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【摘要】在高等数学教学中,一些数学概念、定义或公式从形式上说比较抽象,但其内容都与实际应用有关。为了讲清一些抽象的数学概念或公式,引入应用实例,深化教学改革,提高学生学习兴趣和学习积极性,进一步提高教学质量和教学效果。本文列出了几个重要数学概念和它的相应的实例, 用于丰富教学内容。
【关键词】高等数学 教学改革 教学方法 应用实例
【中图分类号】G642 【文献标识码】A 【文章编号】1009-9646(2009)02(a)-0051-02
1 引言
高校数学是其它学科的基础,在社会科技日益发展的今天,数学更是展现出了其独有的魅力所在。数学对培养学生的良好思维品质和创新精神具有重要作用,而传统的教学模式却限制了学生积极性和创造性的发挥,甚至影响到高质量人才的培养。因此,对高等数学教学改革已达成共识,如何进行教学改革,却没有一定的模式,但是,为了讲清高数中的一些重要概念引入实例教学法,将抽象的的概念变为具体的形象的概念,愈来愈受到学生的欢迎,对于提高学生的学习兴趣和教学效果很有裨益。
2 几个数学概念的相关实例及其应用
2.1 第一个重要概念:极限的实例证明
一般教材是先给出夹逼定理及证明,再证明,为了避开夹逼定理及证明。我们用圆的面积公式来证明重要极限
下面分析如下:设圆是一个单位圆,则。将圆周n等分,等分点为,连接得到了个全等等腰三角形。计算的面积,在中,
这n个三角形面积之和
显然,当n越大时,An越接近于圆的面积。当时,,即
,
若令有
2.2 第二个重要极限的证明
用连续复利计息这个事例来证明第二个重要极限。
设本金为A0,年利率为r,一年内计息n次。
例如:n=12,按月计息按分钟计息,按秒计息……,当时,就是连续复利计息。则在一年内的本利和为:,(r>0)显然由实际问题可知,此数列一定是单调递增且有界数列,,则有
(e是一个常数)。
2.3 函数y=f(x)在x0处连续与间断的实例
函数y=f(x)在x0处连续与间断是一对相互否定的概念,因此可以放在一起来讲,这对概念也是比较抽象的,在教材安排上也没有举实例。作者在很长一段时间也苦于找不到一个很好的实例。正好,我国于公元2007年十月二十日18:05发射“嫦蛾一号”探月卫星,当火箭发射时,燃料燃烧释放大量的热量,为了吸收这些热量,发射架下建了一个400m2水池。当火箭发射瞬间,水池里的水全部变为水蒸气。基于这个实例,并将概括成函数模型。设水池容积为V,将向水池中注入水管的流速为V0,注满水的时间为t0,火箭发射的时刻为t1,则V关于时间t的函数为:
如图所示:
由此实例可知,向水池中连续注入水时,水池中水的变化是连续变化的,当水池注满水到火箭发射时,水池中的水是一个不变的体积(常量),也是连续的,当火箭发射时,水池中的水由400m2变为0。由此可知,v(t)在t=t0处是连续,在t=t1是不连续的。
再分析:,,即
,但
不存在。
即得出,f(x)在x0点连续,否则f(x)在x0点处不连续。
3.4 定积分概念应用的实例
在讲授定积分计算及其应用时,作者就地取材,作者学院的讲台的台面是一个曲边梯形。就以分析讲台台面为例来分析计算曲边梯形的面积,如图,
画出讲台台面的草图,设讲台台面边缘为曲线,可近似为抛物线
测得OA=0.3,DE=0.5,CB=0.4,
即x=0,y=0.3; x=0.5y=0.5;x=1,y=0.4;三组数据代入抛物线方程求得
得抛物线方程
利用定积分的概念进行计算:
将讲台的长1米n等分,则每一等分为,取。
则有
利用牛顿一莱布尼兹公式求S
且有
2.5 基础解析的实例。
在城市中,交通堵塞成为阻碍城市发展的“颈瓶”和市民关注的焦点。下面的例子一方面给出了交通堵塞的部分数学解释,另一方面也给出线性方程组基础解析一个生动的刻画。图中是某一地区的公交网络图,所有的道路都是单行道,且道上不能停车,通过的方向用箭头表示,标示的数字为高峰期每小时进出网络的车辆数,试从交通流量平衡条件建立线性方程组,并对解作出符合实际意义的解释。
如图:
根据每个“十字”路口的节“入=出”的准则,四个“十字”路口节点的方程;
(1)
(2)
(3)
(4)
上述方程组的通解为:
为正数
本来上述方程组有四个未知数,有四个方程,但是,从实际分析中得知,K为整数,有正负之分是与行车方向有关,基础解系的实际意义是什么呢？如果说明这800辆车在单形道上只行驶一次,当时,说明路上在此基础上增加了k辆车,而此公路交通网络流入的车辆为(200+100+200+300),从公路网络流出的车辆(300+300+200)=800辆,
k=0时辆,
时,辆,
为什么呢？只能说明有些“无聊”的司机找不到目标和方向,在此公交网络单行道中来回往复行驶多次。
高等数学从理论说是比较抽象的,但它来源于实践,而又能指导实践,在讲授高等数学时,应该因时,因地制宜,例举一些实例,用一些具体实例得出一般的数学概念或者用一些具体事例解释一些数学抽象概念。从而最终改变以往学生学数学枯燥无味的局面,全面进行数学改革,提高教学质量。
参考文献
[1] 朱晓杰,赵玉荣.注重应用实例,提高高等数学课程的教学质量效果[J].大学数学.2007,23(3).182-186.
[2] 孟晓玲,喻军.对高校数学教学改革的思考[J].经济师.2006,9.149-151.
[3] 高汝熹.高等数学(一)微积分[M].武汉大学出版社.1992.
注：“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。”
【关键词】高等数学 教学改革 教学方法 应用实例
【中图分类号】G642 【文献标识码】A 【文章编号】1009-9646(2009)02(a)-0051-02
1 引言
高校数学是其它学科的基础,在社会科技日益发展的今天,数学更是展现出了其独有的魅力所在。数学对培养学生的良好思维品质和创新精神具有重要作用,而传统的教学模式却限制了学生积极性和创造性的发挥,甚至影响到高质量人才的培养。因此,对高等数学教学改革已达成共识,如何进行教学改革,却没有一定的模式,但是,为了讲清高数中的一些重要概念引入实例教学法,将抽象的的概念变为具体的形象的概念,愈来愈受到学生的欢迎,对于提高学生的学习兴趣和教学效果很有裨益。
2 几个数学概念的相关实例及其应用
2.1 第一个重要概念:极限的实例证明
一般教材是先给出夹逼定理及证明,再证明,为了避开夹逼定理及证明。我们用圆的面积公式来证明重要极限
下面分析如下:设圆是一个单位圆,则。将圆周n等分,等分点为,连接得到了个全等等腰三角形。计算的面积,在中,
这n个三角形面积之和
显然,当n越大时,An越接近于圆的面积。当时,,即
,
若令有
2.2 第二个重要极限的证明
用连续复利计息这个事例来证明第二个重要极限。
设本金为A0,年利率为r,一年内计息n次。
例如:n=12,按月计息按分钟计息,按秒计息……,当时,就是连续复利计息。则在一年内的本利和为:,(r>0)显然由实际问题可知,此数列一定是单调递增且有界数列,,则有
(e是一个常数)。
2.3 函数y=f(x)在x0处连续与间断的实例
函数y=f(x)在x0处连续与间断是一对相互否定的概念,因此可以放在一起来讲,这对概念也是比较抽象的,在教材安排上也没有举实例。作者在很长一段时间也苦于找不到一个很好的实例。正好,我国于公元2007年十月二十日18:05发射“嫦蛾一号”探月卫星,当火箭发射时,燃料燃烧释放大量的热量,为了吸收这些热量,发射架下建了一个400m2水池。当火箭发射瞬间,水池里的水全部变为水蒸气。基于这个实例,并将概括成函数模型。设水池容积为V,将向水池中注入水管的流速为V0,注满水的时间为t0,火箭发射的时刻为t1,则V关于时间t的函数为:
如图所示:
由此实例可知,向水池中连续注入水时,水池中水的变化是连续变化的,当水池注满水到火箭发射时,水池中的水是一个不变的体积(常量),也是连续的,当火箭发射时,水池中的水由400m2变为0。由此可知,v(t)在t=t0处是连续,在t=t1是不连续的。
再分析:,,即
,但
不存在。
即得出,f(x)在x0点连续,否则f(x)在x0点处不连续。
3.4 定积分概念应用的实例
在讲授定积分计算及其应用时,作者就地取材,作者学院的讲台的台面是一个曲边梯形。就以分析讲台台面为例来分析计算曲边梯形的面积,如图,
画出讲台台面的草图,设讲台台面边缘为曲线,可近似为抛物线
测得OA=0.3,DE=0.5,CB=0.4,
即x=0,y=0.3; x=0.5y=0.5;x=1,y=0.4;三组数据代入抛物线方程求得
得抛物线方程
利用定积分的概念进行计算:
将讲台的长1米n等分,则每一等分为,取。
则有
利用牛顿一莱布尼兹公式求S
且有
2.5 基础解析的实例。
在城市中,交通堵塞成为阻碍城市发展的“颈瓶”和市民关注的焦点。下面的例子一方面给出了交通堵塞的部分数学解释,另一方面也给出线性方程组基础解析一个生动的刻画。图中是某一地区的公交网络图,所有的道路都是单行道,且道上不能停车,通过的方向用箭头表示,标示的数字为高峰期每小时进出网络的车辆数,试从交通流量平衡条件建立线性方程组,并对解作出符合实际意义的解释。
如图:
根据每个“十字”路口的节“入=出”的准则,四个“十字”路口节点的方程;
(1)
(2)
(3)
(4)
上述方程组的通解为:
为正数
本来上述方程组有四个未知数,有四个方程,但是,从实际分析中得知,K为整数,有正负之分是与行车方向有关,基础解系的实际意义是什么呢？如果说明这800辆车在单形道上只行驶一次,当时,说明路上在此基础上增加了k辆车,而此公路交通网络流入的车辆为(200+100+200+300),从公路网络流出的车辆(300+300+200)=800辆,
k=0时辆,
时,辆,
为什么呢？只能说明有些“无聊”的司机找不到目标和方向,在此公交网络单行道中来回往复行驶多次。
高等数学从理论说是比较抽象的,但它来源于实践,而又能指导实践,在讲授高等数学时,应该因时,因地制宜,例举一些实例,用一些具体实例得出一般的数学概念或者用一些具体事例解释一些数学抽象概念。从而最终改变以往学生学数学枯燥无味的局面,全面进行数学改革,提高教学质量。
参考文献
[1] 朱晓杰,赵玉荣.注重应用实例,提高高等数学课程的教学质量效果[J].大学数学.2007,23(3).182-186.
[2] 孟晓玲,喻军.对高校数学教学改革的思考[J].经济师.2006,9.149-151.
[3] 高汝熹.高等数学(一)微积分[M].武汉大学出版社.1992.
注：“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。”