2012年2月11日的“北约”（北京大学、复旦大学、南开大学、香港大学等高校联合自主招生联盟称为“北约”）自主招生试题中有一道这样的题目：
　　若锐角△ABC的外心为O，则点O到三角形三边BC,CA,AB的距离之比为 ．（用角A,B,C表示①）
　　
　　本题可以这样解：如图， OD，OE，OF分别垂直BC，CA，AB于D，E，F，因为△ABC内接于圆O（设其半径为R），故∠BOC=2∠BAC,OB=OC=R，考察△BOC的面积可知：
　　S△BOC=BC×OD2=OB×OC×cos∠BOC2，由倍角公式和正弦定理得：
　　
　　OD=2R2cos∠BACsin∠BACBC
　　=2R2cos∠BACBCsin∠BAC=Rcos∠BAC，
　　同理OE=Rcos∠ABC,OF=Rcos∠BCA；
　　所以，OD∶OE∶OF=cosA∶cosB∶cosC.
　　说明：本题条件中的△ABC如果是直角三角形，则斜边的中点为外心，比值没有意义；如果△ABC是钝角三角形，则用类似的方法可以得到OD∶OE∶OF=|cosA|∶|cosB|∶|cosC|，即原结论加上绝对值即可。
　　三角形除了外心，还有重心、内心、旁心、垂心，它们到三边的距离之比的情况，以及三角形的“五心”到顶点的距离之比的情况又是怎样的呢？这些距离的比能否用三角形的三个内角来表示？下面我们逐一加以讨论。
　　一、 三角形“五心”中的其他“心”到三边的距离之比
　　
　　1．1 三角形的内心与旁心到三角形的三边距离之比：
　　 三角形的内心是角平分线的交点。由角平分线性质知，内心到三边的距离相等，即内心到三边的距离之比为1∶1∶1；同理三角形的旁心（旁切圆圆心：两条内角平分线与一条外角平分线的交点，如图）到三边的距离之比也为1∶1∶1。
　　1．2 三角形的重心到三边的距离之比：
　　
　　如图， G为△ABC的重心，求G到BC,CA,AB的距离之比．
　　连结GB,GC，分别过G,A作BC的垂线，垂足分别为E,F，设△ABC的面积为S，由重心的性质知：AG∶GD=2∶1，所以GE∶AF=2∶1，
　　故S△GBC=13S△ABC=S3，又S△GBC=12GE×BC，所以GE=2S3BC.
　　同理，G到AC和AB的距离分别为2S3AC，2S3AB，
　　所以，G到BC，CA，AB的距离比为2S3BC∶2S3CA∶2S3AB=1BC∶1CA∶1AB，
　　由正弦定理得：G到BC，CA，AB的距离之比为1sinA∶1sinB∶1sinC．
　　说明：三角形的重心一定在三角形的内部，故本结论不仅对锐角三角形成立，对直角三角形和钝角三角形同样成立。
　　1．3 三角形的垂心到三边的距离之比：
　　
　　如图，锐角△ABC的垂心为H，求HD∶HE∶HF．
　　
　　在RtAHF中，HF=AHsin∠FAH,
　　在Rt△ADB中，∠FAH+∠ABC=π2 ，
　　所以HF=AHcos∠ABC，
　　同理HF=AHcos∠ACB，
　　所以HE∶HF=cosC∶cosB；
　　同理HD∶HE=cosB∶cosA；
　　综上可得，HD∶HE∶HF=1cosA∶1cosB∶1cosC．
　　说明：对于△ABC，如果是直角三角形，则其垂心就是直角顶点，该直角三角形的垂心到两直角边的距离均为零，没有讨论的意义；如果是钝角三角形（不妨设C为钝角），则cosC是负值，而距离不可能是负值，故HD∶HE∶HF=1cosA∶1cosB∶1cosC不能成立。用类似于锐角三角形的方法不难证明：HD∶HE∶HF=1cosA∶1cosB∶1-cosC。显然，我们可以将非直角三角形的情况统一写成HD∶HE∶HF=1|cosA|∶1|cosB|∶1|cosC|.
　　二、 三角形的“五心”到三个顶点的距离之比
　　2．1 三角形的外心到三个顶点的距离之比：
　　三角形的外心是三边的中垂线的交点，由中垂线的性质知其到三顶点的距离相等，所以三角形的外心到三顶点的距离比为1∶1∶1.这里无论是锐角三角形、直角三角形还是钝角三角形都满足.
　　2．2 三角形的内心到三个顶点的距离之比：
　　
　　如图，△ABC的内心为I，求IA∶IB∶IC．
　　在△IBC中，由正弦定理IB∶IC=sin∠ICB∶sin∠IBC,
　　由内心是角平分线交点，可得：
　　∠ICB=12∠ACB，∠IBC=12∠ABC，
　　所以IB∶IC=sin∠ACB2∶sin∠ABC2=1sin∠ABC2∶1sin∠ACB2
　　同理，在△IAC中可以得到IA∶IB=sin∠ABC2∶sin∠CAB2=1sin∠CAB2∶1sin∠ABC2
　　所以△ABC中，IA∶IB∶IC=1sinA2∶1sinB2∶1sinC2.
　　2．3 三角形的垂心到三个顶点的距离之比：
　　
　　如图，锐角△ABC的垂心为H，求HA∶HB∶HC．
　　在△AHB中，由正弦定理知，HA∶HB=sin∠ABH:sin∠BAH,由AD⊥BC，BE⊥AC知，
　　∠ABH+∠BAC=π2，∠BAH+∠ABC=π2，
　　所以HA∶HB=cos∠BAC∶cos∠ABC.
　　在△BHC中，同理可得HB∶HC=cos∠ABC∶cos∠BCA，
　　所以HA∶HB∶HC=cos∠BAC∶cos∠ABC∶cos∠BCA
　　即锐角△ABC的垂心为H ，则HA∶HB∶HC=cosA∶cosB∶cosC ．
　　同样，这里也涉及到，如果△ABC为直角三角形，则没有讨论的必要；如果△ABC为钝角三角形，则不难得到HA∶HB∶HC=|cosA|∶|cosB|∶|cosC|，此亦是非直角三角形的统一形式。
　　2．4 三角形的旁心到三个顶点的距离之比：
　　如图，△ABC的一个旁心为O（此处O是∠B的内角平∠A,∠C的外角平分线交点），求OA∶OB∶OC．
　　
　　在△AOB中，∠ABO=∠ABC2,∠BAO=∠BAC2+π2，
　　由正弦定理知：OA∶OB=sin∠ABC2∶sin∠BAC2+π2即OA∶OB=1cos∠BAC2∶1sin∠ABC2，
　　在△BOC中，同理可得
　　OB∶OC=sin∠ACB2+π2∶sin∠ABC2即OB∶OC=1sin∠ABC2∶1cos∠ACB2；
　　所以OA∶OB∶OC=1cos∠BAC2∶1sin∠ABC2∶1cos∠ACB2，
　　即得△ABC的一个旁心为O（此处O是∠B的平分线与∠A,∠C的外角平分线的交点），则 OA∶OB∶OC=1cosA2∶1cosB2∶1cosC2．
　　同理我们也可以得到另两种情况：其一，△ABC的一个旁心为O（此处O是∠A的内角平分线与∠B,∠C的外角平分线交点）则OA∶OB∶OC=1sinA2∶1cosB2∶1cosC2；其二，△ABC的一个旁心为O（此处O是∠C的内角平分线与∠B，∠A的外角平分线交点）则OA∶OB∶OC=1cosA2∶1cosB2∶1cosC2.
　　2．5 三角形的重心到三个顶点的距离之比：
　　
　　如图，G为△ABC的重心，求GA∶GB∶GC．
　　
　　由重心的性质可以知道，
　　
　　AG∶GD=BG∶GE=CG∶GC=2∶1，
　　所以，求GA∶GB∶GC即是求AD∶BE∶CF，
　　由中线长度公式：AD2=12 (AB2+AC2)-BC24
　　=8R2sinC+8R2sin2B-4R2sin2A4=
　　
　　(2sin2C+2sin2B-sin2A)R2
　　BE2=（2sin2A+2sin2C-sin2B）R2，
　　CF2=（2sin2A+2sin2B-sin2C）R2，
　　即AD∶BE∶CF=2sin2C+2sin2B-sin2A∶
　　
　　2sin2A+2sin2C-sin2B
　　
　　∶
　　2sin2B+2sin2A-sin2C
　　，
　　
　　
　　
　　
　　AG∶BG∶CG=2sin2C+2sin2B-sin2A∶
　　
　　2sin2A+2sin2C-sin2B
　　
　　∶
　　2sin2B+2sin2A-sin2C
　　，
　　说明：本文中我们的结论都是用三角形的内角表示的。显然，由正弦定理或余弦定理也可以得到用边表示的结果。我们用角表示结论意在说明，这些结论只与三角形的形状有关，与三角形的大小无关。
　　注：①原题是一道选择题，因选择支不详而改成了填空题。为明确题意，加了“用角A、B、C表示”的要求。