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【摘要】本文通过随机介质理论对地铁施工产生的地表的沉降进行了预计，建立地表沉降表达式，提出了由地铁开挖的引起的地层损失断面变换成标准的矩形断面，并在北京地铁四号线第三标段工程中得以应用。
【关键词】地铁施工;沉降;地层损失;建立
【中图分类号】U231【文献标识码】A【文章编号】1005-1074(2009)05-0241-02
北京地铁四号线贯穿于北京的南北，第三标段工程位于北京的城市主干道马家堡西路下方，
包括一站一区间，区间全长1276米，采用浅埋暗挖法施工。
地铁工程区间隧道的开挖施工，无论其埋深大小，均将扰动地下土体，使其失去原有的平衡状态，而向新的平衡状态转化。在这个过程中地下土体及地表面必将发生或大或小的位移及变形。那么地表位移发生的范围多大？程度如何？它将经地表各类建筑物带来多大危害和影
响等等，本文对此将进行分析。
1随机介质理论
随机介质理论是波兰学者J.Litwiniszyn于1957年研究采煤岩层与地表移动问题提出的，将开采厚的覆岩看成被大大小小的裂隙和断裂所切割的碎块体，这些碎块体不具有连续介质那样的规则，也不具有液体和气体做布朗运动那样的自由度。它们和移动是随机的，从运动角度上讲，碎块体具有砂的性质。根据这一假设，J.Litwiniszyn提出了五大公理，应用严密的数学方法，建立了随机介质理论。J.Litwiniszyn根据五大公理，应用随机过程理论，对于二维问题，得出下沉盆地W应满足一下二阶抛物线偏微分方程（J.Litwiniszyn，1957）：W(X,Z)Z=K(X,Z)2W(X,Z)X2+M(X,Z)W(X,Z)X+N(X,Z)W(X,Z)（1－1）
式（1－1）中，各系数决定于介质的结构特性，K（X，Z）说明岩土沿铅垂方向的非均质性，M（X，Z）说明下沉沿Z轴传播时，影响传播的方向；N（X，Z）反映介质的体积变化，若体积不变化，则N（X，Z）＝0。
2地表沉降表达式的建立
采用浅埋暗挖法施工的地铁区间隧道，都不能避免对上覆土体的扰动，即都要引起岩土体向开挖空间移动。在实际施工中，开挖岩土体体积与竣工隧道体积（包括预支护体积）之差称为地层损失，周围岩土在弥补地层损失过程中，发生的地层移动，引起地表的移动和变形。在地铁施工中，地表移动可以认为是由于施工所引起的地层损失所造成的。
设在地下深度为H处开挖一半圆形断面的地铁隧道（图1）。显然这可视为平面变形问题。如果隧道开挖后不进行支护，围岩将全部跨落，并引起地表的最大下沉。在地铁施工中，这是不允许的。实际上，施工前要对地层采取预处理，例如，注浆处理等；在开挖过程中，还要采取严密的支护措施，例如，用注浆加固土体、用钢格栅支护等。使得地铁开挖后，地铁隧道周围岩土仅发生微小的位移。
图1地铁单隧道开挖示意图
因此，引起地表发生沉降的原因只是由于周围岩土向开挖空间运动而导致的地铁隧道开挖断面的收缩。如果开挖断面由Ω收缩为ω，则地表下沉应等于开挖范围Ω引起的下沉WΩ与开挖范围引起的下沉Wω之差，即：
We=WΩ-Wω=∫∫Ω-ωtanβηexp[-πtan2βη2(x-ξ)2]dξdη(2-4)
对于圆形断面地铁隧道，假如地铁开挖深度为H，隧道开挖初始半径为R，隧道断面均匀变形，隧道建成后，断面半径均匀收缩了ΔR，则由（2－4）可得地表下沉表达式：We=∫ba∫dctanβηexp[-πtan2βη2(x-ξ)2]dξdη-∫fe∫hgtanβηexp[-πtan2βη2(x-ξ)2]dξdη(2-5)式中：a＝H-R，b=H+R，c=-R2-(H-η)2，d=-c
e=H-(R-ΔR)，f=H+(R-ΔR)，g=-(R-△R)2-(H-η)2，h=-g
如上述公式所示，地铁移动和变形分布曲线均为高斯型二重积分曲线，这些曲线特征如图2.2所示。
图2地层沉降曲线
3地铁隧道开挖地层损失断面的变换及其表达式
3.1地铁隧道开挖地层损失断面变换的概念地下空间的开挖必然要引起地表的移动，地铁建设的主要工程位于地下，地铁的施工也必然会引起地表的移动。若进行地表移动的计算和预计，需要找到地铁开挖地层损失体积与地表体积的关系。根据Peck（1969）提出的地层损失量等于地表沉降量原理，地铁开挖地层损失体积等于地表沉降体积。根据这一原理，地铁开挖在沿隧道长度方向上可以认为是无限大，这样，在地铁开挖过程中，地层的面积损失就等于位于同一剖面上的地表沉降面积，即有下式成立：Sc=Sδ(3-1)式中：Sc-地表沉降断面面积；Sδ与Sc位于同一剖面的地层损失面积。
显然，地层损失断面面积Ss与地铁开挖断面的面积、形状等有着密切的关系，但地铁开挖的断面并不是规则的，不是统一的。地铁建设需要在地下开挖各种地下空间，其中主要包括主隧道、地下站厅、联络通道、排水及管线隧道、其他辅助地下开挖空间。这些开挖地下空间，因为其用途、施工方法、支护方法的不同而使其开挖断面不同。为了使地表沉降的计算与预计更方便和实用，应采取一种方法和途径，对地铁开挖所使用的各种各样断面进行变换，即将地铁开挖使用断面在开挖过程中所发生的地层损失断面变换成标准的计算地层损失断面。即：Sδ→ψSj(3-2)
式中：Sδ－地层损失断面面积;Sj－地层损失计算断面面积;ψ－面积变换参数。
3.2地层损失断面的变换原理及其表达式
3.2.1地层损失断面的变换原理
图3地层损失断面示意图
如前所述，地铁开挖引起地表沉降，是由于地铁开挖过程存在着地层损失的缘故。根据实测，此地层损失是存在于地铁开挖断面外围的一个不规则也不等厚的环面积。如图3所示。
地层损失断面的不规则和不等厚包含两方面的内容： 在地层损失断面不规则和不等厚情况下，计算地表沉降存在很多困难，即使给出表达式也将难以用于工程实践。为此，寻找一种变换方法，将不规则的地层损失断面变换成标准的计算地层损失断面。其变换思路如下：将地铁开挖产生的地层损失不规则断面变换成规则的矩形断面或圆形断面。变换规则为地层损失断面变换前后的面积相等。变换方法是，当计算断面为矩形时，将开挖断面的最大宽度作为计算地层损失断面的长度，然后，根据面积相等的原则，求计算地层损失断面的高度。当计算断面为圆形时，根据面积相等的原则，求地层损失断面的半径，如图4所示。
图 4计算地层断面示意图
严格讲，这种变换在隧道开挖断面与垂直坐标对称的情况下方才成立，否则，变换后就不成矩形，本方假定开挖断面与垂直傺坐标对称。
设地层损失断面面积为Sδ，计算地层损失断面面积为Sj。矩形计算地层损失断面的长度为L，高度为M。圆形计算地层损失断面的半径为R。则存在以下表达式：Sδ=Sj=L×M=πR2(3-3)Sδ=Lδ=Mδ(3-4)式中：Lδ－地层损失断面平均长度;Mδ－地层损失断面平均宽度。
当Sj=L×M时，Sj是以开挖断面最大宽度为底边，以开挖断面高度中心为中心的一个矩形。当Sj=πR2时，是以开挖断面面积重心为中心的一个圆。则：
M=Lδ×MδL(3-5)R=Lδ×Mδπ(3-6)
如前所述，地表沉降体积等于地层价格中，在单位长度内，地表沉降面积等于地层损失面积。即：Sc=Sδ=Sj式中：Sc为地表沉降断面面积。
以过以上，地铁隧道开挖的地层损失断面，就可用标准矩形地捷足先登断面进行地表沉降的预计，及其地表的倾斜变形、曲率、水平移动、水平变形的预计。
在地表沉降的主断面上，地表沉降曲线为正态曲线（杨硕，1994），即：
W(x')=〔h2π〕e-12h2(x'-L)2(3-7)式中：L－半盆地长；h－正态系数。将坐标原点移到最大下沉点，即令x=x'-L，则：
W(x)=〔h2π〕e-12h2x2(3-8)当ｘ＝0时，则：W(x)=h2π=W0(3-9)主断面下沉公式为：W(x)=W0e-12〔4xLx〕2(3-10)
W(y)=W0e-12〔4yLy〕2
(3-11)任意点下沉公式为：W(x,y)=W0[e-12〔4xLx〕2+e-12〔4yLy〕2](3-12)式中：W0－最大下沉值；Lx－为x方向半盆地长；Ly－为y方向半盆地长。最大下沉公式为：W0=qM(3-13)式中：q－下沉系数，q≤1；M－计算地层损失断面厚度。
4小结
①地铁建设属于近地表开挖活动，其上覆岩层多为第四季冲击层、风化岩层，有些是人造地层（各种杂填土等）。这些介质的性能符合随机介质定义，因此，地铁建房设所引起的地表移动和变形可以采用随机介质理论进行预计。本文采用随机介质理论进行了地表沉降的预计。②建立了单孔隧道开挖时，地表沉降表达式。③本方提出了一种新的计算方法，即将地铁开挖的地层损失断面变换成标准的矩形断面，矩形断面的长度为隧道开挖的最大宽度，高度按等面积原则进行变换。这样即可用比较方便的任意点方法进行地表沉降的预计。经过对北京地铁四号线三标段工程进行计算分析，概率积分法的下沉系数为0.86，而地层损失断面变换为标准断面的下沉系数为0.65。本文提出的方法简便实用，对工程施工有重要意义。
参考文献
[1]朱衍峰，周晓军，邓彬.地铁施工中地下建筑物对地表沉降的控制标准[J].成都：四川建筑,2008.
[2]石雷.浅埋暗挖大跨度矩型隧道地表沉降控制技术[J].安徽建筑,2006.
[3]韩煊.隧道施工引起地层位移及建筑物变形预测的实用方法研究[J].西安理工大学,2007.
[4]吴波.复杂条件下城市地铁隧道施工地表沉降研究[J].西南交通大学,2003.
【关键词】地铁施工;沉降;地层损失;建立
【中图分类号】U231【文献标识码】A【文章编号】1005-1074(2009)05-0241-02
北京地铁四号线贯穿于北京的南北，第三标段工程位于北京的城市主干道马家堡西路下方，
包括一站一区间，区间全长1276米，采用浅埋暗挖法施工。
地铁工程区间隧道的开挖施工，无论其埋深大小，均将扰动地下土体，使其失去原有的平衡状态，而向新的平衡状态转化。在这个过程中地下土体及地表面必将发生或大或小的位移及变形。那么地表位移发生的范围多大？程度如何？它将经地表各类建筑物带来多大危害和影
响等等，本文对此将进行分析。
1随机介质理论
随机介质理论是波兰学者J.Litwiniszyn于1957年研究采煤岩层与地表移动问题提出的，将开采厚的覆岩看成被大大小小的裂隙和断裂所切割的碎块体，这些碎块体不具有连续介质那样的规则，也不具有液体和气体做布朗运动那样的自由度。它们和移动是随机的，从运动角度上讲，碎块体具有砂的性质。根据这一假设，J.Litwiniszyn提出了五大公理，应用严密的数学方法，建立了随机介质理论。J.Litwiniszyn根据五大公理，应用随机过程理论，对于二维问题，得出下沉盆地W应满足一下二阶抛物线偏微分方程（J.Litwiniszyn，1957）：W(X,Z)Z=K(X,Z)2W(X,Z)X2+M(X,Z)W(X,Z)X+N(X,Z)W(X,Z)（1－1）
式（1－1）中，各系数决定于介质的结构特性，K（X，Z）说明岩土沿铅垂方向的非均质性，M（X，Z）说明下沉沿Z轴传播时，影响传播的方向；N（X，Z）反映介质的体积变化，若体积不变化，则N（X，Z）＝0。
2地表沉降表达式的建立
采用浅埋暗挖法施工的地铁区间隧道，都不能避免对上覆土体的扰动，即都要引起岩土体向开挖空间移动。在实际施工中，开挖岩土体体积与竣工隧道体积（包括预支护体积）之差称为地层损失，周围岩土在弥补地层损失过程中，发生的地层移动，引起地表的移动和变形。在地铁施工中，地表移动可以认为是由于施工所引起的地层损失所造成的。
设在地下深度为H处开挖一半圆形断面的地铁隧道（图1）。显然这可视为平面变形问题。如果隧道开挖后不进行支护，围岩将全部跨落，并引起地表的最大下沉。在地铁施工中，这是不允许的。实际上，施工前要对地层采取预处理，例如，注浆处理等；在开挖过程中，还要采取严密的支护措施，例如，用注浆加固土体、用钢格栅支护等。使得地铁开挖后，地铁隧道周围岩土仅发生微小的位移。
图1地铁单隧道开挖示意图
因此，引起地表发生沉降的原因只是由于周围岩土向开挖空间运动而导致的地铁隧道开挖断面的收缩。如果开挖断面由Ω收缩为ω，则地表下沉应等于开挖范围Ω引起的下沉WΩ与开挖范围引起的下沉Wω之差，即：
We=WΩ-Wω=∫∫Ω-ωtanβηexp[-πtan2βη2(x-ξ)2]dξdη(2-4)
对于圆形断面地铁隧道，假如地铁开挖深度为H，隧道开挖初始半径为R，隧道断面均匀变形，隧道建成后，断面半径均匀收缩了ΔR，则由（2－4）可得地表下沉表达式：We=∫ba∫dctanβηexp[-πtan2βη2(x-ξ)2]dξdη-∫fe∫hgtanβηexp[-πtan2βη2(x-ξ)2]dξdη(2-5)式中：a＝H-R，b=H+R，c=-R2-(H-η)2，d=-c
e=H-(R-ΔR)，f=H+(R-ΔR)，g=-(R-△R)2-(H-η)2，h=-g
如上述公式所示，地铁移动和变形分布曲线均为高斯型二重积分曲线，这些曲线特征如图2.2所示。
图2地层沉降曲线
3地铁隧道开挖地层损失断面的变换及其表达式
3.1地铁隧道开挖地层损失断面变换的概念地下空间的开挖必然要引起地表的移动，地铁建设的主要工程位于地下，地铁的施工也必然会引起地表的移动。若进行地表移动的计算和预计，需要找到地铁开挖地层损失体积与地表体积的关系。根据Peck（1969）提出的地层损失量等于地表沉降量原理，地铁开挖地层损失体积等于地表沉降体积。根据这一原理，地铁开挖在沿隧道长度方向上可以认为是无限大，这样，在地铁开挖过程中，地层的面积损失就等于位于同一剖面上的地表沉降面积，即有下式成立：Sc=Sδ(3-1)式中：Sc-地表沉降断面面积；Sδ与Sc位于同一剖面的地层损失面积。
显然，地层损失断面面积Ss与地铁开挖断面的面积、形状等有着密切的关系，但地铁开挖的断面并不是规则的，不是统一的。地铁建设需要在地下开挖各种地下空间，其中主要包括主隧道、地下站厅、联络通道、排水及管线隧道、其他辅助地下开挖空间。这些开挖地下空间，因为其用途、施工方法、支护方法的不同而使其开挖断面不同。为了使地表沉降的计算与预计更方便和实用，应采取一种方法和途径，对地铁开挖所使用的各种各样断面进行变换，即将地铁开挖使用断面在开挖过程中所发生的地层损失断面变换成标准的计算地层损失断面。即：Sδ→ψSj(3-2)
式中：Sδ－地层损失断面面积;Sj－地层损失计算断面面积;ψ－面积变换参数。
3.2地层损失断面的变换原理及其表达式
3.2.1地层损失断面的变换原理
图3地层损失断面示意图
如前所述，地铁开挖引起地表沉降，是由于地铁开挖过程存在着地层损失的缘故。根据实测，此地层损失是存在于地铁开挖断面外围的一个不规则也不等厚的环面积。如图3所示。
地层损失断面的不规则和不等厚包含两方面的内容： 在地层损失断面不规则和不等厚情况下，计算地表沉降存在很多困难，即使给出表达式也将难以用于工程实践。为此，寻找一种变换方法，将不规则的地层损失断面变换成标准的计算地层损失断面。其变换思路如下：将地铁开挖产生的地层损失不规则断面变换成规则的矩形断面或圆形断面。变换规则为地层损失断面变换前后的面积相等。变换方法是，当计算断面为矩形时，将开挖断面的最大宽度作为计算地层损失断面的长度，然后，根据面积相等的原则，求计算地层损失断面的高度。当计算断面为圆形时，根据面积相等的原则，求地层损失断面的半径，如图4所示。
图 4计算地层断面示意图
严格讲，这种变换在隧道开挖断面与垂直坐标对称的情况下方才成立，否则，变换后就不成矩形，本方假定开挖断面与垂直傺坐标对称。
设地层损失断面面积为Sδ，计算地层损失断面面积为Sj。矩形计算地层损失断面的长度为L，高度为M。圆形计算地层损失断面的半径为R。则存在以下表达式：Sδ=Sj=L×M=πR2(3-3)Sδ=Lδ=Mδ(3-4)式中：Lδ－地层损失断面平均长度;Mδ－地层损失断面平均宽度。
当Sj=L×M时，Sj是以开挖断面最大宽度为底边，以开挖断面高度中心为中心的一个矩形。当Sj=πR2时，是以开挖断面面积重心为中心的一个圆。则：
M=Lδ×MδL(3-5)R=Lδ×Mδπ(3-6)
如前所述，地表沉降体积等于地层价格中，在单位长度内，地表沉降面积等于地层损失面积。即：Sc=Sδ=Sj式中：Sc为地表沉降断面面积。
以过以上，地铁隧道开挖的地层损失断面，就可用标准矩形地捷足先登断面进行地表沉降的预计，及其地表的倾斜变形、曲率、水平移动、水平变形的预计。
在地表沉降的主断面上，地表沉降曲线为正态曲线（杨硕，1994），即：
W(x')=〔h2π〕e-12h2(x'-L)2(3-7)式中：L－半盆地长；h－正态系数。将坐标原点移到最大下沉点，即令x=x'-L，则：
W(x)=〔h2π〕e-12h2x2(3-8)当ｘ＝0时，则：W(x)=h2π=W0(3-9)主断面下沉公式为：W(x)=W0e-12〔4xLx〕2(3-10)
W(y)=W0e-12〔4yLy〕2
(3-11)任意点下沉公式为：W(x,y)=W0[e-12〔4xLx〕2+e-12〔4yLy〕2](3-12)式中：W0－最大下沉值；Lx－为x方向半盆地长；Ly－为y方向半盆地长。最大下沉公式为：W0=qM(3-13)式中：q－下沉系数，q≤1；M－计算地层损失断面厚度。
4小结
①地铁建设属于近地表开挖活动，其上覆岩层多为第四季冲击层、风化岩层，有些是人造地层（各种杂填土等）。这些介质的性能符合随机介质定义，因此，地铁建房设所引起的地表移动和变形可以采用随机介质理论进行预计。本文采用随机介质理论进行了地表沉降的预计。②建立了单孔隧道开挖时，地表沉降表达式。③本方提出了一种新的计算方法，即将地铁开挖的地层损失断面变换成标准的矩形断面，矩形断面的长度为隧道开挖的最大宽度，高度按等面积原则进行变换。这样即可用比较方便的任意点方法进行地表沉降的预计。经过对北京地铁四号线三标段工程进行计算分析，概率积分法的下沉系数为0.86，而地层损失断面变换为标准断面的下沉系数为0.65。本文提出的方法简便实用，对工程施工有重要意义。
参考文献
[1]朱衍峰，周晓军，邓彬.地铁施工中地下建筑物对地表沉降的控制标准[J].成都：四川建筑,2008.
[2]石雷.浅埋暗挖大跨度矩型隧道地表沉降控制技术[J].安徽建筑,2006.
[3]韩煊.隧道施工引起地层位移及建筑物变形预测的实用方法研究[J].西安理工大学,2007.
[4]吴波.复杂条件下城市地铁隧道施工地表沉降研究[J].西南交通大学,2003.