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【摘 要】变式练习主要有一题多变、一题多解、多题一解和开放性变式等形式，它对培养兴趣、提高能力、发展思维具有重要作用。设置变式练习要有针对性、阶段性、多样性和创造性。
【关键词】变式练习；数学教学；运用
数学教学离不开练习，学生学习数学也离不开练习。华罗庚认为：“学习数学而不做题，好比入宝山而空返”。精辟的说明了练习的重要作用。但是，如果搞“题海战术”，只是进行单一的、重复的机械性练习，不仅对学生知识与思维能力发展没有好处，而且还会使学生对学习逐步丧失兴趣。实践表明变式练习能让学生体验到解决问题的乐趣，因而积极主动地进行分析、探索，进而加深对知识的理解，提高思维能力与解决问题能力。因此，在数学教学中如何有效的选择练习，编制练习是每一位数学教师应该认真思考的问题。本文将结合我的教学实践，就变式练习在数学教学中的运用谈谈我的粗浅认识。
1.变式练习在数学教学中的必要性
变式练习是指变换数学问题的条件或结论，改变问题的形式或内容，变换问题的解决方法，变更问题中的非本质性，使问题的本质不变的练习，它在数学教学中具有重要作用。
变式练习能够激发学生的学习兴趣。心理学告诉我们，在学习中，若只有一种分析器连续使用，容易让学生失去注意。而运用多种分析器则可以提高大脑皮层的兴奋性，使注意得以较长时间的保持。因此，运用变式练习能使学生对学习保持浓厚的兴趣。
变式练习能够提高学生的解题技能。变式练习可将一个问题进行引申和变化，有利于学生归纳解题方法，从不同角度分析解题方法，寻求解题的途径，提高学生的解题技能。
变式练习能够开阔学生的思维，提高探索能力。教师通过变式练习，改变问题的背景、条件、结论，让学生去思考、讨论，培养学生的探索精神。通过一题多解，从多角度分析问题，培养了学生发散思维，开阔了思路。
变式练习能够充分发挥学生的主体地位。课堂上教师通过变式练习，与学生一起探讨，学生之间通过小组也可以一起讨论，真正体现了教师为主导，学生为主体的课堂教学思想。
可见，只是把某个知识点涉及的习题翻来覆去的做，也能收到效果。但是，这样会影响学习兴趣，也不利于解题能力与思维能力的培养。因此，在教学中应使用变式练习，而且多多益善。
2.变式练习的形式及其在教学中的运用
变式练习主要有以下四种形式：一道习题多种变化、一道习题多种解法、一种方法解决多个问题及开放性变式问题等。
2.1一题多变，是变式练习最常用的方法。对原问题的条件或结论进行改造，逐步引导学生向纵深伸展，从而完善学生的知识结构，扩展学生的思维能力。
2.1.1变换问题的条件
例1：（人教版高中数学选修2-1P50）一动圆M与两圆C1：（x+3）2+y2=4和C2：（x-3）2+y2=9都外切，求动圆圆心M的轨迹方程。
此题点M的轨迹是以C1、C2为焦点实轴长为1的双曲线的左支。学生解完该题后，我引导学生对其进行变式研究：
变式1 把都外切改为都内切。
轨迹变为以C1、C2为焦点实轴长为1的双曲线的右支。
变式2 把都外切改为与C1外切，与C2内切。
轨迹为以C1、C2为焦点实轴长为5的双曲线的右支。
变式3 把都外切改为一个外切，一个内切。
轨迹变为以C1、C2为焦点实轴长为5的双曲线。
变式4 把圆C2中的9改为100，并把都外切改为都相切。
此时两圆由相离变为内含，轨迹也由双曲线变为椭圆。
变式5把圆C2中的9改为4。
些时两圆的半径相等，轨迹由双曲线变成了一条直线。
通过对例1的研究，既充分复习了两圆的位置关系，又深刻揭示了利用圆锥曲线定义求轨迹方程的一般方法，让学生回味无穷。
2.1.2变换问题的结论
例2：已知直三棱柱ABC—A1B1C1，AC⊥BC，其中AA1=4，B1C1=4，A1C1=3，D是AB的中点。
（1）求证：AC⊥BC1；（2）求证：AC1∥平面CDB1；
这是一道简单的立方体几何证明问题，学生很快就解完了。在不改变题目条件的情况下，我引导学生自己提出问题并解答。学生热烈讨论，并提出了以下各种问题。
变式1 求异面直线AC1与B1C所成角的余弦值。
变式2 若E为A1B1的中点，求证：平面AC1E∥平面CDB1。
变式3 求证：平面ABC1⊥平面AB1C
变式4 求二面角B1-CD-B大小的余弦值。
变式5 求点B到平面CDB1的距离。
变式6 求直线AA1与平面CDB1所成角的正弦值。
变式7 线段AB上是否存在一点F，使得直线A1F⊥平面CDB1，若存在求出F的位置，若不存在说明理由。
这样从一道题，引出一串题，能帮助学生完善知识结构，真正收到由表及里、举一反三的效果。
2.2一题多解，是变式练习的重要手段。通过一题多解，让学生在探索不同的解法过程中，沟通知识点之间的逻辑联系，提高解题能力。
例3：求（x2+4x+3）4展开式中含x的项的系数。
这是上完二项式定理这一节后，给学生布置的一道习题，我要求学生用多种解法求解。
解法一：（x2+4x+3）4=[x2+（4x+3）]4
=C40x8+C41x6（4x+3）+C42x4（4x+3）2+C43x2（4x+3）3+C44（4x+3）4
上式中只有最后一项会出现含的项，易求得的项的系数为C44C43·4·33=432 解法二：（x2+4x+3）4=（x+1）4（x+3）4，则x项的系数是由（x+1）4展开式的一次项系数乘以（x+3）4展开式的常数项与（x+1）4展开式的常数项乘以（x+3）4展开式的一次项系数之和构成，即x项的系数为C43·34+C43·33=432
解法三：（x2+4x+3）4=（x2+4x+3）·（x2+4x+3）·（x2+4x+3）·（x2+4x+3）
则（x2+4x+3）4的展开式中的每一项是由上面四个因式各出一项组成，所以项的系数为从其中一个因式中的一次项系数4与其它三个因式中的常数3组成。由此x项的系数为C41·4·33=432
解法四：分析可发现（x2+4x+3）4中的x2不会对展开式中的x项系数产生影响，所以（x2+4x+3）4展开式中的x项的系数与（4x+3）4展开式中的x项的系数相同，因此只需求（4x+3）4展开式中的x项的系数，即系数为C43·4·33=432
解法五：设（x2+4x+3）4=a0+a1x+a2x2+…+a8x8
两边求导数得：4（x2+4x+3）3（2x+4）=a1+2a2x+…8a8x7
令x=0得4·33·4=a1，即x项的系数为4·33·4=432
以上五种解法是和学生共同探讨得出的，特别是解法四和解法五，解法非常巧妙，引来学生一片惊叹。通过不同解法的分析与比较，可帮助学生熟练掌握知识，扩宽解题思路，提高解题能力。
2.3利用多题一解，把有关联的知识、技能有机地联系起来，以加深学生对知识与方法的理解，培养求同存异的思维能力。
2.3.1以某种解题方法为核心设置多题一解
例4：（1）函数f（x）=x3-3x+a的图像与x轴有三个不同的交点，求a的取值范围。
（2）函数f（x）=x3-3x+a有三个零点，求a的取值范围。
（3）方程x3-3x+a=0有三个不同的根，求a的取值范围。
（4）直线y=3x-a与曲线y=x3有三个不同的交点，求a的取值范围。
上述四道习题虽然形式有所不同，但解题方法是一样的，都是用导数求出单调区间与极值，并结合图像求解。让学生在解题中感悟共性，能够收到了良好的教学效果。
2.3.2以某个知识点为主线设置多题一解
例5：求证：（1）（人教版高中数学选修2-1P81）过抛物线y2=2px的焦点F作直线与抛物线交于A，B两点，以AB为直径的圆必与准线相切。
（2）以抛物线y2=2px上任意一点M与焦点F连线MF为直径的圆必与y轴相切。
（3）以椭圆上任意一点M到焦点的连线为直径的圆必与以长轴为直径的圆相切。
（4）以双曲线上任意一点M到相应焦点连线为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切。
这一题组，其方法均是运用梯形或三角形中位线定理及圆锥曲线定义解决。在复习了圆锥曲线定义的基础上，进一步复习了利用定义解题的技巧。
在教学中，教师应重视对这类题目的收集与编制，引导学生寻找通解通法，感悟它们之间的内在联系。
2.4开放性变式题的教学，摆脱了“教师示范例题，学生模仿例题”的模式，有利于培养学生的探索能力，发展创造性思维能力。
例6：（人教版高中数学选修2-1P80）已知△ABC的两个顶点A、B的坐标分别为（-5，0），（5，0），且AC，BC所在直线的斜率之积等于m（m≠0），试探求顶点C的轨迹。
这是一道给定条件，探求结论的开放性练习。师生共同探讨，得出顶点C的轨迹与m的范围有关，轨迹可以是圆，可以是椭圆，也可以是双曲线。分析完这题后，我对该题进行改编，把原题的一个条件去掉，让学生自己添上一个条件，并根据所添加的条件，求出结论。改编如下：
已知△ABC的两个顶点A、B的坐标分别为（-5，0），（5，0），请你添加一个恰当的条件，并求出顶点C的轨迹方程。
在这节课上，学生讨论热烈，课堂气氛活跃，所添加的条件也丰富多彩，结论也各不相同。以下是学生添加的条件，展示其中的一部分：
（1）|AC|+|BC|=12；
（2）|AC|-|BC|=m（0 （3）AC与BC所在直线的斜率之和为1；
（4）直线AC的斜率是直线BC斜率的2倍；
（5）△ABC的周长为m（m>20）；
（6）△ABC的面积为5；
（7）顶点C到顶点A、B的距离之比为2。
这种开放性练习，让学生直接参与到数学习题形成的过程之中，能充分调动学生主动参与的积极性。对于培养学生的应用意识和创造能力具有很好的作用。在教学中，我们可经常设计开放性问题，使学生思维活跃，思路广阔。
3.变式练习要注意的几个原则
变式练习要有针对性。在编制变式练习时，要充分考虑教学的目的、教学要求以及学生的实际情况。针对不同程度学生的特点，编制出围绕教学目标的变式练习。
变式练习要有阶段性。学生学习有三个阶段，即初步练习阶段、熟练掌握阶段、灵活应用阶段。教师应准确把握各个阶段的特点，按照这三个阶段的顺序，适时、适量的进行变式练习。
变式练习要有多样性。变式练习就是为了克服练习的形式单一而设置的，所以编制练习要注意多样性，不断变换问题的条件或结论，转换问题的形式或内容。
变式练习要有创造性。变式练习的特点决定了它能激发学生学习兴趣，进而产生解决数学问题迫切要求。教师应该抓住这一有利时机，在练习中适当增加创造性的因素，提高学生探索数学问题的积极性。
以上是我对数学教学中加强变式练习的认识与实践。总之，我们在数学教学中，应充分应用变式练习，它对培养学生学习数学的兴趣，激发求知欲望，开阔思路，提高解题能力都具有重要作用。
【参考文献】
[1]冯克诚.数学解题教学与训练指导[M].北京：印刷工业出版社，2001
[2]段黑仔.一道例题的教学与反思[J].数学教学研究，2005（6）
[3]周万林.解析几何中加强变式教学的认识与实践[J].数学教学研究，2005（3）
【关键词】变式练习；数学教学；运用
数学教学离不开练习，学生学习数学也离不开练习。华罗庚认为：“学习数学而不做题，好比入宝山而空返”。精辟的说明了练习的重要作用。但是，如果搞“题海战术”，只是进行单一的、重复的机械性练习，不仅对学生知识与思维能力发展没有好处，而且还会使学生对学习逐步丧失兴趣。实践表明变式练习能让学生体验到解决问题的乐趣，因而积极主动地进行分析、探索，进而加深对知识的理解，提高思维能力与解决问题能力。因此，在数学教学中如何有效的选择练习，编制练习是每一位数学教师应该认真思考的问题。本文将结合我的教学实践，就变式练习在数学教学中的运用谈谈我的粗浅认识。
1.变式练习在数学教学中的必要性
变式练习是指变换数学问题的条件或结论，改变问题的形式或内容，变换问题的解决方法，变更问题中的非本质性，使问题的本质不变的练习，它在数学教学中具有重要作用。
变式练习能够激发学生的学习兴趣。心理学告诉我们，在学习中，若只有一种分析器连续使用，容易让学生失去注意。而运用多种分析器则可以提高大脑皮层的兴奋性，使注意得以较长时间的保持。因此，运用变式练习能使学生对学习保持浓厚的兴趣。
变式练习能够提高学生的解题技能。变式练习可将一个问题进行引申和变化，有利于学生归纳解题方法，从不同角度分析解题方法，寻求解题的途径，提高学生的解题技能。
变式练习能够开阔学生的思维，提高探索能力。教师通过变式练习，改变问题的背景、条件、结论，让学生去思考、讨论，培养学生的探索精神。通过一题多解，从多角度分析问题，培养了学生发散思维，开阔了思路。
变式练习能够充分发挥学生的主体地位。课堂上教师通过变式练习，与学生一起探讨，学生之间通过小组也可以一起讨论，真正体现了教师为主导，学生为主体的课堂教学思想。
可见，只是把某个知识点涉及的习题翻来覆去的做，也能收到效果。但是，这样会影响学习兴趣，也不利于解题能力与思维能力的培养。因此，在教学中应使用变式练习，而且多多益善。
2.变式练习的形式及其在教学中的运用
变式练习主要有以下四种形式：一道习题多种变化、一道习题多种解法、一种方法解决多个问题及开放性变式问题等。
2.1一题多变，是变式练习最常用的方法。对原问题的条件或结论进行改造，逐步引导学生向纵深伸展，从而完善学生的知识结构，扩展学生的思维能力。
2.1.1变换问题的条件
例1：（人教版高中数学选修2-1P50）一动圆M与两圆C1：（x+3）2+y2=4和C2：（x-3）2+y2=9都外切，求动圆圆心M的轨迹方程。
此题点M的轨迹是以C1、C2为焦点实轴长为1的双曲线的左支。学生解完该题后，我引导学生对其进行变式研究：
变式1 把都外切改为都内切。
轨迹变为以C1、C2为焦点实轴长为1的双曲线的右支。
变式2 把都外切改为与C1外切，与C2内切。
轨迹为以C1、C2为焦点实轴长为5的双曲线的右支。
变式3 把都外切改为一个外切，一个内切。
轨迹变为以C1、C2为焦点实轴长为5的双曲线。
变式4 把圆C2中的9改为100，并把都外切改为都相切。
此时两圆由相离变为内含，轨迹也由双曲线变为椭圆。
变式5把圆C2中的9改为4。
些时两圆的半径相等，轨迹由双曲线变成了一条直线。
通过对例1的研究，既充分复习了两圆的位置关系，又深刻揭示了利用圆锥曲线定义求轨迹方程的一般方法，让学生回味无穷。
2.1.2变换问题的结论
例2：已知直三棱柱ABC—A1B1C1，AC⊥BC，其中AA1=4，B1C1=4，A1C1=3，D是AB的中点。
（1）求证：AC⊥BC1；（2）求证：AC1∥平面CDB1；
这是一道简单的立方体几何证明问题，学生很快就解完了。在不改变题目条件的情况下，我引导学生自己提出问题并解答。学生热烈讨论，并提出了以下各种问题。
变式1 求异面直线AC1与B1C所成角的余弦值。
变式2 若E为A1B1的中点，求证：平面AC1E∥平面CDB1。
变式3 求证：平面ABC1⊥平面AB1C
变式4 求二面角B1-CD-B大小的余弦值。
变式5 求点B到平面CDB1的距离。
变式6 求直线AA1与平面CDB1所成角的正弦值。
变式7 线段AB上是否存在一点F，使得直线A1F⊥平面CDB1，若存在求出F的位置，若不存在说明理由。
这样从一道题，引出一串题，能帮助学生完善知识结构，真正收到由表及里、举一反三的效果。
2.2一题多解，是变式练习的重要手段。通过一题多解，让学生在探索不同的解法过程中，沟通知识点之间的逻辑联系，提高解题能力。
例3：求（x2+4x+3）4展开式中含x的项的系数。
这是上完二项式定理这一节后，给学生布置的一道习题，我要求学生用多种解法求解。
解法一：（x2+4x+3）4=[x2+（4x+3）]4
=C40x8+C41x6（4x+3）+C42x4（4x+3）2+C43x2（4x+3）3+C44（4x+3）4
上式中只有最后一项会出现含的项，易求得的项的系数为C44C43·4·33=432 解法二：（x2+4x+3）4=（x+1）4（x+3）4，则x项的系数是由（x+1）4展开式的一次项系数乘以（x+3）4展开式的常数项与（x+1）4展开式的常数项乘以（x+3）4展开式的一次项系数之和构成，即x项的系数为C43·34+C43·33=432
解法三：（x2+4x+3）4=（x2+4x+3）·（x2+4x+3）·（x2+4x+3）·（x2+4x+3）
则（x2+4x+3）4的展开式中的每一项是由上面四个因式各出一项组成，所以项的系数为从其中一个因式中的一次项系数4与其它三个因式中的常数3组成。由此x项的系数为C41·4·33=432
解法四：分析可发现（x2+4x+3）4中的x2不会对展开式中的x项系数产生影响，所以（x2+4x+3）4展开式中的x项的系数与（4x+3）4展开式中的x项的系数相同，因此只需求（4x+3）4展开式中的x项的系数，即系数为C43·4·33=432
解法五：设（x2+4x+3）4=a0+a1x+a2x2+…+a8x8
两边求导数得：4（x2+4x+3）3（2x+4）=a1+2a2x+…8a8x7
令x=0得4·33·4=a1，即x项的系数为4·33·4=432
以上五种解法是和学生共同探讨得出的，特别是解法四和解法五，解法非常巧妙，引来学生一片惊叹。通过不同解法的分析与比较，可帮助学生熟练掌握知识，扩宽解题思路，提高解题能力。
2.3利用多题一解，把有关联的知识、技能有机地联系起来，以加深学生对知识与方法的理解，培养求同存异的思维能力。
2.3.1以某种解题方法为核心设置多题一解
例4：（1）函数f（x）=x3-3x+a的图像与x轴有三个不同的交点，求a的取值范围。
（2）函数f（x）=x3-3x+a有三个零点，求a的取值范围。
（3）方程x3-3x+a=0有三个不同的根，求a的取值范围。
（4）直线y=3x-a与曲线y=x3有三个不同的交点，求a的取值范围。
上述四道习题虽然形式有所不同，但解题方法是一样的，都是用导数求出单调区间与极值，并结合图像求解。让学生在解题中感悟共性，能够收到了良好的教学效果。
2.3.2以某个知识点为主线设置多题一解
例5：求证：（1）（人教版高中数学选修2-1P81）过抛物线y2=2px的焦点F作直线与抛物线交于A，B两点，以AB为直径的圆必与准线相切。
（2）以抛物线y2=2px上任意一点M与焦点F连线MF为直径的圆必与y轴相切。
（3）以椭圆上任意一点M到焦点的连线为直径的圆必与以长轴为直径的圆相切。
（4）以双曲线上任意一点M到相应焦点连线为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切。
这一题组，其方法均是运用梯形或三角形中位线定理及圆锥曲线定义解决。在复习了圆锥曲线定义的基础上，进一步复习了利用定义解题的技巧。
在教学中，教师应重视对这类题目的收集与编制，引导学生寻找通解通法，感悟它们之间的内在联系。
2.4开放性变式题的教学，摆脱了“教师示范例题，学生模仿例题”的模式，有利于培养学生的探索能力，发展创造性思维能力。
例6：（人教版高中数学选修2-1P80）已知△ABC的两个顶点A、B的坐标分别为（-5，0），（5，0），且AC，BC所在直线的斜率之积等于m（m≠0），试探求顶点C的轨迹。
这是一道给定条件，探求结论的开放性练习。师生共同探讨，得出顶点C的轨迹与m的范围有关，轨迹可以是圆，可以是椭圆，也可以是双曲线。分析完这题后，我对该题进行改编，把原题的一个条件去掉，让学生自己添上一个条件，并根据所添加的条件，求出结论。改编如下：
已知△ABC的两个顶点A、B的坐标分别为（-5，0），（5，0），请你添加一个恰当的条件，并求出顶点C的轨迹方程。
在这节课上，学生讨论热烈，课堂气氛活跃，所添加的条件也丰富多彩，结论也各不相同。以下是学生添加的条件，展示其中的一部分：
（1）|AC|+|BC|=12；
（2）|AC|-|BC|=m（0
（4）直线AC的斜率是直线BC斜率的2倍；
（5）△ABC的周长为m（m>20）；
（6）△ABC的面积为5；
（7）顶点C到顶点A、B的距离之比为2。
这种开放性练习，让学生直接参与到数学习题形成的过程之中，能充分调动学生主动参与的积极性。对于培养学生的应用意识和创造能力具有很好的作用。在教学中，我们可经常设计开放性问题，使学生思维活跃，思路广阔。
3.变式练习要注意的几个原则
变式练习要有针对性。在编制变式练习时，要充分考虑教学的目的、教学要求以及学生的实际情况。针对不同程度学生的特点，编制出围绕教学目标的变式练习。
变式练习要有阶段性。学生学习有三个阶段，即初步练习阶段、熟练掌握阶段、灵活应用阶段。教师应准确把握各个阶段的特点，按照这三个阶段的顺序，适时、适量的进行变式练习。
变式练习要有多样性。变式练习就是为了克服练习的形式单一而设置的，所以编制练习要注意多样性，不断变换问题的条件或结论，转换问题的形式或内容。
变式练习要有创造性。变式练习的特点决定了它能激发学生学习兴趣，进而产生解决数学问题迫切要求。教师应该抓住这一有利时机，在练习中适当增加创造性的因素，提高学生探索数学问题的积极性。
以上是我对数学教学中加强变式练习的认识与实践。总之，我们在数学教学中，应充分应用变式练习，它对培养学生学习数学的兴趣，激发求知欲望，开阔思路，提高解题能力都具有重要作用。
【参考文献】
[1]冯克诚.数学解题教学与训练指导[M].北京：印刷工业出版社，2001
[2]段黑仔.一道例题的教学与反思[J].数学教学研究，2005（6）
[3]周万林.解析几何中加强变式教学的认识与实践[J].数学教学研究，2005（3）