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一、“反例教学法”的产生背景
现代信息技术的飞速发展及其日益在学校教育领域的应用，给学校教育带来了发展的机遇，也使学校教育再次面临严峻的挑战。现行学校教育方式在未来社会的前景如何？信息技术的发展最终会为教学方式带来什么样的变革？这在今天是一件难以预料的事。目前，随着我国基础教育课程的逐步深入，课程理论研究正面临极好的机遇和极大的挑战，改革实践呼唤科学的课程理论给以指导，因此教学方法的改革将会是这个时代教育中最突出的特征，学生在课程教学中的主体地位，学生的主动学习无疑将日益突出，广大教育工作者必须全身心投入到教材教法的研究，勇敢地实践摸索出一些成功的教学方法，以适应时代的需要。然而，中学数学教学的现状令人担忧，广大地区存在教法落后、效果不佳等问题，其中教法的问题尤其明显，教师常常是凭借一支粉笔、一块黑板，一讲到底，采用“灌输式”、“填鸭式”教学方法是导致这种现象的现实温床或根源，松散低效的教学管理过程和片面的教学评价标准是形成这种现象的直接原因，一些数学教师本人也负有不可推卸的责任。在数学教学中运用“反例教学法”非常有利于改变上述状况，本文结合自己的教学实践，对“反例教学法”在数学教学中的运用做了一些研究。
二、“反例教学法”的定义
反例教学法是指在教师指导下，根据教学目标和内容的需要，采用典型例题的典型错误解法或错误认识组织学生进行学习、寻找、探讨错误的地方与原因，达到真正完全掌握数学基本概念、性质，并最大限度地避免解题出错的一种教学方法。简言之，反例教学法实质上是指教师呈现少数例题，引导学生进行批判的一种教学方法。这种教学方法脱胎于首创于哈佛大学的案例教学法，它最早被运用于 19 世纪后半叶的法律教学中，教师选择个别犯罪案例进行剖析，让学生学习法学的基本知识和理论，以后被运用于医学、心理学、管理学等学科研究与教学之中。
反例教学法中的反例有特定的内涵，这里的反例是指教师在教育实践中收集的典型例题的典型误解、重要知识点的典型错误认识，所谓典型是指它有丰富的教学价值，通过分析例题的错解、知识点的错误认识能够揭示出解题的规律和方法，掌握重要的知识点，巩固学生所学知识的薄弱环节。反例教学比较耗费时间和精力，如果反例庞杂，则教师和学生会为反例的数量和细节所拖累，造成事倍功半，倘若是教师信手拈来的几个反例，那么其教学意义就十分有限，因此，反例必须典型、精制、简炼。
三、“反例教学法”的实施过程
采用反例教学法进行数学教学时，在教学过程中，教师的施教方法和学生的学习方法上都有一系列规范，主要反映在以下几个操作步骤之中。
（一）选编反例。这是实施反例教学法的基础和前提，要动员教师集体编写反例，每个教师至少要准备 20 ～ 30 个反例，这些反例具有一定的教学价值，编好之后，存入反例库中，随时供教学使用，选择和编排反例具体要求有以下几点：
第一，反例必须从教学实践中来，真实、生动。如果是教师自己编写的也必须符合客观实际。
第二，反例必须精炼。选择反例的数量不能多，运用反例的目的是为了使学生掌握抽象的数学概念、性质，不能不加选择地大量地罗列反例，只需要选择那些高质量的少数典型反例。因为反例教学法是使教师和学生借助分析少数有代表性的反例，从而获得整体性、全面性的知识的方法，我们不可能在短时间里收集和列举所有的实际反例，可以抓住与某部分知识有关的几个典型例子加以剖析，从而把握概念的本质特征。
第三，反例必须典型。反例要能代表概念性质对象的特点，倘若随手拈来几个反例，则其意义和教育价值就有局限性，典型的反例可以是综合知识量大的部分，也可以是概念、知识点的某个性质。
第四，反例必须有针对性。应该针对所讲的教学内容和教学实际和学生的接受能力来选择和编排反例。
第五，反例必须具有系统性。在教学中选用的反例应该相互联系，由简单到复杂，分层次地有序地编排，反例整体排列结构的合理化能发挥反例教学法的最大教育功效。
（二）呈现反例。反例的呈现应放在讲授基础知识之后，既可以在讲授某一块知识时显现，也可以在讲完一個单元或一个章节之后呈现，呈现的方式有以下几种：
第一，给每个学生印发一份文字反例，第二，运用投影仪将反例投射到黑板上，第三，教师利用多媒体技术呈现反例，第四，教师利用即时刺激或环境请学生板演制造真实的反例。
（三）分析反例。对于同一个反例，每个学生可以发挥出不同的意义，有人只能找到浅层的信息，有人则能得到透彻的知识面，从而对症下药，教师要引导学生发现揭示反例的本质错误。分析反例的关键是学生和教师共同努力，把反例中的内容与相应的一个或几个知识点联系起来，为此，教师要做好启发引导工作，让学生综合运用所学的知识积极地去独立思考，大胆地交流研讨，同时教师要创设民主和谐的教学气氛，即使学生的思考和回答偏离了正确答案，也不要急于评判，可以让他们自己反省，自我更正，使学生在没有压力和顾忌的良好心态下进行创造性的探索。
四、“反例教学法”在教学中的重要意义
反例教学法强调借助实际材料来说明教学观点，所运用的实际材料具有较强的完整性、典型性、操作的过程具有规范性和系统性，又比较灵活、随意，反例在教学中虽处于次要地位或辅助教学地位，但他是培养学生主动性和能力的一种手段，是教师和学生共同活动的对象，是讲解知识的一种手段，它有利于学生更好地掌握各种数学理论知识。
反例教学法重视具有典型意义的教学内容，教学思路由特殊到一般，借助于精选的题材，培养学生主动学习、发现问题的独特思考能力，发展学生的创造力，其意义存在于以下方面。
1、能丰富和加深学生对抽象数学理论的理解，对数学概念、性质、定理有比较清晰的认识。教师运用的反例必须由简单到复杂，同时具有典型、形象、直观等特点，给人以身临其境的感觉，易于学习、理解，通过反例能加强学生的感知印象，有利于学生将所学知识内化。
2、能发展学生的综合分析能力和创造力。每个反例都有核心部分和枝节部分，要引导学生排除枝节部分的干扰，重点把握反例的核心部分。核心部分与概念性质有密切关系，但这种对应关系不是一一对应的简单联系，有时一个反例对应着三四个基本概念、性质。学生需要综合运用数学知识来分析反例中蕴藏的知识点，也需要从反例的线索引申开去，创造性地认识反例所反映的一般情形，独立地发表自己的见解。
现代信息技术的飞速发展及其日益在学校教育领域的应用，给学校教育带来了发展的机遇，也使学校教育再次面临严峻的挑战。现行学校教育方式在未来社会的前景如何？信息技术的发展最终会为教学方式带来什么样的变革？这在今天是一件难以预料的事。目前，随着我国基础教育课程的逐步深入，课程理论研究正面临极好的机遇和极大的挑战，改革实践呼唤科学的课程理论给以指导，因此教学方法的改革将会是这个时代教育中最突出的特征，学生在课程教学中的主体地位，学生的主动学习无疑将日益突出，广大教育工作者必须全身心投入到教材教法的研究，勇敢地实践摸索出一些成功的教学方法，以适应时代的需要。然而，中学数学教学的现状令人担忧，广大地区存在教法落后、效果不佳等问题，其中教法的问题尤其明显，教师常常是凭借一支粉笔、一块黑板，一讲到底，采用“灌输式”、“填鸭式”教学方法是导致这种现象的现实温床或根源，松散低效的教学管理过程和片面的教学评价标准是形成这种现象的直接原因，一些数学教师本人也负有不可推卸的责任。在数学教学中运用“反例教学法”非常有利于改变上述状况，本文结合自己的教学实践，对“反例教学法”在数学教学中的运用做了一些研究。
二、“反例教学法”的定义
反例教学法是指在教师指导下，根据教学目标和内容的需要，采用典型例题的典型错误解法或错误认识组织学生进行学习、寻找、探讨错误的地方与原因，达到真正完全掌握数学基本概念、性质，并最大限度地避免解题出错的一种教学方法。简言之，反例教学法实质上是指教师呈现少数例题，引导学生进行批判的一种教学方法。这种教学方法脱胎于首创于哈佛大学的案例教学法，它最早被运用于 19 世纪后半叶的法律教学中，教师选择个别犯罪案例进行剖析，让学生学习法学的基本知识和理论，以后被运用于医学、心理学、管理学等学科研究与教学之中。
反例教学法中的反例有特定的内涵，这里的反例是指教师在教育实践中收集的典型例题的典型误解、重要知识点的典型错误认识，所谓典型是指它有丰富的教学价值，通过分析例题的错解、知识点的错误认识能够揭示出解题的规律和方法，掌握重要的知识点，巩固学生所学知识的薄弱环节。反例教学比较耗费时间和精力，如果反例庞杂，则教师和学生会为反例的数量和细节所拖累，造成事倍功半，倘若是教师信手拈来的几个反例，那么其教学意义就十分有限，因此，反例必须典型、精制、简炼。
三、“反例教学法”的实施过程
采用反例教学法进行数学教学时，在教学过程中，教师的施教方法和学生的学习方法上都有一系列规范，主要反映在以下几个操作步骤之中。
（一）选编反例。这是实施反例教学法的基础和前提，要动员教师集体编写反例，每个教师至少要准备 20 ～ 30 个反例，这些反例具有一定的教学价值，编好之后，存入反例库中，随时供教学使用，选择和编排反例具体要求有以下几点：
第一，反例必须从教学实践中来，真实、生动。如果是教师自己编写的也必须符合客观实际。
第二，反例必须精炼。选择反例的数量不能多，运用反例的目的是为了使学生掌握抽象的数学概念、性质，不能不加选择地大量地罗列反例，只需要选择那些高质量的少数典型反例。因为反例教学法是使教师和学生借助分析少数有代表性的反例，从而获得整体性、全面性的知识的方法，我们不可能在短时间里收集和列举所有的实际反例，可以抓住与某部分知识有关的几个典型例子加以剖析，从而把握概念的本质特征。
第三，反例必须典型。反例要能代表概念性质对象的特点，倘若随手拈来几个反例，则其意义和教育价值就有局限性，典型的反例可以是综合知识量大的部分，也可以是概念、知识点的某个性质。
第四，反例必须有针对性。应该针对所讲的教学内容和教学实际和学生的接受能力来选择和编排反例。
第五，反例必须具有系统性。在教学中选用的反例应该相互联系，由简单到复杂，分层次地有序地编排，反例整体排列结构的合理化能发挥反例教学法的最大教育功效。
（二）呈现反例。反例的呈现应放在讲授基础知识之后，既可以在讲授某一块知识时显现，也可以在讲完一個单元或一个章节之后呈现，呈现的方式有以下几种：
第一，给每个学生印发一份文字反例，第二，运用投影仪将反例投射到黑板上，第三，教师利用多媒体技术呈现反例，第四，教师利用即时刺激或环境请学生板演制造真实的反例。
（三）分析反例。对于同一个反例，每个学生可以发挥出不同的意义，有人只能找到浅层的信息，有人则能得到透彻的知识面，从而对症下药，教师要引导学生发现揭示反例的本质错误。分析反例的关键是学生和教师共同努力，把反例中的内容与相应的一个或几个知识点联系起来，为此，教师要做好启发引导工作，让学生综合运用所学的知识积极地去独立思考，大胆地交流研讨，同时教师要创设民主和谐的教学气氛，即使学生的思考和回答偏离了正确答案，也不要急于评判，可以让他们自己反省，自我更正，使学生在没有压力和顾忌的良好心态下进行创造性的探索。
四、“反例教学法”在教学中的重要意义
反例教学法强调借助实际材料来说明教学观点，所运用的实际材料具有较强的完整性、典型性、操作的过程具有规范性和系统性，又比较灵活、随意，反例在教学中虽处于次要地位或辅助教学地位，但他是培养学生主动性和能力的一种手段，是教师和学生共同活动的对象，是讲解知识的一种手段，它有利于学生更好地掌握各种数学理论知识。
反例教学法重视具有典型意义的教学内容，教学思路由特殊到一般，借助于精选的题材，培养学生主动学习、发现问题的独特思考能力，发展学生的创造力，其意义存在于以下方面。
1、能丰富和加深学生对抽象数学理论的理解，对数学概念、性质、定理有比较清晰的认识。教师运用的反例必须由简单到复杂，同时具有典型、形象、直观等特点，给人以身临其境的感觉，易于学习、理解，通过反例能加强学生的感知印象，有利于学生将所学知识内化。
2、能发展学生的综合分析能力和创造力。每个反例都有核心部分和枝节部分，要引导学生排除枝节部分的干扰，重点把握反例的核心部分。核心部分与概念性质有密切关系，但这种对应关系不是一一对应的简单联系，有时一个反例对应着三四个基本概念、性质。学生需要综合运用数学知识来分析反例中蕴藏的知识点，也需要从反例的线索引申开去，创造性地认识反例所反映的一般情形，独立地发表自己的见解。