论文部分内容阅读
数形结合思想就是将抽象的数学语言与直观的图形结合起来，使抽象思维与形象思维结合。通过数形转化，提高思维的灵活性、形象性、直观性，使问题化难为易，化抽象为具体。数形结合是连接“数”与“形”的“桥”，它是一种重要的数学思想方法。
一、形为起点，从小学说几何语言
几何在数学中具有非常重要的地位，几乎所有重要的数学概念都是从几何中得出来的，所以有人说几何是数学思想的摇篮。几何不仅有直观的图形，还有推理。推理就要运用到语言。学几何，语言是一关。从人的生长经历可知，孩子的最初语言建立是模仿而不是理解。教材的编排也可是从认识图形开始，教师从一年级的认教就教学生学说几何语言，让学生在认识数时通过图形建立数的概念。如学习“3”，教师可以出示三角形，教学生说三角形有三条边三个顶点。也许学生不知道概念的准确含义，但是看图学生具有直觉印象，就会从形象上熟悉三角形，对以后看到的物体或平面图形，知道这就是三角形，那不是三角形，到高年级再学到三角形时学生比较熟悉，就能自觉使用积累的几何语言描述三角形的基本特征，也就不会感到三角形是抽象的几何图形。因而学生在学数及计算时，教师不妨多举一些几何图形的例子，用数描述几何图形，将来学生学到几何时，学生的几何语言关就比较容易过，因为他早已说过了。
二、以形助数，在直观中构建数学模型
借助图形的直观性质将抽象的数学概念和数量关系形象化、简单化，给学生以直观感，让学生从已有的知识经验出发，亲历将实际问题抽象成数学模型，为理解数学概念奠定基础，教师通过以形助数突出图的形象思维，促进学生形象思维与抽象思维的有机结合，化繁为简，化难为易，让学生用多种感觉器官充分感知，在形成表象的基础上进行想象、联想，达到最终理解数学概念，解决数学问题，形成数学思想的目的。
如教学“约数与倍数”。
师：请同学们用12个小正方形摆出一个长方形，你打算怎样摆?用除法算式表示行吗?
学生摆出的图形如下：
生1：我得出的除法算式是：12÷1＝12。
师：猜猜他是怎样摆的?
生2：他是用12个小正方形摆成一行或一列。
师：还可以怎样摆?
生3：摆2行，每行6个；或摆6行，每行2个。
除法算式：12÷2＝6，12÷6＝2。
生4：还可以摆4行，每行3个；或摆3行，每行4个。
除法算式：12÷4＝3，12÷3＝4。
师；对，12÷4＝3，就是把12个方格每3个摆一行，摆4行，在数学上我们可以说4是12的因数，3也是12的因数，12是3的倍数，12也是4的倍数。请你结合其他的除法算式与同学说说谁是谁的因数，谁是谁的倍数。
这个案例教学伊始，教师直接创设摆、涂图形的数学活动，通过这些活动激活学生的形象思维，透过数学潜在的“形”与“数”的关系，把抽象的数学语言与直观的图形结合起来，使抽象思维和形象思维相结合，为研究“因数与倍数”、借助直观来定义概念，进而为培养学生的抽象能力打下良好的基础，有效地实现原有知识与新知识之间的链接，诱发学生探索与学习的欲望，激活学生的思维。这说明以形助数，能把许多抽象概念和性质、运算化为直观形象。将某些较难的数学问题，借助图形，可帮助学生建构数学模型，找到解题的捷径。
三、以数显形，在计算中形成空间观念
几何推理是抽象的计算，计算是具体的推理，图形是推理和计算的直观模型。数学活动里的画图和推理，归根到底都是计算。如教学长方形面积计算方法时，在知道边长为1厘米的正方形面积是1平方厘米后，教师出示一个长4厘米、宽3厘米的长方形，提出：请各组想办法求出长方形的面积。学生活动后汇报：
生1：我们组把面积一平方厘米的小正方形摆在这个长方形里，每行4个，摆3行共12个，所以这个长方形的面积是12平方厘米。
生2：我们组也是用了面积一平方厘米的小正方形摆，摆了横行有4个，竖行有3个，4×3=12，这个长方形的面积是12平方厘米。
师：学校操场也是一个长方形，如果是要计算它的面积，是不是也用边长1厘米的小正方形去摆?从刚才的操作和计算中，你想到什么好的方法?(学生思考、交流)
生3：我们觉得只要量出学校操场的长和宽，就可以计算出它的面积。因为在算出我们手中的长方形的面积时，长方形的长是4厘米，可以摆4个一平方厘米的小正方形，宽是3厘米，可以摆3个一平方厘米的正方形。一共可以摆4×3＝12个一平方厘米的小正方形，面积是12平方厘米。所以直接用长方形的长x宽也就是4×3＝12就得出它的面积。
学习三角形的面积计算方法后，老师出示图形，角形面积是否相等?(a=8cm：h=5cm)
生1：我用底边8÷2＝4，左边三角形面积＝4×5÷2＝10平方厘米，右边的三角形面积＝4 × 5÷2＝10平方厘米，因此两个小三角形的面积相等。
生2：我利用公式推出来的。三角形的面积计算公式是底×高÷2，B是中点，两个小三角形的底边一样，底边对应的高也一样，所以两个三角形的面积相等。
案例1学生运用计算推出长方形面积计算公式，学生看到长×宽就知道是计算长方形面积，案例2中学生通过计算证明了三角形的一条中线将它分成两个三角形，这两个三角形的面积相等。到了中学，学生不用计算，直接用几何推理也得出它们的面积相等，这就由计算转向几何推理。教学中将图形问题转化为代数问题，它突出图像的形象思维，又帮助学生获得准确的结论，是训练学生掌握几何图形基本概念的很好手段，使学生的思维能力、情感态度等方面都得到发展，培养学生数中有形、形中有数的意识。
“数”与“形”的信息转换，相互渗透，不仅使解题简捷明快，还开拓解题思路，为研究和探求数学问题开辟了一条重要的途径。
一、形为起点，从小学说几何语言
几何在数学中具有非常重要的地位，几乎所有重要的数学概念都是从几何中得出来的，所以有人说几何是数学思想的摇篮。几何不仅有直观的图形，还有推理。推理就要运用到语言。学几何，语言是一关。从人的生长经历可知，孩子的最初语言建立是模仿而不是理解。教材的编排也可是从认识图形开始，教师从一年级的认教就教学生学说几何语言，让学生在认识数时通过图形建立数的概念。如学习“3”，教师可以出示三角形，教学生说三角形有三条边三个顶点。也许学生不知道概念的准确含义，但是看图学生具有直觉印象，就会从形象上熟悉三角形，对以后看到的物体或平面图形，知道这就是三角形，那不是三角形，到高年级再学到三角形时学生比较熟悉，就能自觉使用积累的几何语言描述三角形的基本特征，也就不会感到三角形是抽象的几何图形。因而学生在学数及计算时，教师不妨多举一些几何图形的例子，用数描述几何图形，将来学生学到几何时，学生的几何语言关就比较容易过，因为他早已说过了。
二、以形助数，在直观中构建数学模型
借助图形的直观性质将抽象的数学概念和数量关系形象化、简单化，给学生以直观感，让学生从已有的知识经验出发，亲历将实际问题抽象成数学模型，为理解数学概念奠定基础，教师通过以形助数突出图的形象思维，促进学生形象思维与抽象思维的有机结合，化繁为简，化难为易，让学生用多种感觉器官充分感知，在形成表象的基础上进行想象、联想，达到最终理解数学概念，解决数学问题，形成数学思想的目的。
如教学“约数与倍数”。
师：请同学们用12个小正方形摆出一个长方形，你打算怎样摆?用除法算式表示行吗?
学生摆出的图形如下：
生1：我得出的除法算式是：12÷1＝12。
师：猜猜他是怎样摆的?
生2：他是用12个小正方形摆成一行或一列。
师：还可以怎样摆?
生3：摆2行，每行6个；或摆6行，每行2个。
除法算式：12÷2＝6，12÷6＝2。
生4：还可以摆4行，每行3个；或摆3行，每行4个。
除法算式：12÷4＝3，12÷3＝4。
师；对，12÷4＝3，就是把12个方格每3个摆一行，摆4行，在数学上我们可以说4是12的因数，3也是12的因数，12是3的倍数，12也是4的倍数。请你结合其他的除法算式与同学说说谁是谁的因数，谁是谁的倍数。
这个案例教学伊始，教师直接创设摆、涂图形的数学活动，通过这些活动激活学生的形象思维，透过数学潜在的“形”与“数”的关系，把抽象的数学语言与直观的图形结合起来，使抽象思维和形象思维相结合，为研究“因数与倍数”、借助直观来定义概念，进而为培养学生的抽象能力打下良好的基础，有效地实现原有知识与新知识之间的链接，诱发学生探索与学习的欲望，激活学生的思维。这说明以形助数，能把许多抽象概念和性质、运算化为直观形象。将某些较难的数学问题，借助图形，可帮助学生建构数学模型，找到解题的捷径。
三、以数显形，在计算中形成空间观念
几何推理是抽象的计算，计算是具体的推理，图形是推理和计算的直观模型。数学活动里的画图和推理，归根到底都是计算。如教学长方形面积计算方法时，在知道边长为1厘米的正方形面积是1平方厘米后，教师出示一个长4厘米、宽3厘米的长方形，提出：请各组想办法求出长方形的面积。学生活动后汇报：
生1：我们组把面积一平方厘米的小正方形摆在这个长方形里，每行4个，摆3行共12个，所以这个长方形的面积是12平方厘米。
生2：我们组也是用了面积一平方厘米的小正方形摆，摆了横行有4个，竖行有3个，4×3=12，这个长方形的面积是12平方厘米。
师：学校操场也是一个长方形，如果是要计算它的面积，是不是也用边长1厘米的小正方形去摆?从刚才的操作和计算中，你想到什么好的方法?(学生思考、交流)
生3：我们觉得只要量出学校操场的长和宽，就可以计算出它的面积。因为在算出我们手中的长方形的面积时，长方形的长是4厘米，可以摆4个一平方厘米的小正方形，宽是3厘米，可以摆3个一平方厘米的正方形。一共可以摆4×3＝12个一平方厘米的小正方形，面积是12平方厘米。所以直接用长方形的长x宽也就是4×3＝12就得出它的面积。
学习三角形的面积计算方法后，老师出示图形，角形面积是否相等?(a=8cm：h=5cm)
生1：我用底边8÷2＝4，左边三角形面积＝4×5÷2＝10平方厘米，右边的三角形面积＝4 × 5÷2＝10平方厘米，因此两个小三角形的面积相等。
生2：我利用公式推出来的。三角形的面积计算公式是底×高÷2，B是中点，两个小三角形的底边一样，底边对应的高也一样，所以两个三角形的面积相等。
案例1学生运用计算推出长方形面积计算公式，学生看到长×宽就知道是计算长方形面积，案例2中学生通过计算证明了三角形的一条中线将它分成两个三角形，这两个三角形的面积相等。到了中学，学生不用计算，直接用几何推理也得出它们的面积相等，这就由计算转向几何推理。教学中将图形问题转化为代数问题，它突出图像的形象思维，又帮助学生获得准确的结论，是训练学生掌握几何图形基本概念的很好手段，使学生的思维能力、情感态度等方面都得到发展，培养学生数中有形、形中有数的意识。
“数”与“形”的信息转换，相互渗透，不仅使解题简捷明快，还开拓解题思路，为研究和探求数学问题开辟了一条重要的途径。