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【摘要】探讨二次函数的一题多解，主要是由于自变量的设法不同，可以得到不同的函数表达式，教师在教学中，要指导学生学会从不同的解度去分析问题和解决问题，拓展学生的解题思路，开发学生的潜能。
【关键词】一题多解；分析问题；二次函数
Discusses the quadratic function shallowly topic multi-solutions
Yu Dehong
【Abstract】Discussion quadratic function’s topic multi-solutions, are mainly because the independent variable tries differently, may obtain the different function expression, the teacher in the teaching, must the coach pupils to learn to analyze the question from different Xie Du and to solve the problem, develops student’s problem solving mentality, develops student’s potential.
【Key words】A topic multi-solution; Analysis question; Quadratic function
一题多解，是指对于同一个问题，可以用多种不同的方法去解决。在数学教学和数学学习中，无论是几何或代数，都会遇到一题多解的情况。二次函数的一题多解，主要是由于自变量的设法不同，可以得到不同的函数表达式，教师在教学中，要指导学生学会从不同的解度去分析问题和解决问题，拓展学生的解题思路，开发学生的潜能。
以下两例仅供各位同仁参考。
1 经济生活中的二次函数问题
某体育用品商场购进一批滑板，每件进价为100元，销售价为130元，每星期可卖出80件。商家决定促销，根据市场调查，每降价5元，每星期可多卖出20件。
（1）求商家降价前每星期的销售利润为多少元？
（2）降价后，商家要使每星期的销售利润最大，应将售价定为多少元？最大销售利润是多少？
对于第一个问题，可以指导学生用两种方法：
方法（一）
总利润=总售价-总进价
即130×80-100×80=2400（元）
方法（二）
总利润=每一件的利润×总销售量
即（130-100）×80=2400（元）
虽然结果一样，但由于思路不同，列式就不同。同样，不同的列式，反映出对问题的思考和分析的角度不同。
第二个问题，则可以从以下三个角度去分析解决：
方法（一）
总利润=（降价后的售价-进价）×降价后的销售量
设降价后商家应将价格定为每件x元，利润最大。最大利润为y（元）。
因为降价后一件的利润为（x-100）元，销量为（80+130-x5×20）所以y=（x-100）×（80+130-x5×20）（100≤x≤130）
y=-4（x-125）2+2500
当x=125元时 y最大值=2500元
方法（二）
因为每降5元，销量增加20件，设降x个5元时利润最大。
总利润=总售价-总进价
y=（130-5x）（80+20x）-100（80+20x）
y=-100x2+200x+2400
当x=1时 y最大值=2500
即降1个5元时，最大利润为2500元，也就是降价后的售价为（130-5）元。即125元。
方法（三）
设降价x个5元时，利润最大
总利润=一件的利润×总销量
原来一件的利润=130-100=30元，降x个5元后，一件的利润为（30-5x）元（1≤x≤6的整知数）
总销售为（80+20x）件
所以y=（30-5x）（80+20x）
y=-100x2+200x+2400
当x=1时，y最大值=250元
即降1个5元时，利润最大，降价后的售价应为125元。
2 几何图形中的二次函数问题
要围出如右图所示中的阴影部分的场地（矩形缺一个角），一边利用学校的围墙，另三边总长为44m的篱笆围成，缺角部分为门，三边分别为多少时，阴影部分面积最大，最大面积为多少？
方法（一）
设AB的长为Xm，则DE=X-2
BF=44-x-（x-2）=46-2x BC=（46-2X）+2
则面积S=（46-2x +2）x-12×2×2
S=-2x2+48x-2
当x=12时 S最大值=286 即AB=12 DE=10 BF=22
方法（二）
设DE的长为xm，则AB=x+2
BF=44-x-（x+2）=42-2x
S=（42-2x+2）（x+2）-12×2×2
=-2x2+40x+86
当x=10时 S最大值=286
即 DE=10 AB=12 BF=22
方法（三）
设BF的长为xm AB=a DE=a-2
因为x+a+a-2=44 所以 a=46-2x2
即BF=X AB=46-2x2 DE=46-2x2-2
S=(46-2x2)（x+2）-12×2×2
=-12x2+22x+44
当X=22时 S最大值=286
即BF=22 AB=12 DE=10
无论设哪一边为自变量，都可得出三边的长分别为22m、12m、10m，最大面积为286m2。
一题多解是培养学生分析问题和解决问题的能力的重要途径，我们当老师的在教学中要多思考、多分析、多问几个为什么？给学生多提几个为什么？要学生找到“条条大路通北京”的解题思路，从多方面培养他们的创造能力和创新能力。
【关键词】一题多解；分析问题；二次函数
Discusses the quadratic function shallowly topic multi-solutions
Yu Dehong
【Abstract】Discussion quadratic function’s topic multi-solutions, are mainly because the independent variable tries differently, may obtain the different function expression, the teacher in the teaching, must the coach pupils to learn to analyze the question from different Xie Du and to solve the problem, develops student’s problem solving mentality, develops student’s potential.
【Key words】A topic multi-solution; Analysis question; Quadratic function
一题多解，是指对于同一个问题，可以用多种不同的方法去解决。在数学教学和数学学习中，无论是几何或代数，都会遇到一题多解的情况。二次函数的一题多解，主要是由于自变量的设法不同，可以得到不同的函数表达式，教师在教学中，要指导学生学会从不同的解度去分析问题和解决问题，拓展学生的解题思路，开发学生的潜能。
以下两例仅供各位同仁参考。
1 经济生活中的二次函数问题
某体育用品商场购进一批滑板，每件进价为100元，销售价为130元，每星期可卖出80件。商家决定促销，根据市场调查，每降价5元，每星期可多卖出20件。
（1）求商家降价前每星期的销售利润为多少元？
（2）降价后，商家要使每星期的销售利润最大，应将售价定为多少元？最大销售利润是多少？
对于第一个问题，可以指导学生用两种方法：
方法（一）
总利润=总售价-总进价
即130×80-100×80=2400（元）
方法（二）
总利润=每一件的利润×总销售量
即（130-100）×80=2400（元）
虽然结果一样，但由于思路不同，列式就不同。同样，不同的列式，反映出对问题的思考和分析的角度不同。
第二个问题，则可以从以下三个角度去分析解决：
方法（一）
总利润=（降价后的售价-进价）×降价后的销售量
设降价后商家应将价格定为每件x元，利润最大。最大利润为y（元）。
因为降价后一件的利润为（x-100）元，销量为（80+130-x5×20）所以y=（x-100）×（80+130-x5×20）（100≤x≤130）
y=-4（x-125）2+2500
当x=125元时 y最大值=2500元
方法（二）
因为每降5元，销量增加20件，设降x个5元时利润最大。
总利润=总售价-总进价
y=（130-5x）（80+20x）-100（80+20x）
y=-100x2+200x+2400
当x=1时 y最大值=2500
即降1个5元时，最大利润为2500元，也就是降价后的售价为（130-5）元。即125元。
方法（三）
设降价x个5元时，利润最大
总利润=一件的利润×总销量
原来一件的利润=130-100=30元，降x个5元后，一件的利润为（30-5x）元（1≤x≤6的整知数）
总销售为（80+20x）件
所以y=（30-5x）（80+20x）
y=-100x2+200x+2400
当x=1时，y最大值=250元
即降1个5元时，利润最大，降价后的售价应为125元。
2 几何图形中的二次函数问题
要围出如右图所示中的阴影部分的场地（矩形缺一个角），一边利用学校的围墙，另三边总长为44m的篱笆围成，缺角部分为门，三边分别为多少时，阴影部分面积最大，最大面积为多少？
方法（一）
设AB的长为Xm，则DE=X-2
BF=44-x-（x-2）=46-2x BC=（46-2X）+2
则面积S=（46-2x +2）x-12×2×2
S=-2x2+48x-2
当x=12时 S最大值=286 即AB=12 DE=10 BF=22
方法（二）
设DE的长为xm，则AB=x+2
BF=44-x-（x+2）=42-2x
S=（42-2x+2）（x+2）-12×2×2
=-2x2+40x+86
当x=10时 S最大值=286
即 DE=10 AB=12 BF=22
方法（三）
设BF的长为xm AB=a DE=a-2
因为x+a+a-2=44 所以 a=46-2x2
即BF=X AB=46-2x2 DE=46-2x2-2
S=(46-2x2)（x+2）-12×2×2
=-12x2+22x+44
当X=22时 S最大值=286
即BF=22 AB=12 DE=10
无论设哪一边为自变量，都可得出三边的长分别为22m、12m、10m，最大面积为286m2。
一题多解是培养学生分析问题和解决问题的能力的重要途径，我们当老师的在教学中要多思考、多分析、多问几个为什么？给学生多提几个为什么？要学生找到“条条大路通北京”的解题思路，从多方面培养他们的创造能力和创新能力。