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什么是小学生的数学活动经验？在小学数学教学中如何进行教学设计能帮助学生积累数学活动经验？我以“烙饼问题”为例进行分析。
“数学基本活动经验”是小学生在参与数学基本活动中，经历探究、思考、抽象、猜想、推理、反思等过程获得的数学知识、技能、智慧、情感与观念等内容组成的有机组合性经验。其中，既包括认知的经验，动作技能性经验，也包括情感的经验，意志、观念等层面的经验，其核心是“如何思考”的经验：建立自己的数学现实和数学学习的直觉，学会运用数学的思维方式进行思考。在“烙饼问题”的学习中，教师需要帮助学生积累如下数学活动经验：树立数学问题来源于现实问题又抽象超越现实问题的观念，学会恰当的数学表达和表示的认知经验，感悟规律或模型的认知经验，优化的观念和有序思考的认知经验等。帮助学生积累数学活动经验，把握教学的下列四个“细节”至关重要。
一、“教学目标”让数学基本活动經验的积累“指向明确”
“烙饼问题”是人教版四年级上册“数学广角—优化”内容的例2（见图1），通过讨论烙饼时怎样合理安排操作最节省时间，让学生体会问题解决过程中优化思想的应用。
基于上述对本节课所要落实的数学基本活动经验的分析，本节课的教学目标包括三个方面，分别是：
1.知识、方法目标：使学生了解和认识到在既定规则下，烙饼最短时间与饼的张数和烙熟一面所用的时间是有关系的、有规律的，帮助学生理解其规律。
2.数学思考目标：使学生初步体会优化思想在解决问题中的应用，使学生经历问题解决的优化过程，培养学生有序思考、运用优化方法解决问题的意识。通过观察、操作、比较、讨论等活动，培养学生用恰当的方式进行数学表达和
表示。
3.情感、态度、价值观目标：通过探究活动，让学生体验数学问题来源于生活又高于生活，充分感受数学与生活的密切联系。
以上三方面教学目标都指向学生统筹优化的思维方式经验的积累。知识方法方面指向烙饼的优化与哪些因素有关，有怎样的关系；数学思考指向让学生经历烙饼的过程，通过多种方式的活动体验积累运用优化思路或方式解决问题的经验；情感、态度、价值观着眼于让学生体验数学与生活的联系，培养学生学习数学的兴趣和数学思维方式。
二、“链条结构”让数学基本活动经验的积累“层层深入”
本节课的教学过程主要包括四个“链条”：一、学生独立思考，暴露、激活原有经验；二、学生小组合作，交流、碰撞生成经验；三、教师引导梳理，归纳、积累再生经验；四、学生自主解题，发现、积累新的经验。
在本节课中，“链条”一是呈现问题情境，让学生独立解决“怎样烙饼”的问题，调动学生乘法、加法等运算经验和生活经验。“链条”二是通过借助烙饼学具交流、分享烙饼的三种烙法，使不同烙法的经验互相碰撞和彼此启发，从而让不同的学生在原有的经验基础上都有新的经验生长出来、积累起来。“链条”三是通过教师引导学生“回头看”，运用分类、对比的方法，帮助学生找到不同烙法之间的联系和区别，从而将学生的感性经验提升为理性经验。“链条”四是解决4～10张饼如何才能尽快吃上饼的问题。引导学生发现、归纳烙饼快捷烙法背后蕴含的规律，新的经验进一步得到提升。四个“链条”之间的关系可以通过图2说明：
就经历的过程而言，数学基本活动经验的积累需要教师通过设计有价值的数学活动让学生独立思考，充分暴露学生的原有经验；在此基础上同伴间合作交流，让头脑中的经验进行碰撞，生成经验（正确和错误经验并存，形成认知冲突）；教师根据学生的情况，引导学生对既有经验进行筛选、整理、优化和提升，实现经验的改造或重新改组，形成再生经验，促进学生的经验上升到更高水平，让模糊的清晰起来，让片面的完善起来，让错误的正确起来，让零散的结构化起来。
三、“提大问题”让数学基本活动经验的积累“有大空间”
提“大问题”就是教师把琐碎的问题用概括性较强的语句集中呈现，而这里的“概括”和“集中”又是学生可以接受的。在“链条”二教学环节，教师首先以“大问题”的视角出示活动建议，学生参考活动建议进行小组活动，以下是课堂教学实录：
师：同学们先思考到这里。刚才老师看到很多同学已经对这个问题能够结合自己原有的理解初步作出了答案，接下来请大家以4人为一个小组，把自己的想法在组内进行交流。先请一位同学读一下活动建议。
教师课件出示活动建议：
1.请同学们以4人小组为单位在组内交流分享你的解题方法。
2.为了便于大家分享介绍，帮助大家理解烙饼的方法，老师为每个组准备了三张饼的学具，在透明的塑料袋里，如果需要你可以拿来用。
3.边分享边思考：怎样烙，爸爸、妈妈和我才能用最短的时间吃上饼？
学生读完活动建议，教师介绍学具袋，告诉学生如果你觉得需要就可以拿来用。教师巡视，发现并回应、解答学生在合作过程中遇到的问题。
学生已经经历了独立解决问题的过程，对此问题原有的经验已经被激活。此环节既给学生自主交流的空间，让学生互相讨论如何解决问题，同时还能够培养学生遇到自己不能解决的问题时学会寻求帮助与合作的意识和能力。
四、“动态操作静态化”让数学基本活动经验的积累“有影可循”
在数学课堂的学习中，操作活动的方式经常会见到，但操作之后，学生能在头脑中留下的印记又会因人而异。面对这样的问题，教师需要有将动态的操作静态化的意识和策略。本节课我尝试将操作活动中的关键环节和内容留存在黑板上，为学生积累数学基本活动经验留下“影子”。以下是课堂实录： 师：为了让学生看得更清楚，教师把刚才所有同学们汇报的烙饼过程用同学们喜欢的画图或者汉字标注的方式在黑板上记录下来。
师：如果烙3张饼，用时9分钟是如何烙的呢？
【教师板书】
9分钟：每一次锅里都是2张饼同时在烙，即两张两张地烙。具体如下：
1正 2正 3分钟
1反 3正 3分钟
2反 3反 3分钟
列式：3×3=9分钟
12分钟：先2张一起烙，再单独烙第三张饼。具体如下：
1正 2正 3分钟
1反 2反 3分钟
3正 3分钟
3反 3分钟
列式：3×4=12分钟
18分钟：一张一张地烙。具体如下：
1正 3分钟
1反 3分钟
2正 3分钟
2反 3分钟
3正 3分钟
3反 3分钟
列式：6×3=18分钟
师：同学们看一下，原来烙饼问题看似很简单，其实还有不同的烙法。现在回应一下我们的要求，怎样能让爸爸、妈妈和我尽快吃上饼呢？
生齐：9分钟的烙法能尽快吃上。
师：现在大家考虑一下，烙饼问题中9分钟的烙法、12分钟的烙法和18分钟的烙法这3种烙法之间有什么不同？为什么会产生时间的差异？
生齐：因为9分钟的烙法每次都烙2个面，12分钟的烙法有烙1个面的还有烙2个面的，18分钟的烙法每次都只烙1个面。
师：非常好！如果我手里有一口锅，9分钟的烙法是锅里一直都有2张饼，锅利用得很充分，也就是一直不让锅歇着。12分钟的烙法是一开始两次的时候锅利用得很充分，但是烙第三张饼的时候就不充分了。那现在再看看18分钟的烙法呢？
生齐：每次都不充分。
师：所以时间就被白白地浪费掉了。
在教学过程中，教师帮助学生梳理烙饼用时9分钟、12分钟、18分钟这三种情况，通过比较得到18分钟是效益最小的，进而把动态操作静态化。在对比的过程中，学生可以强烈地感受到9分钟烙饼方式的价值和意义，优化问题解决办法的经验得到了进一步积累、巩固和加强。此外，在这个过程中，恰当的教学表达也体现出了自身价值。教师通过三种过程表达和过程表示，让学生初步感受到表示的不同方式方法，从而积累恰當的数学表达和表示的认知经验、优化的观念和有序思考的认知经验。教师在教学过程中逐渐让学生意识到，没有过程表示和过程表达问题就不能很好地得到解决，这个经验的积累对于学生而言也非常重要。
数学基本活动经验的积累，大致需要经过“经历、内化、概括、迁移”的过程。学生不仅需要生活中的经历，还需要学习活动中的经历，但仅仅去“经历”是不够的，还需要学生在活动中充分调动数学思维，将活动所得不断内化和概括，最终迁移到其他的活动和学习中。
（作者单位：北京市海淀区双榆树第一小学）
责任编辑：肖佳晓
“数学基本活动经验”是小学生在参与数学基本活动中，经历探究、思考、抽象、猜想、推理、反思等过程获得的数学知识、技能、智慧、情感与观念等内容组成的有机组合性经验。其中，既包括认知的经验，动作技能性经验，也包括情感的经验，意志、观念等层面的经验，其核心是“如何思考”的经验：建立自己的数学现实和数学学习的直觉，学会运用数学的思维方式进行思考。在“烙饼问题”的学习中，教师需要帮助学生积累如下数学活动经验：树立数学问题来源于现实问题又抽象超越现实问题的观念，学会恰当的数学表达和表示的认知经验，感悟规律或模型的认知经验，优化的观念和有序思考的认知经验等。帮助学生积累数学活动经验，把握教学的下列四个“细节”至关重要。
一、“教学目标”让数学基本活动經验的积累“指向明确”
“烙饼问题”是人教版四年级上册“数学广角—优化”内容的例2（见图1），通过讨论烙饼时怎样合理安排操作最节省时间，让学生体会问题解决过程中优化思想的应用。
基于上述对本节课所要落实的数学基本活动经验的分析，本节课的教学目标包括三个方面，分别是：
1.知识、方法目标：使学生了解和认识到在既定规则下，烙饼最短时间与饼的张数和烙熟一面所用的时间是有关系的、有规律的，帮助学生理解其规律。
2.数学思考目标：使学生初步体会优化思想在解决问题中的应用，使学生经历问题解决的优化过程，培养学生有序思考、运用优化方法解决问题的意识。通过观察、操作、比较、讨论等活动，培养学生用恰当的方式进行数学表达和
表示。
3.情感、态度、价值观目标：通过探究活动，让学生体验数学问题来源于生活又高于生活，充分感受数学与生活的密切联系。
以上三方面教学目标都指向学生统筹优化的思维方式经验的积累。知识方法方面指向烙饼的优化与哪些因素有关，有怎样的关系；数学思考指向让学生经历烙饼的过程，通过多种方式的活动体验积累运用优化思路或方式解决问题的经验；情感、态度、价值观着眼于让学生体验数学与生活的联系，培养学生学习数学的兴趣和数学思维方式。
二、“链条结构”让数学基本活动经验的积累“层层深入”
本节课的教学过程主要包括四个“链条”：一、学生独立思考，暴露、激活原有经验；二、学生小组合作，交流、碰撞生成经验；三、教师引导梳理，归纳、积累再生经验；四、学生自主解题，发现、积累新的经验。
在本节课中，“链条”一是呈现问题情境，让学生独立解决“怎样烙饼”的问题，调动学生乘法、加法等运算经验和生活经验。“链条”二是通过借助烙饼学具交流、分享烙饼的三种烙法，使不同烙法的经验互相碰撞和彼此启发，从而让不同的学生在原有的经验基础上都有新的经验生长出来、积累起来。“链条”三是通过教师引导学生“回头看”，运用分类、对比的方法，帮助学生找到不同烙法之间的联系和区别，从而将学生的感性经验提升为理性经验。“链条”四是解决4～10张饼如何才能尽快吃上饼的问题。引导学生发现、归纳烙饼快捷烙法背后蕴含的规律，新的经验进一步得到提升。四个“链条”之间的关系可以通过图2说明：
就经历的过程而言，数学基本活动经验的积累需要教师通过设计有价值的数学活动让学生独立思考，充分暴露学生的原有经验；在此基础上同伴间合作交流，让头脑中的经验进行碰撞，生成经验（正确和错误经验并存，形成认知冲突）；教师根据学生的情况，引导学生对既有经验进行筛选、整理、优化和提升，实现经验的改造或重新改组，形成再生经验，促进学生的经验上升到更高水平，让模糊的清晰起来，让片面的完善起来，让错误的正确起来，让零散的结构化起来。
三、“提大问题”让数学基本活动经验的积累“有大空间”
提“大问题”就是教师把琐碎的问题用概括性较强的语句集中呈现，而这里的“概括”和“集中”又是学生可以接受的。在“链条”二教学环节，教师首先以“大问题”的视角出示活动建议，学生参考活动建议进行小组活动，以下是课堂教学实录：
师：同学们先思考到这里。刚才老师看到很多同学已经对这个问题能够结合自己原有的理解初步作出了答案，接下来请大家以4人为一个小组，把自己的想法在组内进行交流。先请一位同学读一下活动建议。
教师课件出示活动建议：
1.请同学们以4人小组为单位在组内交流分享你的解题方法。
2.为了便于大家分享介绍，帮助大家理解烙饼的方法，老师为每个组准备了三张饼的学具，在透明的塑料袋里，如果需要你可以拿来用。
3.边分享边思考：怎样烙，爸爸、妈妈和我才能用最短的时间吃上饼？
学生读完活动建议，教师介绍学具袋，告诉学生如果你觉得需要就可以拿来用。教师巡视，发现并回应、解答学生在合作过程中遇到的问题。
学生已经经历了独立解决问题的过程，对此问题原有的经验已经被激活。此环节既给学生自主交流的空间，让学生互相讨论如何解决问题，同时还能够培养学生遇到自己不能解决的问题时学会寻求帮助与合作的意识和能力。
四、“动态操作静态化”让数学基本活动经验的积累“有影可循”
在数学课堂的学习中，操作活动的方式经常会见到，但操作之后，学生能在头脑中留下的印记又会因人而异。面对这样的问题，教师需要有将动态的操作静态化的意识和策略。本节课我尝试将操作活动中的关键环节和内容留存在黑板上，为学生积累数学基本活动经验留下“影子”。以下是课堂实录： 师：为了让学生看得更清楚，教师把刚才所有同学们汇报的烙饼过程用同学们喜欢的画图或者汉字标注的方式在黑板上记录下来。
师：如果烙3张饼，用时9分钟是如何烙的呢？
【教师板书】
9分钟：每一次锅里都是2张饼同时在烙，即两张两张地烙。具体如下：
1正 2正 3分钟
1反 3正 3分钟
2反 3反 3分钟
列式：3×3=9分钟
12分钟：先2张一起烙，再单独烙第三张饼。具体如下：
1正 2正 3分钟
1反 2反 3分钟
3正 3分钟
3反 3分钟
列式：3×4=12分钟
18分钟：一张一张地烙。具体如下：
1正 3分钟
1反 3分钟
2正 3分钟
2反 3分钟
3正 3分钟
3反 3分钟
列式：6×3=18分钟
师：同学们看一下，原来烙饼问题看似很简单，其实还有不同的烙法。现在回应一下我们的要求，怎样能让爸爸、妈妈和我尽快吃上饼呢？
生齐：9分钟的烙法能尽快吃上。
师：现在大家考虑一下，烙饼问题中9分钟的烙法、12分钟的烙法和18分钟的烙法这3种烙法之间有什么不同？为什么会产生时间的差异？
生齐：因为9分钟的烙法每次都烙2个面，12分钟的烙法有烙1个面的还有烙2个面的，18分钟的烙法每次都只烙1个面。
师：非常好！如果我手里有一口锅，9分钟的烙法是锅里一直都有2张饼，锅利用得很充分，也就是一直不让锅歇着。12分钟的烙法是一开始两次的时候锅利用得很充分，但是烙第三张饼的时候就不充分了。那现在再看看18分钟的烙法呢？
生齐：每次都不充分。
师：所以时间就被白白地浪费掉了。
在教学过程中，教师帮助学生梳理烙饼用时9分钟、12分钟、18分钟这三种情况，通过比较得到18分钟是效益最小的，进而把动态操作静态化。在对比的过程中，学生可以强烈地感受到9分钟烙饼方式的价值和意义，优化问题解决办法的经验得到了进一步积累、巩固和加强。此外，在这个过程中，恰当的教学表达也体现出了自身价值。教师通过三种过程表达和过程表示，让学生初步感受到表示的不同方式方法，从而积累恰當的数学表达和表示的认知经验、优化的观念和有序思考的认知经验。教师在教学过程中逐渐让学生意识到，没有过程表示和过程表达问题就不能很好地得到解决，这个经验的积累对于学生而言也非常重要。
数学基本活动经验的积累，大致需要经过“经历、内化、概括、迁移”的过程。学生不仅需要生活中的经历，还需要学习活动中的经历，但仅仅去“经历”是不够的，还需要学生在活动中充分调动数学思维，将活动所得不断内化和概括，最终迁移到其他的活动和学习中。
（作者单位：北京市海淀区双榆树第一小学）
责任编辑：肖佳晓