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摘要：数学教学中会遇到具有探究价值的问题，及时捕捉，启发学生运用归纳、类比、猜想的思维方法，将问题横向联系，纵向拓展，对激发学生学习兴趣、提升学习能力、挖掘学习潜能很有帮助。为此，从一道与椭圆有关的解析几何题出发，运用猜想方法，由表及里，探求出问题本质；用归纳法纵向延伸，归纳出一般结论；用类比法横向拓展，类比椭圆、双曲线共有的两个性质，实现从解一题到通一类、会一法的跨越。
关键词：纵向思维；中学数学；一题多解
诗曰：“横看成岭侧成峰，远近高低各不同。”某些数学问题既可以这样解，也可以那样解，不同的解法体现的是解题者思维上的差异，而实施“一题多解”的前提是：需要积累一定的数学知识，善于将零碎的知识进行横向与纵向的联系，并在平时的实践中不断地总结“一题多解”的规律。
一：由表及里，探求问题本质
题目：设A、B分别为椭圆x^2/9+y^2/4=1（a，b>0）的左右顶点，设P为右准线上任意一点（不在并轴上），若直线AP、BP分别与椭圆交于M、N（异于A、B两点）。问：直线MN是否恒过一定点，若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由。
本题是一个具有探究价值的开放性问题，对学生思维和运算能力有较高的要求，在教师的提示启发下，大部分学生能够得到正确答案，即存在定点（√5，0）。若我们就此满足该问题的解决，再就该论题加以所谓的总结，学生的收获是极其有限的。新课标强调了对数学本质的认识，要求教师在平常的教学中有意识、有目的地培养学生思维的深刻性和合理推理的能力。本题研究的是特定椭圆的一个性
质，这种性质能否拓展到一般的椭圆，它的逆命题成立吗？甚至拓展至双曲线等，这就需要教师引领学生大胆猜测、合理推理。
二：一题多变，培养学生的纵向发散思维能力
一题多解从方法的角度而言，具有变通性和特征，达到思维发散的目的。但是从已知信息的角度而言，还未能达到这一目的。所以，对于题目决不能仅满足一题多解，还应从问题的不同角度、不同方面去分析和探索，由一个问题引伸出一类问题。因此，选择一题多变，可以训练学生的思维横向发散。在完成一个章节或一个知识体系的教学目标的基础上，老师要根据学生掌握“双基”的实际情况，以及有关知识点的内在联系，恰到时机地设计一题多变，如：变换条件、结论、图形等要素，由原问题引伸出类似的新问题，引导学生运用所学的知识、方法亲身去探究、分析和思考，获得类似问题的解答。例二（20以内的加法）：把8+5=口的条件、结论进行变换、延伸或开放而得到下面一组填空题：
①8+口=13 ②口+口=13
④8+口=口+6 ④8+5=口+口
例三（应用题）：甲、乙两车同时从两地出发，相向而行，甲车每小时行36千米，两车相遇时，甲车行了全程的2/5。乙车5小时行完全程。问：甲车需几小时才能行完全程？
解法简述：相遇时，甲、乙车分别行了全程的2/5、3/5，所以，甲、乙车的路程比与速度比（因至相遇时两车所用时间相等）都是2：3，故求得乙车每小时行54千米、全程270千米、甲车需7.5小时才能行完全程。本应用题属行程类型，可以以路程、时间、速度三个基本量在问题的条件、结论中进行变换而引伸出同类的多个问题供分析、思考。如：（1）.甲、乙两车同时从两地出发，相而行，甲车每小时行36千米，两车相遇时，甲车行了全程的2/5。乙车5小时行完全程。问：甲车需几小时才能行完全程？一般情况下，学生会仿例题方法解答本题，为防止思维定势，可设问：“甲车行了全程的2/5时用去几小时？乙车行了全程的另3/5时用去几小时？”引诱思维有效发散。（2）.甲、乙两车同时从两地出发，相向而行，甲，乙车每小时各行36、54千米，两车相遇时，甲车比乙车少行54千米。问：甲、乙车各需几小时才能行完全程？（3）.甲、乙两车从两地出发，相向而行，甲车先行了l小时后，甲车每小时行36千米，相遇时，甲车行了全程的3/5，甲车5小时行完全程。问：
乙车每小时行几千米？（4）.甲、乙两车从同地同向出发，甲车先行了1小时后乙车出发，甲车每小时行36千米，乙车出发3小时后行的路程是甲车行的路程的4/5。问：乙车每小时行几千米？
一题多变，可以达到梳理系统知识，达到举一反三、触类旁通、多题一法的教学目的，防止思维定势与僵化，促使学生的思维横向拓宽发散，形成优秀的思维品质。
三.教学中，培养学生发散思维能力的体会与启示
在数学教学中，设计一题多解和一题多变的各种各样的问题时，要针对学生的认知程度、知识系统结构，要围绕学生的年龄特征和生活体验，才能充分调动学生学习的积极性，培养学习兴趣，树立学习信心，增强学习毅力和刻苦钻研的精神，从而引导正确的学习方法和培养思维有效地发散，逐步培养创新意识和提高实践能力。
学生发散思维能力的培养过程是长期性的、循序渐进的、螺旋式上升的，并非是一朝一夕的功夫。教师必须在充分了解学生掌握“双基”知识、年龄特征和牛活体验的实际情况下，认真钻研和挖掘课程资源中的素材，不失时机地进行尝试、改进、总结、提高。
结语：
思想出智慧，智慧生妙解，妙解巧思令人陶醉。数学教学的目的不仅要求学生掌握好数学的基础知识和基本技能，还要求发展学生的能力，培养他们良
好的个性品质和学习习惯。在实现数学教学目的的过程中，适当的一题多解，可以激发学生去发现和创造的强烈欲望，加深学生对所学知识的深刻理解，训练学生对数学思想和方法的娴熟运用，锻炼学生思维的广阔性、深刻性、灵活性和独创性，从而培养学生的思维品质，发展学生的创造性思维，培养学生的发散思维能力，让学生体验数学的美，这对学生今后的数学学习和数学知识的应用将产生深远的影响。
本次探究表明一个数学题目常有多种解法，或横、纵方向能进行拓展，或与其他题目有某种共性，目前课改教材中此类题目占有相当大的比例，因此，教师应该“用教材教，而不是教教材”，引领学生科学地补充教材。准确地加T教材，让教材成为学生积极发展的广阔天地，让教材成为学生与社会生活联系的纽带，充分运用教材实施课程资源的开发。
参考文献：
[1] 叶木坤 如何在数学教学中真正"用教材教" 考试周刊 2011（37）
[2] 贾庆兰.刘春玉.类比法在高等数学教学中的应用[期刊论文]-沧州师范专科学校学报 2006，22（3）
[3] 彭瑞萍 运用归纳类比方法培养学生的思维能力[期刊论文]-湖南城建高等专科学校学报2003，12（3）
[4] 梁爱侠 浅议"类比"教学的应用[期刊论文]-湖南中学物理·教育前沿2009（24）
关键词：纵向思维；中学数学；一题多解
诗曰：“横看成岭侧成峰，远近高低各不同。”某些数学问题既可以这样解，也可以那样解，不同的解法体现的是解题者思维上的差异，而实施“一题多解”的前提是：需要积累一定的数学知识，善于将零碎的知识进行横向与纵向的联系，并在平时的实践中不断地总结“一题多解”的规律。
一：由表及里，探求问题本质
题目：设A、B分别为椭圆x^2/9+y^2/4=1（a，b>0）的左右顶点，设P为右准线上任意一点（不在并轴上），若直线AP、BP分别与椭圆交于M、N（异于A、B两点）。问：直线MN是否恒过一定点，若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由。
本题是一个具有探究价值的开放性问题，对学生思维和运算能力有较高的要求，在教师的提示启发下，大部分学生能够得到正确答案，即存在定点（√5，0）。若我们就此满足该问题的解决，再就该论题加以所谓的总结，学生的收获是极其有限的。新课标强调了对数学本质的认识，要求教师在平常的教学中有意识、有目的地培养学生思维的深刻性和合理推理的能力。本题研究的是特定椭圆的一个性
质，这种性质能否拓展到一般的椭圆，它的逆命题成立吗？甚至拓展至双曲线等，这就需要教师引领学生大胆猜测、合理推理。
二：一题多变，培养学生的纵向发散思维能力
一题多解从方法的角度而言，具有变通性和特征，达到思维发散的目的。但是从已知信息的角度而言，还未能达到这一目的。所以，对于题目决不能仅满足一题多解，还应从问题的不同角度、不同方面去分析和探索，由一个问题引伸出一类问题。因此，选择一题多变，可以训练学生的思维横向发散。在完成一个章节或一个知识体系的教学目标的基础上，老师要根据学生掌握“双基”的实际情况，以及有关知识点的内在联系，恰到时机地设计一题多变，如：变换条件、结论、图形等要素，由原问题引伸出类似的新问题，引导学生运用所学的知识、方法亲身去探究、分析和思考，获得类似问题的解答。例二（20以内的加法）：把8+5=口的条件、结论进行变换、延伸或开放而得到下面一组填空题：
①8+口=13 ②口+口=13
④8+口=口+6 ④8+5=口+口
例三（应用题）：甲、乙两车同时从两地出发，相向而行，甲车每小时行36千米，两车相遇时，甲车行了全程的2/5。乙车5小时行完全程。问：甲车需几小时才能行完全程？
解法简述：相遇时，甲、乙车分别行了全程的2/5、3/5，所以，甲、乙车的路程比与速度比（因至相遇时两车所用时间相等）都是2：3，故求得乙车每小时行54千米、全程270千米、甲车需7.5小时才能行完全程。本应用题属行程类型，可以以路程、时间、速度三个基本量在问题的条件、结论中进行变换而引伸出同类的多个问题供分析、思考。如：（1）.甲、乙两车同时从两地出发，相而行，甲车每小时行36千米，两车相遇时，甲车行了全程的2/5。乙车5小时行完全程。问：甲车需几小时才能行完全程？一般情况下，学生会仿例题方法解答本题，为防止思维定势，可设问：“甲车行了全程的2/5时用去几小时？乙车行了全程的另3/5时用去几小时？”引诱思维有效发散。（2）.甲、乙两车同时从两地出发，相向而行，甲，乙车每小时各行36、54千米，两车相遇时，甲车比乙车少行54千米。问：甲、乙车各需几小时才能行完全程？（3）.甲、乙两车从两地出发，相向而行，甲车先行了l小时后，甲车每小时行36千米，相遇时，甲车行了全程的3/5，甲车5小时行完全程。问：
乙车每小时行几千米？（4）.甲、乙两车从同地同向出发，甲车先行了1小时后乙车出发，甲车每小时行36千米，乙车出发3小时后行的路程是甲车行的路程的4/5。问：乙车每小时行几千米？
一题多变，可以达到梳理系统知识，达到举一反三、触类旁通、多题一法的教学目的，防止思维定势与僵化，促使学生的思维横向拓宽发散，形成优秀的思维品质。
三.教学中，培养学生发散思维能力的体会与启示
在数学教学中，设计一题多解和一题多变的各种各样的问题时，要针对学生的认知程度、知识系统结构，要围绕学生的年龄特征和生活体验，才能充分调动学生学习的积极性，培养学习兴趣，树立学习信心，增强学习毅力和刻苦钻研的精神，从而引导正确的学习方法和培养思维有效地发散，逐步培养创新意识和提高实践能力。
学生发散思维能力的培养过程是长期性的、循序渐进的、螺旋式上升的，并非是一朝一夕的功夫。教师必须在充分了解学生掌握“双基”知识、年龄特征和牛活体验的实际情况下，认真钻研和挖掘课程资源中的素材，不失时机地进行尝试、改进、总结、提高。
结语：
思想出智慧，智慧生妙解，妙解巧思令人陶醉。数学教学的目的不仅要求学生掌握好数学的基础知识和基本技能，还要求发展学生的能力，培养他们良
好的个性品质和学习习惯。在实现数学教学目的的过程中，适当的一题多解，可以激发学生去发现和创造的强烈欲望，加深学生对所学知识的深刻理解，训练学生对数学思想和方法的娴熟运用，锻炼学生思维的广阔性、深刻性、灵活性和独创性，从而培养学生的思维品质，发展学生的创造性思维，培养学生的发散思维能力，让学生体验数学的美，这对学生今后的数学学习和数学知识的应用将产生深远的影响。
本次探究表明一个数学题目常有多种解法，或横、纵方向能进行拓展，或与其他题目有某种共性，目前课改教材中此类题目占有相当大的比例，因此，教师应该“用教材教，而不是教教材”，引领学生科学地补充教材。准确地加T教材，让教材成为学生积极发展的广阔天地，让教材成为学生与社会生活联系的纽带，充分运用教材实施课程资源的开发。
参考文献：
[1] 叶木坤 如何在数学教学中真正"用教材教" 考试周刊 2011（37）
[2] 贾庆兰.刘春玉.类比法在高等数学教学中的应用[期刊论文]-沧州师范专科学校学报 2006，22（3）
[3] 彭瑞萍 运用归纳类比方法培养学生的思维能力[期刊论文]-湖南城建高等专科学校学报2003，12（3）
[4] 梁爱侠 浅议"类比"教学的应用[期刊论文]-湖南中学物理·教育前沿2009（24）