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【内容摘要】首先从理论上详细解读古典概型的特征、概率计算公式以及怎样建立概率模型;然后具体指出在理解、认识上应注意的几个问题;最后结合举例剖析，具体阐明古典概型的解题应用。
【关键词】古典概型;特征;概率;基本事件
一、要点精讲
1.古典概型的特征
（1）对于什么样的随机试验，可以根据试验结果的对称性来确定随机事件发生的概率？
答：该随机试验应同时满足以下两个特点：①出现的结果必须是有限个;②出现的结果的可能性必须是相等的。
（2）古典概型具有如下两个特征：
①试验的所有可能结果只有有限个，而且每次试验只出现其中的一个结果;②每一个试验结果出现的可能性相同。
2.古典概型的概率计算公式
（1）基本事件：一次试验连同其中可能出现的每一个结果称为一个基本事件。
（2）概率公式：如果一次试验所有可能出现的结果有n个（即此试验由n个基本事件组成），而且所有结果出现的可能性相等，那么每一个基本事件的概率都是1/n。
如果某个事件A包含的结果有m个（即包含的基本事件有m个），那么事件A的概率为P（A）=m/n，这就是古典概型的概率计算公式。
（3）对于古典概型，如何计算某个事件A的概率？
答：①分析一次试验由多少个基本事件组成（即求n=？）;②分析某个事件A包含多少个基本事件（即求m=？）;③利用公式P（A）=m/n，即可求得某个事件A的概率。
3.建立概率模型
（1）建立一个古典概型时，应注意哪些问题？
答：将什么看作是一个基本事件，是人为规定的，并不绝对化.每次试验有一个并且只有一个基本事件出现.基本事件的总个数是有限的，并且它们的发生是等可能的。
（2）当基本事件的总个数n较小时，计算n和m（某事件A包含的基本事件的个数）取值的最基本而且最有效的方法是什么？
答：先通过画树状图，直观地将所有可能的试验结果一一列举出来;然后数一数，即知n和m的取值;最后利用公式P（A）=m/n，即可求得事件A的概率。
（3）如何优化古典概型？
答：要注重发散思维，多从不同的角度去考虑一个实际问题;同时应注意建立的模型要使试验的所有可能结果数变得尽可能地少，从而问题的解决也就变得尽可能地简单。
二、 特别提醒
1. P（A）=m/n，既是古典概型的概率的定义，又是计算这种概率的基本方法.在运用这个公式时，要注意：必须判断这几种结果是等可能出现的.例如：先后抛掷两枚均匀的一元硬币，若认为只出现“2个正面”、“2个反面”和“1正1反”这3种结果，那就不会等可能.正确理解：共出现“正正”、“正反”、“反正”和“反反” 这4种等可能的结果。
2.教材第167页例2的解法4应引起高度重视。该解法的切入点是：优先考虑目标问题的约束条件，至于其他的情形可以不考慮，这是因为概率本身是一个比值。
三、典例剖析
例1：一个口袋内装有大小相等的1个白球和已编有不同号码的3个黑球，从中摸出2个球。
（1）具体指出共有多少种不同的结果？
（2）具体指出“摸出1白1黑”共有多少种不同的结果？
（3）求“摸出1白1黑”的概率。
解析：
（1）共有6种不同的结果，分别是：（白，黑1），（白，黑2），（白，黑3），（黑1，黑2），（黑1，黑3），（黑2，黑3）。
（2）共有3种不同的结果，分别是：（白，黑1）;（白，黑2）;（白，黑3）。
（3）由于4个球的大小相等，因此做一次试验（即：摸出2个球）所出现的各种不同结果的可能性是相同的，这个试验属于古典概型。
又由（1）知基本事件共有6个，由（2）知事件“摸出1白1黑”共包含3个基本事件.故“摸出1白1黑”的概率为P=3/6=1/2。
评注：在罗列不同的结果时，要注意考虑全面，努力做到不重复不遗漏。
例2：袋中有大小、形状相同的红、黑球各一个，现摸球3次，每次都是有放回地随机摸取一个球。
（1）试问：一共有多少种不同的结果？请列出所有可能的结果;
（2）若摸到红球时得2分，摸到黑球时得1分，求3次摸球所得分为5的概率。
解析：
（1）一共有8种不同的结果，列举如下：（红，红，红），（红，红，黑，），（红，黑，红），（黑，红，红），（红，黑，黑），（黑，红，黑），（黑，黑，红），（黑，黑，黑）。
（2）记“3次摸球所得总分为5”为事件A，则事件A包含的基本事件共有3个，分别为（红，红，黑），（红，黑，红），（黑，红，红）。
又由（1）知基本事件总数为8，故所求概率为P（A）=3/8。
评注：本题极易出错，审清题意非常重要——由于题设要求“每次都是有放回地随机摸取一个球”，所以每次摸取时的情景相同（袋中有1个红球、1个黑球）。
例3：将一个骰子抛掷2次，求“两次掷出的点数都是偶数”的概率。
解析：当第一次掷出的点数为a（a=1，2，3，4，5，6）时，第二次掷出的点数只可能是1，2，3，4，5，6中的某一个，从而做一次试验所得到的基本事件共有6×6=36个。
要使两次掷出的点数都是偶数，则应满足：当第一次掷出的点数为偶数b（b=2，4，6）时，第二次掷出的点数只可能是2，4，6中的某一个.从而知事件“两次掷出的点数都是偶数”共包含3×3=9个基本事件.又易知此试验属于古典概型，故所求概率为P=9/36=1/4。
评注：考查基本事件的个数常用处理方法有：①先按点坐标的形式给出，再数之;②先按表格的形式给出，再数之;③规律性较强时，可通过乘法运算迅速求得（例如本题）。
【参考文献】
[1]林品吟，何小亚，朱源.古典概型的教学思考与教学新设计[J].中学数学杂志，2016（5）：20-24.
[2]宫前长.新课程古典概型教学：困惑、解惑与感悟[J].中学数学，2014（9）：4-8.
（作者单位：甘肃省玉门市第一中学）
【关键词】古典概型;特征;概率;基本事件
一、要点精讲
1.古典概型的特征
（1）对于什么样的随机试验，可以根据试验结果的对称性来确定随机事件发生的概率？
答：该随机试验应同时满足以下两个特点：①出现的结果必须是有限个;②出现的结果的可能性必须是相等的。
（2）古典概型具有如下两个特征：
①试验的所有可能结果只有有限个，而且每次试验只出现其中的一个结果;②每一个试验结果出现的可能性相同。
2.古典概型的概率计算公式
（1）基本事件：一次试验连同其中可能出现的每一个结果称为一个基本事件。
（2）概率公式：如果一次试验所有可能出现的结果有n个（即此试验由n个基本事件组成），而且所有结果出现的可能性相等，那么每一个基本事件的概率都是1/n。
如果某个事件A包含的结果有m个（即包含的基本事件有m个），那么事件A的概率为P（A）=m/n，这就是古典概型的概率计算公式。
（3）对于古典概型，如何计算某个事件A的概率？
答：①分析一次试验由多少个基本事件组成（即求n=？）;②分析某个事件A包含多少个基本事件（即求m=？）;③利用公式P（A）=m/n，即可求得某个事件A的概率。
3.建立概率模型
（1）建立一个古典概型时，应注意哪些问题？
答：将什么看作是一个基本事件，是人为规定的，并不绝对化.每次试验有一个并且只有一个基本事件出现.基本事件的总个数是有限的，并且它们的发生是等可能的。
（2）当基本事件的总个数n较小时，计算n和m（某事件A包含的基本事件的个数）取值的最基本而且最有效的方法是什么？
答：先通过画树状图，直观地将所有可能的试验结果一一列举出来;然后数一数，即知n和m的取值;最后利用公式P（A）=m/n，即可求得事件A的概率。
（3）如何优化古典概型？
答：要注重发散思维，多从不同的角度去考虑一个实际问题;同时应注意建立的模型要使试验的所有可能结果数变得尽可能地少，从而问题的解决也就变得尽可能地简单。
二、 特别提醒
1. P（A）=m/n，既是古典概型的概率的定义，又是计算这种概率的基本方法.在运用这个公式时，要注意：必须判断这几种结果是等可能出现的.例如：先后抛掷两枚均匀的一元硬币，若认为只出现“2个正面”、“2个反面”和“1正1反”这3种结果，那就不会等可能.正确理解：共出现“正正”、“正反”、“反正”和“反反” 这4种等可能的结果。
2.教材第167页例2的解法4应引起高度重视。该解法的切入点是：优先考虑目标问题的约束条件，至于其他的情形可以不考慮，这是因为概率本身是一个比值。
三、典例剖析
例1：一个口袋内装有大小相等的1个白球和已编有不同号码的3个黑球，从中摸出2个球。
（1）具体指出共有多少种不同的结果？
（2）具体指出“摸出1白1黑”共有多少种不同的结果？
（3）求“摸出1白1黑”的概率。
解析：
（1）共有6种不同的结果，分别是：（白，黑1），（白，黑2），（白，黑3），（黑1，黑2），（黑1，黑3），（黑2，黑3）。
（2）共有3种不同的结果，分别是：（白，黑1）;（白，黑2）;（白，黑3）。
（3）由于4个球的大小相等，因此做一次试验（即：摸出2个球）所出现的各种不同结果的可能性是相同的，这个试验属于古典概型。
又由（1）知基本事件共有6个，由（2）知事件“摸出1白1黑”共包含3个基本事件.故“摸出1白1黑”的概率为P=3/6=1/2。
评注：在罗列不同的结果时，要注意考虑全面，努力做到不重复不遗漏。
例2：袋中有大小、形状相同的红、黑球各一个，现摸球3次，每次都是有放回地随机摸取一个球。
（1）试问：一共有多少种不同的结果？请列出所有可能的结果;
（2）若摸到红球时得2分，摸到黑球时得1分，求3次摸球所得分为5的概率。
解析：
（1）一共有8种不同的结果，列举如下：（红，红，红），（红，红，黑，），（红，黑，红），（黑，红，红），（红，黑，黑），（黑，红，黑），（黑，黑，红），（黑，黑，黑）。
（2）记“3次摸球所得总分为5”为事件A，则事件A包含的基本事件共有3个，分别为（红，红，黑），（红，黑，红），（黑，红，红）。
又由（1）知基本事件总数为8，故所求概率为P（A）=3/8。
评注：本题极易出错，审清题意非常重要——由于题设要求“每次都是有放回地随机摸取一个球”，所以每次摸取时的情景相同（袋中有1个红球、1个黑球）。
例3：将一个骰子抛掷2次，求“两次掷出的点数都是偶数”的概率。
解析：当第一次掷出的点数为a（a=1，2，3，4，5，6）时，第二次掷出的点数只可能是1，2，3，4，5，6中的某一个，从而做一次试验所得到的基本事件共有6×6=36个。
要使两次掷出的点数都是偶数，则应满足：当第一次掷出的点数为偶数b（b=2，4，6）时，第二次掷出的点数只可能是2，4，6中的某一个.从而知事件“两次掷出的点数都是偶数”共包含3×3=9个基本事件.又易知此试验属于古典概型，故所求概率为P=9/36=1/4。
评注：考查基本事件的个数常用处理方法有：①先按点坐标的形式给出，再数之;②先按表格的形式给出，再数之;③规律性较强时，可通过乘法运算迅速求得（例如本题）。
【参考文献】
[1]林品吟，何小亚，朱源.古典概型的教学思考与教学新设计[J].中学数学杂志，2016（5）：20-24.
[2]宫前长.新课程古典概型教学：困惑、解惑与感悟[J].中学数学，2014（9）：4-8.
（作者单位：甘肃省玉门市第一中学）