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[摘要]探讨几种常见的圆锥曲线离心率的求解方法，以培养学生的解题能力.
[关键词]圆锥曲线离心率解法
[中图分类号]G633.6[文献标识码]A[文章编号]16746058（2015）140041
离心率是圆锥曲线的重要性质，也是圆锥曲线的重要几何特征，它考查学生的综合能力，因此在高考中频繁出现，它的解法灵活多变，下面例析几种常见的解法.
一、直接求出a，c
已知圆锥曲线的标准方程，直接求出a，c的值，再利用离心率公式e=ca，求其离心率.
【例1】 （2014年高考江西卷文第14题）设椭圆C：x2a2 y2b2=1（a>b>0）
的左、右焦点为F1，F2，过F2作x轴的垂线与C交于 A，B两点，F1B与y轴交于点D，若AD⊥F1B，则椭圆C的离心率等于.
分析：∵OD∥F2B，O为F1F2的中点，∴D为F1B的中点，又AD⊥F1B，∴|AF1|=|AB|=2|AF2|.设|AF2|=m，则|AF1|=2m，|F1F2|=33.
因此e=ca=|F1F2||AF1| |AF2|
=3m2m m=
33.
评注：利用椭圆的几何性质及椭圆的定义来求解，这就要求考生熟练地掌握椭圆的几何性质.
【例2】（2005年全国高考江苏卷）点P（-3，1）在椭圆x2a2
y2b2=1（a>b>0）
的左准线上，过点P且方向为a=（2，-5）的光线，经直线y=-2反射后通过椭圆的左焦点，则这个椭圆的离心率为（）.
A.33B.13C.22D.12
分析：由题意知，入射光线为y-1=-52（x 3），关于y=-2的反射光线（对称关系）为5x-2y 5=0，∵P（-3，1）在左准线上，左焦点在反射光线上，有
a2c=3
-5c 5=0
，
解得a=3，c=1，知e=ca=33
.故选A.
评注：利用对称性先求反射光线所在的直线的方程，然后再求出a，c，问题即可迎刃而解.
二、构造a，b或a，c的齐次式，通过方程解出离心率e
根据题设条件，借助a，b，c之间的关系，寻找a、c的关系式（特别是齐二次式），进而转化为关于e的一元二次方程，从而解方程，求出离心率e.
【例3】（2014年高考重庆卷文第8题）设F1，F2分别为双曲线x2a2-y2b2=1（a>0，b>0）
的左、右焦点，双曲线上存在一点P使得（|PF|-|PF2|）2=b2-3ab，则该双曲线的离心率为（ ）.
A.2 B.15C.4D.17
分析：由双曲线的定义知：||PF1|-|PF2||=2a，
又（|PF1|-|PF2|）2=b2-3ab，∴4a2=b2-3ab，
（ba） 2-3（ba）-4=0，解得ba=-1（舍去）或ba=4.∴e2=c2a2=a2 b2a2=1 （ba）2=17，e=17.
【例4】 （2014年高考江苏卷第17题）如右图，在平面直角坐标系xOy中，F1，F2分别是椭圆x2a2 y2b2=1（a>b>0）
的左、右焦点，顶点B的坐标是（0，b），连接BF2并延长交椭圆于点A，过点A作x轴的垂线交椭圆于另一点C，连接F1C.
（1）若点C的坐标为（43，13），且BF2=2，求椭圆的方程;（2）若F1C⊥AB，求椭圆离心率e的值.
分析：
（1）由题意知，F2（c，0），B（0，b），|BF2|=b2 c2=a=2.
又C（43，13），∴（43）22 （13）2b2=1，得b=1，
∴椭圆方程为x22 y2=1.
（2）直线BF2的方程为xc yb=1，解得A点的坐标为（2a2ca2 c2，-b3a2 c2）.
则点C的坐标为（2a2ca2 c2，b3a2 c2），
kF1C=
b3a2 c2
2a2ca2 c2 c
=
b33a2c c3
，
又F1C⊥AB，kAB=-bc，
∴b33a2c c3·（-bc）=-1，
即b4=3a2c2 c4，
∴（a2-c2）2=3a2c2 c4，解得c2a2=15，故
e=ca=55.
评注：以上两个例题都是运用方程的思想求离心率.另外，牢记一些常用结论，有助于快速解题，如焦半径公式、通径、焦点三角形面积公式、定值结论等.
三、寻找a与c的关系式
由于离心率是a与c的比值，故不能分别求出a，c时，可寻找a与c的关系式，即用c来表示a或用a来表示c即可解决.
【例5】（2005年全国高考卷）设椭圆的两个焦点分别为F1，F2，过F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P，若△F1PF2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是（）.
A.22B.2-12C.2-2D.2-1
分析： 由题意得|PF1|=2|PF2|=2|F1F2|=22c，，又由椭圆的定义得|PF1| |PF2|=2a，
即22c 2c=2a，则a=（2 1）c，得e=ca=2-1，故选D.
【例5】 （2014高考安徽卷文第21题）设F1，F2分别是椭圆E：x2a2 y2b2=1（a>b>0）
的左、右焦点，过点F1的直线交椭圆E于A，B两点，|AF1|=3|BF1|.
[关键词]圆锥曲线离心率解法
[中图分类号]G633.6[文献标识码]A[文章编号]16746058（2015）140041
离心率是圆锥曲线的重要性质，也是圆锥曲线的重要几何特征，它考查学生的综合能力，因此在高考中频繁出现，它的解法灵活多变，下面例析几种常见的解法.
一、直接求出a，c
已知圆锥曲线的标准方程，直接求出a，c的值，再利用离心率公式e=ca，求其离心率.
【例1】 （2014年高考江西卷文第14题）设椭圆C：x2a2 y2b2=1（a>b>0）
的左、右焦点为F1，F2，过F2作x轴的垂线与C交于 A，B两点，F1B与y轴交于点D，若AD⊥F1B，则椭圆C的离心率等于.
分析：∵OD∥F2B，O为F1F2的中点，∴D为F1B的中点，又AD⊥F1B，∴|AF1|=|AB|=2|AF2|.设|AF2|=m，则|AF1|=2m，|F1F2|=33.
因此e=ca=|F1F2||AF1| |AF2|
=3m2m m=
33.
评注：利用椭圆的几何性质及椭圆的定义来求解，这就要求考生熟练地掌握椭圆的几何性质.
【例2】（2005年全国高考江苏卷）点P（-3，1）在椭圆x2a2
y2b2=1（a>b>0）
的左准线上，过点P且方向为a=（2，-5）的光线，经直线y=-2反射后通过椭圆的左焦点，则这个椭圆的离心率为（）.
A.33B.13C.22D.12
分析：由题意知，入射光线为y-1=-52（x 3），关于y=-2的反射光线（对称关系）为5x-2y 5=0，∵P（-3，1）在左准线上，左焦点在反射光线上，有
a2c=3
-5c 5=0
，
解得a=3，c=1，知e=ca=33
.故选A.
评注：利用对称性先求反射光线所在的直线的方程，然后再求出a，c，问题即可迎刃而解.
二、构造a，b或a，c的齐次式，通过方程解出离心率e
根据题设条件，借助a，b，c之间的关系，寻找a、c的关系式（特别是齐二次式），进而转化为关于e的一元二次方程，从而解方程，求出离心率e.
【例3】（2014年高考重庆卷文第8题）设F1，F2分别为双曲线x2a2-y2b2=1（a>0，b>0）
的左、右焦点，双曲线上存在一点P使得（|PF|-|PF2|）2=b2-3ab，则该双曲线的离心率为（ ）.
A.2 B.15C.4D.17
分析：由双曲线的定义知：||PF1|-|PF2||=2a，
又（|PF1|-|PF2|）2=b2-3ab，∴4a2=b2-3ab，
（ba） 2-3（ba）-4=0，解得ba=-1（舍去）或ba=4.∴e2=c2a2=a2 b2a2=1 （ba）2=17，e=17.
【例4】 （2014年高考江苏卷第17题）如右图，在平面直角坐标系xOy中，F1，F2分别是椭圆x2a2 y2b2=1（a>b>0）
的左、右焦点，顶点B的坐标是（0，b），连接BF2并延长交椭圆于点A，过点A作x轴的垂线交椭圆于另一点C，连接F1C.
（1）若点C的坐标为（43，13），且BF2=2，求椭圆的方程;（2）若F1C⊥AB，求椭圆离心率e的值.
分析：
（1）由题意知，F2（c，0），B（0，b），|BF2|=b2 c2=a=2.
又C（43，13），∴（43）22 （13）2b2=1，得b=1，
∴椭圆方程为x22 y2=1.
（2）直线BF2的方程为xc yb=1，解得A点的坐标为（2a2ca2 c2，-b3a2 c2）.
则点C的坐标为（2a2ca2 c2，b3a2 c2），
kF1C=
b3a2 c2
2a2ca2 c2 c
=
b33a2c c3
，
又F1C⊥AB，kAB=-bc，
∴b33a2c c3·（-bc）=-1，
即b4=3a2c2 c4，
∴（a2-c2）2=3a2c2 c4，解得c2a2=15，故
e=ca=55.
评注：以上两个例题都是运用方程的思想求离心率.另外，牢记一些常用结论，有助于快速解题，如焦半径公式、通径、焦点三角形面积公式、定值结论等.
三、寻找a与c的关系式
由于离心率是a与c的比值，故不能分别求出a，c时，可寻找a与c的关系式，即用c来表示a或用a来表示c即可解决.
【例5】（2005年全国高考卷）设椭圆的两个焦点分别为F1，F2，过F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P，若△F1PF2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是（）.
A.22B.2-12C.2-2D.2-1
分析： 由题意得|PF1|=2|PF2|=2|F1F2|=22c，，又由椭圆的定义得|PF1| |PF2|=2a，
即22c 2c=2a，则a=（2 1）c，得e=ca=2-1，故选D.
【例5】 （2014高考安徽卷文第21题）设F1，F2分别是椭圆E：x2a2 y2b2=1（a>b>0）
的左、右焦点，过点F1的直线交椭圆E于A，B两点，|AF1|=3|BF1|.