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初中数学建模学习是指在理解的基础上建立数学模型，类比迁移，运用数学模型批判地学习新思想、分析事实，并将新知识融入原有的认知结构中，进而提升学习层次和探究能力。
初中数学建模教学的一般思路是“提出问题——分析问题——选择模型——建立模型——得出结论”，以问题的探究为主要目标，引导学生学会大胆质疑、思想碰撞，产生火花，从而让学生思考得更深刻，有效提升学生思维的广度和深度。笔者以“二次函数图像中线段和差最值的存在性问题”教学设计为例进行了实践性的思考与总结，谈谈教学设计中的深度学习应呈现出什么样的状态，教学设计在建模学习的过程中能够发挥什么样的作用，建模学习是如何帮助学生进行深度学习的，请同行指正。
学习目标要求 本课内容为九年级数学复习课“二次函数图像中线段和差最值的存在性问题”，要求学生能通过对具体问题的分析，体会函数变量之间的变化关系，探究发现几何中线段和差最值的转化与建模途径，培养学生综合运用知识解决二次函数的相关问题的能力。
一、提出问题
提出要探究的问题，引导学生寻找解决问题的数学模型，设计具有挑战性的问题，培养几何直观、运算与推理能力，建构知识，生成能力，迁移方法。
教学活动1 探究下列问题，画出对应的几何模型
问题1 抛物线y=2x2-12x+16与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，顶点为D。点P是该抛物线对称轴上的一个动点，要使得△PAC的周长最小，求点P坐标。
解析：如图1，连接BC，交直线x=3于点P，根据对称性有PA=PB，求出直线BC的表达式为y=-4x+16，∴点P（3，4）。
【设计意图】找出点A关于直线x=3的对称点B，连接CB，依据“两点之间线段最短”揭示此类求线段和最小值题目的本质特征，为学生解决后续问题铺设台阶，有效提升学生识图建模能力。
二、变式探究
在不改变知识本质特征的前提下，变换其非本质特征，引导学生在动态变化的情境中强化对本质特征的理解，将已有的知识迁移到动态的情境中，理解数学模型的价值，探究真问题，拓展数学思维的深度和广度。
教学活动2 梳理数学模型，寻求问题1和变式问题的内在联系
变式1 抛物线y=2x2-12x+16与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，顶点为D。抛物线上有一点E，E的横坐标为5，点F（m，0）是x轴上的一个动点，当FC+EF的值最小时，求m的值。
解析：如图2，作点[E]关于[x]轴的对称点[E]，连接[CE]交[x]轴于点[F]，求得直线[CE]的表达式为y=[-225x+16]，∴[F（4011，0）]。根据两点间线段最短，[FC+EF=FC+EF=CE]，此时[FC+EF]的值最小，[m=4011]。
变式2 抛物线y=2x2-12x+16与[x]轴交于[A]、[B]两点，与[y]轴交于点[C]，顶点为[D]，点[G（0，n）]是[y]轴上的一个动点，求线段[GD]与[GA]中较长的线段减去较短的线段的差的最小值与最大值，并求出相应的[n]的值。
解析：如图3，当[A]、[G]、[D]三点共线时，[GD-GA=AD]，求得直线[AD]的表达式为[y=-2x+4]，此时[G（0， 4）]，∴[n=4]。当[GD][-GA=0]，即[GD=GA]时，[GD-GA]有最小值为[0]。此时[AD]的垂直平分线[GE]的表达式为[y=12x-94]，[G（0，-94）]，∴[n=-94]。
变式3 抛物线y=2x2-12x+16与[x]轴交于[A]、[B]两点，与[y]轴交于点[C]，顶点为[D]，[K]是[OC]中点。一个动点[Q]从[K]点出发，先经过[x]轴上的[M]点，再经过抛物线对称轴上的点[N]，然后返回到[C]，如果动点[Q]走过的路程最短，请找出点[M]、[N]位置，并求出最短路程。
解析：如图4， 根据对称性分别找出点[K]、点[C]的对称点[K]、[C]，再连接[KC]，分别交[x]轴于点[M]，交直线[x=3]于点[N]，动点[Q]的最短路程为[S=KM+MN+CN=KM+MN+CN]，∴[S=KC]。可求出[C（6， 16）]，[K（0， -8）]，∴最短路程[S=617]。
【设计意图】以上问题及变式，强化了学生对数学模型的认识、积累。学生通过寻找对称点，求解线段和、差最值问题，掌握方法与策略，再通过变式训练，便真正能知其然，更能知其所以然。学生经历化繁为简、转难为易的深度思考，学会在新情境中运用新结论解决问题，深度学习的雏形初现。
三、拓展提升
設计思维清晰的系列问题，引导学生感知求解方法是建立在数学模型基础上的。通过对比上述建模解题的方法，积累经验，引发学生深入思考，真正将其内化，实现由低阶思维走向高阶思维。
教学活动3 体验建构过程，挑战新问题
问题2 如图5，已知一条直线与抛物线[y=14x2]相交于[A]、[B]两点，其中点[A]、[B]的横坐标分别是[-2]、[8]。
（1）求这条直线的函数表达式;
（2）如图6，设直线[AB]分别与[x]轴、[y]轴交于点[D]、[E]，[F]为[OD]的中点，将线段[OF]顺时针旋转得到[OF]，旋转角[α（0°<α<90°）]，连接[DF]，[EF]，求[DF+13EF]的最小值。
解析：（1）求出点A、B的坐标为点[A（-2，1）]，[B（8，16）]，直线[AB]的表达式为[y=32x+4]。
（2）取[G（0，49）]，连接[FG]。由（1）易得出[D（-83，0）]，[E（0，4）]，[F（-43，0）]，∴[OFOG=OEOF]。又[∠FOG=∠EOF]，∴△[OFG]∽[ΔOEF]，有[FG=13EF]，当[D]、[F]、[G]三点共线时，[DF+13EF]的值最小，[DG=（83）2+（49）2=4937]。 【设计意图】拓展深化一类数学问题，引导学生明晰数学方法的多样性，体验利用构造相似三角形的手段，巧妙转化线段[13EF]的长度，类比迁移，优化求解线段和最小值的方法。学生经历建模转化的过程，体会其中的数学思想方法，形成数学的思维方式。
四、延伸升华
真正理解和掌握基本的数学知识与技能、数学思想和方法，得到必要的数学思维训练，获得广泛的数学活动经验， 深入思考问题本质，让深层次思考成为建模探究的必然之需。
教学活动4 理解模型，感悟思想
问题3 如图7，已知一次函数[y=x+3]的图像与[x]轴、[y]轴分别交于[A]、[B]两点，抛物线[y=-x2+bx+c]过[A]、[B]两点，且与[x]轴交于另一点[C]。
（1）求[b]、[c]的值;
（2）如图7，点[D]为[AC]的中点，点[E]在线段[BD]上，且[BE=2ED]，连接[CE]并延长交抛物线于点[M]，求点[M]的坐标;
（3）将直线[AB]绕着点[A]按逆时针方向旋转[15°]后交[y]轴于点[G]，连接[CG]，如图8，[P]为△[AOG]内一点，连接[PA]、[PC]、[PG]，分别以[AP]、[AG]为边在它们的左侧作等边三角形[APR]、等边三角形[AGQ]，连接[QR]。
① 求证：[PG=RQ];
② 求[PA+PC+PG]最小值。
解析：（1）[b=-2]，[c=3];（2）直线[CE]的表达式为[y=-35x+35]，∴[M（-125， 5125）];（3）连接[CQ]，[PA+PC+PG=PC+PR+QR≥CQ]，∴当[C]、[P]、[R]、[Q]四点共线时，[PA+PC+PG]有最小值。求得[Q（-6，32）]，[CQ=PA+PC+PG=219]。
【设计意图】问题3为学生提供多角度、多层次的探究空间，从绕旋的角度发现△PAG≌[△RAQ]，将问题2的解法自然迁移至此，类比探究方法，教学设计环环相扣，层次分明，思维训练指向核心问题。
五、教后反思
1.建模构造，积累策略。
合作式建模学习方式，能促使学生集思广益，找到解决问题的最优策略。本课例以一个二次函数最值问题为中心，让学生在教師设置的变式问题的引导下，建构基本几何模型，依靠已有的知识经验和思维实践活动主动地解决问题，以达到培养学生发现问题、养成探究的习惯与态度的目的。
2.分解模型，正向迁移。
将要解决的问题抽象分解出基本模型，从而得到解决问题的方法。如何破题，如何分享解题思路，有几种解题方法，其中蕴含的数学思想方法是什么，题目的易错点在哪里等。在分解模型的过程中，引导学生学会对重点问题、难点问题深入思考，充分打开思维，对问题进行深度剖析。通过一题多解、多题一解，学生的思维充分碰撞，闪现出创造的火花，创新意识、归纳总结能力得到有效提升，知识网络得到有效建构，学会思考、表达、耐心倾听，处理信息和反思评价的能力得到提高，思考也向纵深发展。
3.强化意识，提升素养。
倡导独立思考后的小组合作，采用“完整经历数学模型的抽象过程”，积累二次函数背景下线段和差最值问题的学习经验，能强化学生的模型意识。在建模活动完成后，教师要引导学生进行总结，将数学模型内化，成为自己解决问题的一种方法。了解和经历解决实际问题的全过程，促进模型思想的渗透。
“学的真谛在于悟”，通过变式拓展问题，解析数学模型，深度学习，解决真问题，揭示线段和差的最值求法的内在规律。问题情境变化了，但几何图形的基本性质和解决问题的方法没有变化。学生在发现、辨析、反思中领悟数学模型的认知策略，提升学习数学的能力。
（作者单位：江苏省太仓市第一中学）
初中数学建模教学的一般思路是“提出问题——分析问题——选择模型——建立模型——得出结论”，以问题的探究为主要目标，引导学生学会大胆质疑、思想碰撞，产生火花，从而让学生思考得更深刻，有效提升学生思维的广度和深度。笔者以“二次函数图像中线段和差最值的存在性问题”教学设计为例进行了实践性的思考与总结，谈谈教学设计中的深度学习应呈现出什么样的状态，教学设计在建模学习的过程中能够发挥什么样的作用，建模学习是如何帮助学生进行深度学习的，请同行指正。
学习目标要求 本课内容为九年级数学复习课“二次函数图像中线段和差最值的存在性问题”，要求学生能通过对具体问题的分析，体会函数变量之间的变化关系，探究发现几何中线段和差最值的转化与建模途径，培养学生综合运用知识解决二次函数的相关问题的能力。
一、提出问题
提出要探究的问题，引导学生寻找解决问题的数学模型，设计具有挑战性的问题，培养几何直观、运算与推理能力，建构知识，生成能力，迁移方法。
教学活动1 探究下列问题，画出对应的几何模型
问题1 抛物线y=2x2-12x+16与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，顶点为D。点P是该抛物线对称轴上的一个动点，要使得△PAC的周长最小，求点P坐标。
解析：如图1，连接BC，交直线x=3于点P，根据对称性有PA=PB，求出直线BC的表达式为y=-4x+16，∴点P（3，4）。
【设计意图】找出点A关于直线x=3的对称点B，连接CB，依据“两点之间线段最短”揭示此类求线段和最小值题目的本质特征，为学生解决后续问题铺设台阶，有效提升学生识图建模能力。
二、变式探究
在不改变知识本质特征的前提下，变换其非本质特征，引导学生在动态变化的情境中强化对本质特征的理解，将已有的知识迁移到动态的情境中，理解数学模型的价值，探究真问题，拓展数学思维的深度和广度。
教学活动2 梳理数学模型，寻求问题1和变式问题的内在联系
变式1 抛物线y=2x2-12x+16与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，顶点为D。抛物线上有一点E，E的横坐标为5，点F（m，0）是x轴上的一个动点，当FC+EF的值最小时，求m的值。
解析：如图2，作点[E]关于[x]轴的对称点[E]，连接[CE]交[x]轴于点[F]，求得直线[CE]的表达式为y=[-225x+16]，∴[F（4011，0）]。根据两点间线段最短，[FC+EF=FC+EF=CE]，此时[FC+EF]的值最小，[m=4011]。
变式2 抛物线y=2x2-12x+16与[x]轴交于[A]、[B]两点，与[y]轴交于点[C]，顶点为[D]，点[G（0，n）]是[y]轴上的一个动点，求线段[GD]与[GA]中较长的线段减去较短的线段的差的最小值与最大值，并求出相应的[n]的值。
解析：如图3，当[A]、[G]、[D]三点共线时，[GD-GA=AD]，求得直线[AD]的表达式为[y=-2x+4]，此时[G（0， 4）]，∴[n=4]。当[GD][-GA=0]，即[GD=GA]时，[GD-GA]有最小值为[0]。此时[AD]的垂直平分线[GE]的表达式为[y=12x-94]，[G（0，-94）]，∴[n=-94]。
变式3 抛物线y=2x2-12x+16与[x]轴交于[A]、[B]两点，与[y]轴交于点[C]，顶点为[D]，[K]是[OC]中点。一个动点[Q]从[K]点出发，先经过[x]轴上的[M]点，再经过抛物线对称轴上的点[N]，然后返回到[C]，如果动点[Q]走过的路程最短，请找出点[M]、[N]位置，并求出最短路程。
解析：如图4， 根据对称性分别找出点[K]、点[C]的对称点[K]、[C]，再连接[KC]，分别交[x]轴于点[M]，交直线[x=3]于点[N]，动点[Q]的最短路程为[S=KM+MN+CN=KM+MN+CN]，∴[S=KC]。可求出[C（6， 16）]，[K（0， -8）]，∴最短路程[S=617]。
【设计意图】以上问题及变式，强化了学生对数学模型的认识、积累。学生通过寻找对称点，求解线段和、差最值问题，掌握方法与策略，再通过变式训练，便真正能知其然，更能知其所以然。学生经历化繁为简、转难为易的深度思考，学会在新情境中运用新结论解决问题，深度学习的雏形初现。
三、拓展提升
設计思维清晰的系列问题，引导学生感知求解方法是建立在数学模型基础上的。通过对比上述建模解题的方法，积累经验，引发学生深入思考，真正将其内化，实现由低阶思维走向高阶思维。
教学活动3 体验建构过程，挑战新问题
问题2 如图5，已知一条直线与抛物线[y=14x2]相交于[A]、[B]两点，其中点[A]、[B]的横坐标分别是[-2]、[8]。
（1）求这条直线的函数表达式;
（2）如图6，设直线[AB]分别与[x]轴、[y]轴交于点[D]、[E]，[F]为[OD]的中点，将线段[OF]顺时针旋转得到[OF]，旋转角[α（0°<α<90°）]，连接[DF]，[EF]，求[DF+13EF]的最小值。
解析：（1）求出点A、B的坐标为点[A（-2，1）]，[B（8，16）]，直线[AB]的表达式为[y=32x+4]。
（2）取[G（0，49）]，连接[FG]。由（1）易得出[D（-83，0）]，[E（0，4）]，[F（-43，0）]，∴[OFOG=OEOF]。又[∠FOG=∠EOF]，∴△[OFG]∽[ΔOEF]，有[FG=13EF]，当[D]、[F]、[G]三点共线时，[DF+13EF]的值最小，[DG=（83）2+（49）2=4937]。 【设计意图】拓展深化一类数学问题，引导学生明晰数学方法的多样性，体验利用构造相似三角形的手段，巧妙转化线段[13EF]的长度，类比迁移，优化求解线段和最小值的方法。学生经历建模转化的过程，体会其中的数学思想方法，形成数学的思维方式。
四、延伸升华
真正理解和掌握基本的数学知识与技能、数学思想和方法，得到必要的数学思维训练，获得广泛的数学活动经验， 深入思考问题本质，让深层次思考成为建模探究的必然之需。
教学活动4 理解模型，感悟思想
问题3 如图7，已知一次函数[y=x+3]的图像与[x]轴、[y]轴分别交于[A]、[B]两点，抛物线[y=-x2+bx+c]过[A]、[B]两点，且与[x]轴交于另一点[C]。
（1）求[b]、[c]的值;
（2）如图7，点[D]为[AC]的中点，点[E]在线段[BD]上，且[BE=2ED]，连接[CE]并延长交抛物线于点[M]，求点[M]的坐标;
（3）将直线[AB]绕着点[A]按逆时针方向旋转[15°]后交[y]轴于点[G]，连接[CG]，如图8，[P]为△[AOG]内一点，连接[PA]、[PC]、[PG]，分别以[AP]、[AG]为边在它们的左侧作等边三角形[APR]、等边三角形[AGQ]，连接[QR]。
① 求证：[PG=RQ];
② 求[PA+PC+PG]最小值。
解析：（1）[b=-2]，[c=3];（2）直线[CE]的表达式为[y=-35x+35]，∴[M（-125， 5125）];（3）连接[CQ]，[PA+PC+PG=PC+PR+QR≥CQ]，∴当[C]、[P]、[R]、[Q]四点共线时，[PA+PC+PG]有最小值。求得[Q（-6，32）]，[CQ=PA+PC+PG=219]。
【设计意图】问题3为学生提供多角度、多层次的探究空间，从绕旋的角度发现△PAG≌[△RAQ]，将问题2的解法自然迁移至此，类比探究方法，教学设计环环相扣，层次分明，思维训练指向核心问题。
五、教后反思
1.建模构造，积累策略。
合作式建模学习方式，能促使学生集思广益，找到解决问题的最优策略。本课例以一个二次函数最值问题为中心，让学生在教師设置的变式问题的引导下，建构基本几何模型，依靠已有的知识经验和思维实践活动主动地解决问题，以达到培养学生发现问题、养成探究的习惯与态度的目的。
2.分解模型，正向迁移。
将要解决的问题抽象分解出基本模型，从而得到解决问题的方法。如何破题，如何分享解题思路，有几种解题方法，其中蕴含的数学思想方法是什么，题目的易错点在哪里等。在分解模型的过程中，引导学生学会对重点问题、难点问题深入思考，充分打开思维，对问题进行深度剖析。通过一题多解、多题一解，学生的思维充分碰撞，闪现出创造的火花，创新意识、归纳总结能力得到有效提升，知识网络得到有效建构，学会思考、表达、耐心倾听，处理信息和反思评价的能力得到提高，思考也向纵深发展。
3.强化意识，提升素养。
倡导独立思考后的小组合作，采用“完整经历数学模型的抽象过程”，积累二次函数背景下线段和差最值问题的学习经验，能强化学生的模型意识。在建模活动完成后，教师要引导学生进行总结，将数学模型内化，成为自己解决问题的一种方法。了解和经历解决实际问题的全过程，促进模型思想的渗透。
“学的真谛在于悟”，通过变式拓展问题，解析数学模型，深度学习，解决真问题，揭示线段和差的最值求法的内在规律。问题情境变化了，但几何图形的基本性质和解决问题的方法没有变化。学生在发现、辨析、反思中领悟数学模型的认知策略，提升学习数学的能力。
（作者单位：江苏省太仓市第一中学）