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对于一道数学问题，若能引导学生从不同的角度多思多想，激活思维的源泉，往往能获得多种不同的解题途径.这不仅对于加强基础知识之间的联系、帮助学生训练基本技能、追求好的解题方法是非常必要的，而且更重要的是，能培养学生思维的灵活性、发散性、广阔性和深刻性，进一步提高学生的观察分析能力、探索发现能力，从而使学生更好地吸取习题的营养价值.在三角函数的教学中，在解决已知三角函数值求值的问题时，多数学生开始惯用的方法：展开解方程组.该方法易想，但我们老师肯定会去纠正这种做法.我觉得如果我们对学生的纠正不当的话，学生是不会接受的.即使当时接受了，一段时间后解该类问题时，展开解方程组的方法仍将占很大的比例.这里仅以几道三角习题的求解加以说明学生的惯用法：展开法的妙用及给我的启发.
一、 必修4课本95页例2：［已知cos(α+β)=513,cosβ=45,α,β为锐角，求sinα的值.］
多数学生做法：
方法1：
解：展开cos(α+β)=513，得cosαcosβ-sinαsinβ=513
又cosβ=45,β为锐角，得sinβ=35
所以45cosα-35sinα=513（1）
又sin2α+cos2α=1且α为锐角（2）
由（1）、（2），解得sinα=3365
分析：作为老师，肯定会否定这个方法，该方法也确实不好.但我们不能全盘否定.我们至少要让学生明白：为什么不好、怎么样才好.
1. 为什么不好：由（1）、（2），解得sinα=3365，对真正去解方程组的得出sinα=3365的同学肯定会意识到该方程组难解.不好的原因自然是：由（1）、（2）联立方程组难解.
2. 怎么样才好：
对于怎样才好，首先我们不能全盘否定学生的做法，应该肯定学生的方法是对的.
我们很自然会介绍课本所给的方法：
方法2：
解：由α,β均为锐角，可知
0°<α+β<180°,sinβ>0,sin(α+β)>0
又由cos(α+β)=513，cosβ=45,得sin(α+β)=1213,sinβ=35
所以，sinα=sin［(α+β)-β］=sin(α+β)cosβ-cos(α+β)sinβ
=1213×45-513×35=3365
该方法固然好，学生也一定要掌握，但初学者刚学三角求值问题，根本没有该方面的意识，有的只是公式的展开的应用，要培养该方面的意识，只有不断的模仿、不断的练习、不断的感受体会.
是不是只有该方法才好？
方法1好想，但难点在于由（1）、（2）联立的方程组难解.然而有学生给出了突破难点的方法：
方法3：展开法
解：展开cos(α+β)=513，得cosαcosβ-sinαsinβ=513
又cosβ=45，得sinβ=35
所以45cosα-35sinα=513（1）
又由α,β均为锐角，可知
0°<α+β<180°,sinβ>0,sin(α+β)>0
又由cos(α+β)=513,cosβ=45，得sin(α+β)=1213,sinβ=35
展开sin(α+β)=1213=sinαcosβ+cosαsinβ，
即45sinα+35cosα=1213（2）
由（1）、（2）解得sinα=3365
此方法学生很易接受，原因在于：首先没有改变他原有的想法，但比原来的方法更进一步，让他感受到突破难点的方法.学生的思维是连续的，在其思考的过程中，当遇到难点不能解决时，一般很难跳出原有的想法，但一旦原有的想法被突破，他将对此类问题认识的更透彻，掌握的更牢靠，更能灵活应用.通过比较方法1、2、3让学生感受体会三种方法的优劣.
启发1：在已知α±β的正弦或余弦值时，求α或β的正弦或余弦值时，可用类似上述方法3的办法来解题.
如：课本第99页习题：已知α∈0,π2,β∈π2,π，cosβ=-13,sin(α+β)=1213,求sinα的值.
学生做后发现：没有用方法1的学生，有学生用方法2，有学生用方法3，还有用两种方法的.通过比较，体验，学生对方法2、3认识的更深刻.很明显学生自己已经认识到了方法2、3，掌握了方法2、3.
二、 必修4课本102页练习3：已知tan(α+β)=13,tanα=-2求tanβ的值.
一道看似简单的题目，但学生的做法并不是我们想法，大多数惯用法还是展开法.
我们一般解法：角变换
方法1：
因为tan(α+β)=13,tanα=-2,
所以tanβ=tan［(α+β)-α］=tan(α+β)-tanα1+tan(α+β)tanα=13-(-2)1+13•(-2)=7
学生的解法：展开法
方法2：展开tan(α+β)=13=tanα+tanβ1-tanαtanβ
得，13=-2+tanβ1-(-2)tanβ，解得，tanβ=7
可见，已知正切值，求三角函数值时展开法是非常有用的，比已知正弦或余弦求值要简单多了.
启发2：三角求值时，我们可以将问题转化为先求正切值，再求其他三角函数值.
于是，一些以前的一些题目又有了新的解法：
如：
（一） 必修4课本第104页习题6：在锐角三角形ABC中，sinA=35,tan(A-B)=-13,
求sinB的值.
解：由tan(A-B)=-13展开，得tanA-tanB1+tanAtanB=-13（1）
又由sinA=35A为锐角，得tanA=34（2）
把（2）代入（1），得34-tanB1+34tanB=-13所以tanB=139
而B为锐角，所以sinB=131050
（二） 上述问题一：
解：由α,β均为锐角，可知
0°<α+β<180°,sinβ>0,sin(α+β)>0
又由cos(α+β)=513,cosβ=45，得tan(α+β)=125,tanβ=34
展开tan(α+β)=125=tanα+tanβ1-tanαtanβ
把tanβ=34代入，得tan(α+β)=125=tanα+341-34tanα
解得，tanα=3356
而α为锐角，所以sinα=3365
数学知识并非孤立、离散地存在的，而是相互之间有着千丝万缕的联系.以上的做法，既肯定了学生们惯用方法正确的一面，用通过研究、优化，让学生、让我自己从中得到启发，培养了学生的批判能力和研究问题的能力，更开阔了学生的思维.当我们引导学生展开多思多想时，将学生已有的想法进行肯定、进行优化、进行小结时，知识信息的内在联系就会越发明朗起来，为学生也为我解决问题提供了丰富的信息资源.实践证明，只要我们善于引导学生广泛联系，多思多想，那么解题思路就会不断涌现.
一、 必修4课本95页例2：［已知cos(α+β)=513,cosβ=45,α,β为锐角，求sinα的值.］
多数学生做法：
方法1：
解：展开cos(α+β)=513，得cosαcosβ-sinαsinβ=513
又cosβ=45,β为锐角，得sinβ=35
所以45cosα-35sinα=513（1）
又sin2α+cos2α=1且α为锐角（2）
由（1）、（2），解得sinα=3365
分析：作为老师，肯定会否定这个方法，该方法也确实不好.但我们不能全盘否定.我们至少要让学生明白：为什么不好、怎么样才好.
1. 为什么不好：由（1）、（2），解得sinα=3365，对真正去解方程组的得出sinα=3365的同学肯定会意识到该方程组难解.不好的原因自然是：由（1）、（2）联立方程组难解.
2. 怎么样才好：
对于怎样才好，首先我们不能全盘否定学生的做法，应该肯定学生的方法是对的.
我们很自然会介绍课本所给的方法：
方法2：
解：由α,β均为锐角，可知
0°<α+β<180°,sinβ>0,sin(α+β)>0
又由cos(α+β)=513，cosβ=45,得sin(α+β)=1213,sinβ=35
所以，sinα=sin［(α+β)-β］=sin(α+β)cosβ-cos(α+β)sinβ
=1213×45-513×35=3365
该方法固然好，学生也一定要掌握，但初学者刚学三角求值问题，根本没有该方面的意识，有的只是公式的展开的应用，要培养该方面的意识，只有不断的模仿、不断的练习、不断的感受体会.
是不是只有该方法才好？
方法1好想，但难点在于由（1）、（2）联立的方程组难解.然而有学生给出了突破难点的方法：
方法3：展开法
解：展开cos(α+β)=513，得cosαcosβ-sinαsinβ=513
又cosβ=45，得sinβ=35
所以45cosα-35sinα=513（1）
又由α,β均为锐角，可知
0°<α+β<180°,sinβ>0,sin(α+β)>0
又由cos(α+β)=513,cosβ=45，得sin(α+β)=1213,sinβ=35
展开sin(α+β)=1213=sinαcosβ+cosαsinβ，
即45sinα+35cosα=1213（2）
由（1）、（2）解得sinα=3365
此方法学生很易接受，原因在于：首先没有改变他原有的想法，但比原来的方法更进一步，让他感受到突破难点的方法.学生的思维是连续的，在其思考的过程中，当遇到难点不能解决时，一般很难跳出原有的想法，但一旦原有的想法被突破，他将对此类问题认识的更透彻，掌握的更牢靠，更能灵活应用.通过比较方法1、2、3让学生感受体会三种方法的优劣.
启发1：在已知α±β的正弦或余弦值时，求α或β的正弦或余弦值时，可用类似上述方法3的办法来解题.
如：课本第99页习题：已知α∈0,π2,β∈π2,π，cosβ=-13,sin(α+β)=1213,求sinα的值.
学生做后发现：没有用方法1的学生，有学生用方法2，有学生用方法3，还有用两种方法的.通过比较，体验，学生对方法2、3认识的更深刻.很明显学生自己已经认识到了方法2、3，掌握了方法2、3.
二、 必修4课本102页练习3：已知tan(α+β)=13,tanα=-2求tanβ的值.
一道看似简单的题目，但学生的做法并不是我们想法，大多数惯用法还是展开法.
我们一般解法：角变换
方法1：
因为tan(α+β)=13,tanα=-2,
所以tanβ=tan［(α+β)-α］=tan(α+β)-tanα1+tan(α+β)tanα=13-(-2)1+13•(-2)=7
学生的解法：展开法
方法2：展开tan(α+β)=13=tanα+tanβ1-tanαtanβ
得，13=-2+tanβ1-(-2)tanβ，解得，tanβ=7
可见，已知正切值，求三角函数值时展开法是非常有用的，比已知正弦或余弦求值要简单多了.
启发2：三角求值时，我们可以将问题转化为先求正切值，再求其他三角函数值.
于是，一些以前的一些题目又有了新的解法：
如：
（一） 必修4课本第104页习题6：在锐角三角形ABC中，sinA=35,tan(A-B)=-13,
求sinB的值.
解：由tan(A-B)=-13展开，得tanA-tanB1+tanAtanB=-13（1）
又由sinA=35A为锐角，得tanA=34（2）
把（2）代入（1），得34-tanB1+34tanB=-13所以tanB=139
而B为锐角，所以sinB=131050
（二） 上述问题一：
解：由α,β均为锐角，可知
0°<α+β<180°,sinβ>0,sin(α+β)>0
又由cos(α+β)=513,cosβ=45，得tan(α+β)=125,tanβ=34
展开tan(α+β)=125=tanα+tanβ1-tanαtanβ
把tanβ=34代入，得tan(α+β)=125=tanα+341-34tanα
解得，tanα=3356
而α为锐角，所以sinα=3365
数学知识并非孤立、离散地存在的，而是相互之间有着千丝万缕的联系.以上的做法，既肯定了学生们惯用方法正确的一面，用通过研究、优化，让学生、让我自己从中得到启发，培养了学生的批判能力和研究问题的能力，更开阔了学生的思维.当我们引导学生展开多思多想时，将学生已有的想法进行肯定、进行优化、进行小结时，知识信息的内在联系就会越发明朗起来，为学生也为我解决问题提供了丰富的信息资源.实践证明，只要我们善于引导学生广泛联系，多思多想，那么解题思路就会不断涌现.