扇形的面积，可求出纸杯的侧面积为30π．
师：王同学思路清晰，讲解简洁，答案正确. 第二小题哪个组来展示？
优秀组长张碧君未等点名，便迅速跑到黑板前，进行了讲解.
张：矩形纸片的大小，就是求矩形的面积，可以转化成求矩形的长和宽，矩形的长就是弦ＡＢ的长，易证△ＡＯＢ是等边三角形，所以ＡＢ ＝ １８ ｃｍ，矩形的宽就是大圆的半径减去小圆的弦ＣＤ的弦心距的差，易证△ＣＯＤ也是等边三角形，所以弦心距是6ｃｍ，因而宽为（１８ － 6）ｃｍ，面积为（324 - 108）cm2；
张同学讲完，同学们报以热烈的掌声，其他小组同学更加热情高涨，积极准备. 见课堂探究展示的气氛很浓，我抓住机遇，接着发问道.
师：第三小题中能制作几个纸杯呢？
我话音刚落，就见“快嘴”翟翌嚷了起来，６个纸杯. 同学们一片大叫：错了. 我示意同学们让她把话说完.
翟：扇形ＯＡＢ的圆心角为６０°，而整圆的圆心角是３６０°，因而可以剪６个. 同组的李心怡同学急忙站了起来，不是６个，因为剩下的余料还可以利用.
师：怎么利用余料呢？
同学们陷入深思，小组间进行了激烈的讨论. ５分钟后，我见时机成熟，便让大家停止了讨论，让有“小数学家”之称的张瑞发言.
张：我认为是８个，剩下的余料还可以剪２个纸杯. 接着他在黑板上画了一个图，进行了讲解. 如图1，在裁剪下的小圆Ｏ的直径ＧＨ上作ＯＫ ＝ ９ ｃｍ，过点Ｋ作弦ＭＮ⊥ＧＨ，根据勾股定理，可得ＭＫ ＝ 3（ｃｍ），而18 - 6 ＜ 3 ＜ ２（18 - 6），所以在直径ＧＨ的一侧只能裁出一个长为１８ ｃｍ，宽为（18 - 6）ｃｍ的矩形. 根据轴对称性，在直径ＧＨ的另一侧也可以裁出一个同样的矩形，在这两个矩形中分别可以裁出１个小纸杯的侧面. 因此在一张半径为１８ ｃｍ的圆形纸片上最多能剪裁８个小纸杯的侧面. （见图3）
同学们报以更加热烈的掌声，纷纷叹服张的数学才能. 我急忙翻看答案，张同学的解答和答案一模一样，答案也是８个，于是我打算结束此题的讲解. 不料，又有同学举手. 我一看，是“小诸葛”韩子壮，他脸涨得通红. 我索性来了兴趣，看看他有何高见？
韩：老师有９个，剩下的余料可以剪３个.
真是一石激起千层浪，教室里炸开了锅. 我也吃了一惊，我示意他到黑板上展示. 他在黑板上画了一个图，急急地讲了起来. 如图4，把剩下的小圆Ｏ三等分，分别取ＯＤ，ＯＥ的中点Ｍ，Ｎ，画弧ＭＮ. 通过计算可知弧ＣＤ的长为8π，弧ＭＮ的长为4π，扇环ＤＭＮＥ的半径为６，在弧ＤＥ上截取ＤＦ ＝ ＥＧ ＝ π，那么扇环ＦＭＮＧ就可以做成一个符合要求的纸杯. 这样的纸杯有３个，因而可以制作９个纸杯. 对于他的解答，说实在的，我心里也没底. 于是我说，大家再讨论一下，他的解答有没有值得质疑的地方？于是各个小组又热闹起来，热火朝天地争辩起来. 不一会儿，便有人举起了手. 我一看是小组长周可可，急忙请她讲解.
周：虽然弧ＦＧ的长度是6π，弧ＭＮ的长是4π，扇环半径也是６，但不能做成同样大小的纸杯，因为弧ＦＧ与弧ＡＢ不是等弧，它们不是在同圆和等圆中，不可能完全重合.
同学们又纷纷鼓掌表示信服. 究竟是８个还是９个呢？课堂再一次陷入沉思. 见此情景，我启发道，刚才韩同学的解答中是因为裁剪的扇环不是在等圆中，我们有办法让它们在等圆中吗？此时张瑞同学又举起了手，他说确实是９个. 他又在黑板上重新画了一个图.
张：如图5，把大圆分成６等份，分别取小圆的弧ＥＣ，ＤＣ的中点Ｇ，Ｈ，过Ｇ，Ｈ分别作ＯＥ，ＯＤ的垂线，交ＯＣ的延长线于点Ｐ，连接ＯＧ. 则Ｒｔ△ＯＥＧ中，ＯＧ ＝ １２，∠ＥＯＧ ＝ 90°，则ＥＧ ＝ ６，在△ＧＯＰ， ∠ＧＯＣ ＝ ∠ＧＰＯ ＝ ３０°，则ＧＰ ＝ ＯＧ ＝ １２，ＭＰ＝１８．则扇环ＭＧＨＮ与扇环ＡＢＤＣ完全重合，因而余料可制作３个纸杯，整圆可制作９个纸杯. 教室里又一次响起了雷鸣般的掌声. 我立即宣布，可制作９个纸杯. 此时，悦耳的下课铃声刚好响起.
课堂反思 数学课堂教学是一个动态生成的过程，是实践的艺术，没有彩排，有时预设能够按照教师的意愿生成，有时则完全出乎意料. 因而要理性地对待课堂中的“意外”，在课堂教学的实践中，学生出现错误不是偶然，而是课堂教学过程中的常态和必然，对于学生课堂中出现的即兴的提问、独特的见解等意外，教师不要断然否定或搪塞过关，更不要压制，而要顺势而为，因势利导，及时抓住这些“意外”， 加以利用、延伸和拓展，激发学生探究的欲望，把学生的思维引向深处，引起学生真正的思维交锋，使之成为学生掌握知识、提高能力、优化思维、培养情感的生长点. 只有这样，才能点燃学生思维的火花，让一个个创新的泉眼喷出智慧的清泉，生成高效的课堂.
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