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【摘要】“变量与函数”是沪科版八年级上册的重要教学内容。本文论述教师要遵循科学的探究理念，把握函数概念的本质，合理运用正、反实例，让学生体验概念的探究过程，准确理解函数特征，培养学生观察分析、抽象概括的能力。
【关键词】《变量与函数》 概念教学 对应 反例 特征
【中图分类号】G 【文献标识码】A
【文章编号】0450-9889（2017）09A-0065-02
函数概念是数学的基本概念之一，对数学的发展起着十分重要的作用。初中阶段的函数概念是从动态变化和联系对应的角度来进行定义的，该定义是对一个变化过程中两个量的描述。由于函数的特征是变化发展的，加上学生的知识储备不足，導致了学生对函数概念的理解有困难。因此，在课堂教学中教师要结合实例，帮助学生完成思维的飞跃。
一、抓住函数本质，突出“变化”与“对应”思想
从函数概念的本源来看，函数的起源来自于对事物运动、变化的分析，它描述了客观事物之间存在的动态变化而又互相依存的特殊关系，正是这种关系的存在，使得处于变化中的两个变量相互制约、相互牵制。因此，“变化”是函数的本质属性，也是函数教学的关键点，教师应以函数“变化”作为突破口展开教学。
在“变量与函数”教学问题提出的初始阶段，教师可以设计如下问题：
一辆汽车以每小时60千米的速度匀速行驶，行驶的里程为s千米，时间为t小时，首先填写下表，然后尝试用含有t的式子表示s。
学生在面对上述问题中s=60t时，对于给定的t值，也可以计算出对应的s值，但大多数学生仅是将其作为一个个独立的算式，没有从整体上进行联系，更不能深刻体会该过程中变量s随着变量t的变化而变化。因此，教师要设计一些典型的例子，计算由自变量得到相应的函数值，让学生在观察、比较、分析具体问题中量与量之间的变化关系。对于静止的表达式或表格，要引导学生将其看作是动态的过程，让学生从静止的关系中逐步过渡到量与量之间的动态关系上，实现静态到动态的飞跃。
另外，函数的本质也存在一一对应的关系。在学习函数之前，教材已经渗透了“对应”的思想，例如有理数与数轴上点的对应，因此在教学函数概念时，教师要通过实例让学生感受“对应”思想，通过非概念的变式使学生明晰“对应”是“唯一”确定的对应。
例如在概念探索阶段可以出示如下问题：
某地区一天内的气温变化情况图
（1）图象中存在的两个变量分别是什么？
（2）温度T取到一个定值时，时间t是否唯一确定？请说出该地区t=12时的温度。
通过引导提问，让学生从直观上感受函数一一对应的关系，理解“唯一确定”的含义，明晰函数概念。
函数是从数量角度来反映变化规律的模型，对于函数概念的“变化”和“对应”思想，教师要进行有针对性的设计，通过引导设问的方式使学生从图象的直观感受上理解函数的特性，让学生的思维经历质的飞跃。
二、结合生活实例，体验概念的生成
数学教学应该是活动式的教学，对于抽象的数学内容，教师更要精心设计数学情境，从生活实例中提炼丰富的素材，并将其转化为数学知识，让学生体验数学的探究过程，并建立起对函数知识的认识。
对于“变量与函数”的教学，教师应由实际问题来抽象函数概念，引导学生经历概念的形成过程，正确理解函数的意义，了解函数的本质。首先从生活的实例中让学生感知变量，深刻体会学习变量的必要性。例如，在教学中让学生体会自己的成长经历，随着年龄的增加，大家身体长高、体重增加、知识增多等，这些都可以看作是变量。紧接着就要引导学生明晰变量和常量的概念，如：①以60千米/时匀速行驶的汽车，它的里程随时间的变化而变化；②某地一天内各时刻的气温变化；③悬挂重物的弹簧，它的长度随质量的变化而变化。首先引导学生发现规律：存在数值变化的量和数值不变的量，然后指出实例中哪些是变量，哪些是常量，最终反复分析、比较、抽象、概括出变量与常量的概念。针对实例中的某一问题让学生分组讨论，分析问题中的两个变量之间是否存在联系，存在怎样的联系。教师要密切关注和了解各组的讨论情况，适时点拨。例如问题1，存在变量时间t，变量里程s，两个变量存在联系，即其中一个变量取一定值时，另一个变量是唯一确定的，如t=1时，s=60；t=2时，s=120。然后引导学生归纳概括，得出问题中变量与变量之间的共同属性：①存在两个变量；②变量之间存在联系；③一个变量的变化会引起另一个变量发生变化；④这种变化呈一一对应关系。最后，引导学生用规范的数学语言表述函数的概念。
可见，结合实例开展探究活动，并根据实例进行有针对性地分析和比较，不仅有利于学生掌握函数的本质，也能提升学生分析概括的能力。
三、合理引用反例，辨析函数的特征
函数概念的形成需要经历“观察—分析—比较—概括—表述”的过程，学生对于概念的认识将经历从模糊到清晰。教学中合理地运用反例可以帮助学生深刻理解函数的概念，但是反例的运用需要细致斟酌，过多、过早都会对学生的理解造成干扰。
概念探究的前期需要大量的实例作为背景，由实例来抽象出变量关系，从中概括出函数“单值对应”的特殊关系。该过程需要充分引入反例，通过正反对比让学生有效避开概念理解的误区。例如由“气温问题”的函数图象向学生讲解“唯一确定”时不需要设置反例，反例的设置只会使学生失去学习重点，但对于函数概念的“唯一对应”则可以设置反例，通过辨析帮助学生理解该特征的实质：这样的对应可以是“一对一”，也可以是“多对一”，但不可以是“一对多”（实例如下图）。
在教学“一个变量确定另一个变量”时，可以对引用的实例进行反例辨析，例如对于“汽车匀速行驶问题”和“气温问题”作出如下变式提问：①该地区某一天的时间是气温的函数吗？②该汽车以每小时60千米的速度匀速行驶，时间t是里程s的函数吗？巧妙运用反例，可以帮助学生根据生活经验理解“两个变量的对应关系”，即“变量A能唯一确定变量B”，理解自变量与函数的关系，进而培养学生逆向思维能力。
单纯地观察同一属性的事物很难明晰事物的共同属性，而对事物的充分认识是从对比中发展而来的，没有对比就没有区分，反例的合理运用则可以帮助学生把握事物的共同特征。
“变量与函数”的教学是首次在常量的基础上引入了变量，是学生对数学认知的深入递进。教师要充分结合实例，遵循感性到理性、具体到抽象的认知规律，充分把握函数的“变化”与“对应”思想，合理利用正、反实例，通过对比分析帮助学生理解函数的本质特征。
（责编 林 剑）
【关键词】《变量与函数》 概念教学 对应 反例 特征
【中图分类号】G 【文献标识码】A
【文章编号】0450-9889（2017）09A-0065-02
函数概念是数学的基本概念之一，对数学的发展起着十分重要的作用。初中阶段的函数概念是从动态变化和联系对应的角度来进行定义的，该定义是对一个变化过程中两个量的描述。由于函数的特征是变化发展的，加上学生的知识储备不足，導致了学生对函数概念的理解有困难。因此，在课堂教学中教师要结合实例，帮助学生完成思维的飞跃。
一、抓住函数本质，突出“变化”与“对应”思想
从函数概念的本源来看，函数的起源来自于对事物运动、变化的分析，它描述了客观事物之间存在的动态变化而又互相依存的特殊关系，正是这种关系的存在，使得处于变化中的两个变量相互制约、相互牵制。因此，“变化”是函数的本质属性，也是函数教学的关键点，教师应以函数“变化”作为突破口展开教学。
在“变量与函数”教学问题提出的初始阶段，教师可以设计如下问题：
一辆汽车以每小时60千米的速度匀速行驶，行驶的里程为s千米，时间为t小时，首先填写下表，然后尝试用含有t的式子表示s。
学生在面对上述问题中s=60t时，对于给定的t值，也可以计算出对应的s值，但大多数学生仅是将其作为一个个独立的算式，没有从整体上进行联系，更不能深刻体会该过程中变量s随着变量t的变化而变化。因此，教师要设计一些典型的例子，计算由自变量得到相应的函数值，让学生在观察、比较、分析具体问题中量与量之间的变化关系。对于静止的表达式或表格，要引导学生将其看作是动态的过程，让学生从静止的关系中逐步过渡到量与量之间的动态关系上，实现静态到动态的飞跃。
另外，函数的本质也存在一一对应的关系。在学习函数之前，教材已经渗透了“对应”的思想，例如有理数与数轴上点的对应，因此在教学函数概念时，教师要通过实例让学生感受“对应”思想，通过非概念的变式使学生明晰“对应”是“唯一”确定的对应。
例如在概念探索阶段可以出示如下问题：
某地区一天内的气温变化情况图
（1）图象中存在的两个变量分别是什么？
（2）温度T取到一个定值时，时间t是否唯一确定？请说出该地区t=12时的温度。
通过引导提问，让学生从直观上感受函数一一对应的关系，理解“唯一确定”的含义，明晰函数概念。
函数是从数量角度来反映变化规律的模型，对于函数概念的“变化”和“对应”思想，教师要进行有针对性的设计，通过引导设问的方式使学生从图象的直观感受上理解函数的特性，让学生的思维经历质的飞跃。
二、结合生活实例，体验概念的生成
数学教学应该是活动式的教学，对于抽象的数学内容，教师更要精心设计数学情境，从生活实例中提炼丰富的素材，并将其转化为数学知识，让学生体验数学的探究过程，并建立起对函数知识的认识。
对于“变量与函数”的教学，教师应由实际问题来抽象函数概念，引导学生经历概念的形成过程，正确理解函数的意义，了解函数的本质。首先从生活的实例中让学生感知变量，深刻体会学习变量的必要性。例如，在教学中让学生体会自己的成长经历，随着年龄的增加，大家身体长高、体重增加、知识增多等，这些都可以看作是变量。紧接着就要引导学生明晰变量和常量的概念，如：①以60千米/时匀速行驶的汽车，它的里程随时间的变化而变化；②某地一天内各时刻的气温变化；③悬挂重物的弹簧，它的长度随质量的变化而变化。首先引导学生发现规律：存在数值变化的量和数值不变的量，然后指出实例中哪些是变量，哪些是常量，最终反复分析、比较、抽象、概括出变量与常量的概念。针对实例中的某一问题让学生分组讨论，分析问题中的两个变量之间是否存在联系，存在怎样的联系。教师要密切关注和了解各组的讨论情况，适时点拨。例如问题1，存在变量时间t，变量里程s，两个变量存在联系，即其中一个变量取一定值时，另一个变量是唯一确定的，如t=1时，s=60；t=2时，s=120。然后引导学生归纳概括，得出问题中变量与变量之间的共同属性：①存在两个变量；②变量之间存在联系；③一个变量的变化会引起另一个变量发生变化；④这种变化呈一一对应关系。最后，引导学生用规范的数学语言表述函数的概念。
可见，结合实例开展探究活动，并根据实例进行有针对性地分析和比较，不仅有利于学生掌握函数的本质，也能提升学生分析概括的能力。
三、合理引用反例，辨析函数的特征
函数概念的形成需要经历“观察—分析—比较—概括—表述”的过程，学生对于概念的认识将经历从模糊到清晰。教学中合理地运用反例可以帮助学生深刻理解函数的概念，但是反例的运用需要细致斟酌，过多、过早都会对学生的理解造成干扰。
概念探究的前期需要大量的实例作为背景，由实例来抽象出变量关系，从中概括出函数“单值对应”的特殊关系。该过程需要充分引入反例，通过正反对比让学生有效避开概念理解的误区。例如由“气温问题”的函数图象向学生讲解“唯一确定”时不需要设置反例，反例的设置只会使学生失去学习重点，但对于函数概念的“唯一对应”则可以设置反例，通过辨析帮助学生理解该特征的实质：这样的对应可以是“一对一”，也可以是“多对一”，但不可以是“一对多”（实例如下图）。
在教学“一个变量确定另一个变量”时，可以对引用的实例进行反例辨析，例如对于“汽车匀速行驶问题”和“气温问题”作出如下变式提问：①该地区某一天的时间是气温的函数吗？②该汽车以每小时60千米的速度匀速行驶，时间t是里程s的函数吗？巧妙运用反例，可以帮助学生根据生活经验理解“两个变量的对应关系”，即“变量A能唯一确定变量B”，理解自变量与函数的关系，进而培养学生逆向思维能力。
单纯地观察同一属性的事物很难明晰事物的共同属性，而对事物的充分认识是从对比中发展而来的，没有对比就没有区分，反例的合理运用则可以帮助学生把握事物的共同特征。
“变量与函数”的教学是首次在常量的基础上引入了变量，是学生对数学认知的深入递进。教师要充分结合实例，遵循感性到理性、具体到抽象的认知规律，充分把握函数的“变化”与“对应”思想，合理利用正、反实例，通过对比分析帮助学生理解函数的本质特征。
（责编 林 剑）