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“儿童的智慧出在指尖上”，新课改倡导的动手操作这一学习方式，越来越受到教师的青睐。然而，在实践中许多教师的认识还存在一定的片面性，认为学生只要通过动手操作，就能自然地实现知识的内化。因此，在课堂教学实践中，教师往往忽视引导学生将通过操作获得的直观形象和经验与概念进行必要的整合，没有充分发挥表象在认知发展中的桥梁作用。本文结合教学实践，探索“如何架设从操作到结论的桥梁，实现操作活动内化”的教学策略。
一、问题引领
先来看一位教师执教“笔算除法”的教学片段。
学生根据教师提供的情景列出算式：52÷2
师：每班能分到多少只羽毛球呢？请同学们用小棒代替羽毛球（5捆和2根）来分一分。
学生独立操作之后，教师让学生在投影上演示（反馈）。
生1：先分整捆的，平均分成2份，每份2捆；再把余下的一捆拆开和2根合起来，平均分成2份，每份得到6根。这样，每班分到26个羽毛球。
生2：先分2根，每份分得1根，再分整捆的，每份2捆，再把余下的一捆拆开，每份5根。这样，每班分到26个羽毛球。
生3：先把5捆都拆开，平均分成2份，每份分到26根。
教师引导学生比较不同的分法，得出生1的分法最简便，再次用电脑演示生1的分法。
师：同学们，结合动手分小棒的过程再想一想：52÷2的除法算式该如何写呢？大部分学生茫然，最后教师只能自己讲授笔算除法竖式。
教学中，执教者也试图先让学生通过操作形成直观经验，帮助学生理解算理、掌握算法，然而从教学实际情况来看，课堂中的操作未能达到预期目标，学生未能运用操作建立的直观经验来指导其学习笔算除法。究其原因，最关键的一点是教者误认为只要让学生动手操作了，学生自然就会理解算理，掌握算法，导致操作活动与数学思维的脱节，“分小棒”的操作活动和理解算理、掌握算法之间，没有建立实质性的联系，缺乏教师的引导。
基于以上认识，在学生操作之后，教师应通过问题引领，沟通操作获得的直观经验与除法竖式的联系。例如，如果用竖式来表示分小棒的过程，先分什么？（帮助学生理解计算顺序：从高位算起。）每班分到2捆，2写在商的哪一位？为什么？（帮助学生理解商的定位。）余1捆，怎么办？（帮助学生理解十位上余下的数，与个位合并后再除以除数的算理。）每份分得多少？6写在商的哪一位？为什么？
通过问题引领，逐步完成除法竖式的教学，使学生感受到除法竖式与分小棒的思维过程是一致的，沟通了操作与除法竖式的联系，使操作更好地为学生理解算理、掌握算法服务，将学生通过操作获得的直观经验上升为抽象的数学概念。
二、表象提升
现代心理学认为，思维的发展都要经历“直观动作思维→具体形象思维→抽象逻辑思维”这样三个阶段。由此可见，学生在经历操作到得出结论的过程中，需要教师适时引导学生利用自己实践操作的直观经验，通过形成的表象来思维，将由操作获得的直观经验提升为理性认识，培养逻辑思维能力。
例如，一位教师在执教“长方体的体积计算”这一课时，让学生先用1立方厘米的小正方体摆出不同的长方体，并在相应的表格纸上分别记录自己所摆长方体的长、宽、高与体积，然后经过大量的数据观察，引导学生分析表格中体积与长、宽、高的关系，最后经过不完全归纳推理得出：长方体的体积=长×宽×高。
以上教学过程，虽然学生也是通过不完全归纳推理得出长方体的计算公式，但是这种没有“活动的内化”的做法，学生缺乏深刻的体验、反思与感悟，他们对结论的记忆是单薄的，对公式的理解是浅显的。笔者在执教该课时，作了如下的尝试。
在学生通过操作填写表格后，我没有急于引导学生去观察得出结论，而是增加了以下的教学环节：
师：（出示下图两个长方体）你能计算下面长方体的体积吗？
生：第一个长方体每排有4个，有3排，摆了2层，一共摆了4×3×2=24(个)小正方体，所以体积是24立方厘米。
生：第二个长方体每排有5个，有2排，摆了3层，一共摆了5×2×3=30个小正方体，所以体积是30立方厘米。
师：刚才的两个长方体都是由棱长1cm的小正方体摆成的，大家很容易就解决了，那么，（下图）这个长方体你能想办法算出它的体积吗？
生：把这个长方体想成是用棱长1cm的小正方体摆成的，每排需摆5个，每层摆3排，摆3层，一共摆了5×3×3=45（个）小正方体，所以它的体积是45立方厘米。
生：还可以这样想：把它切成小正方体，每排切成5个，切成3排，切成3层，一共切成了5×3×3=45（个）小正方体，所以它的体积是45立方厘米。
师：要知道一个长方体的体积，你会怎么办？
（几乎所有的学生都知道了长方体的体积=长×宽×高。）
师：这个结论是否正确呢？我们可以利用前面操作实验的数据来验证。
（学生利用表格中的数据进行验证，确信方法是正确的。）
追问：你能用自己的话说说为什么长方体的体积=长×宽×高吗？
学生独立思考之后，汇报交流时，有的学生举例说明，有的学生还能进行如下的抽象概括：长方体的长表示每排摆的个数，宽表示摆的排数，高表示摆的层数，长×宽×高就算出了一共摆了几个小正方体，也就是它的体积。
笔者认为，这节课教学的成功之处在于，教师适时启发学生利用自己实践操作获得的直观经验，利用表象在头脑中进行“操作”，通过表象思维得出猜想：长方体的体积=长×宽×高，然后用实验操作获得的数据进行验证。再通过理性反思，使学生不但知其然，而且知其所以然。学生在从操作到得出结论的过程中，利用表象架设桥梁，实现“操作活动的内化”，获得意义上的建构。
三、比较反思
动手操作能丰富学生的感性认识和直观体验，但如果我们的教学只是停留于实际操作的层面，则不可能发展任何真正的数学思维。数学中操作活动最终还是要促进学生的抽象思维发展，为学生形成概念或经验所用。因此，在学生操作后，教师应引导学生通过比较和反思，帮助学生以已有的直观形象和经验为基础，通过合理的抽象建立相应数学概念，将概念与直观形象和直观经验有效整合。
例如：笔者是这样教学“分数的意义”的。
作者单位
江苏省宜兴市第二实验小学
◇责任编辑：李瑞龙◇
一、问题引领
先来看一位教师执教“笔算除法”的教学片段。
学生根据教师提供的情景列出算式：52÷2
师：每班能分到多少只羽毛球呢？请同学们用小棒代替羽毛球（5捆和2根）来分一分。
学生独立操作之后，教师让学生在投影上演示（反馈）。
生1：先分整捆的，平均分成2份，每份2捆；再把余下的一捆拆开和2根合起来，平均分成2份，每份得到6根。这样，每班分到26个羽毛球。
生2：先分2根，每份分得1根，再分整捆的，每份2捆，再把余下的一捆拆开，每份5根。这样，每班分到26个羽毛球。
生3：先把5捆都拆开，平均分成2份，每份分到26根。
教师引导学生比较不同的分法，得出生1的分法最简便，再次用电脑演示生1的分法。
师：同学们，结合动手分小棒的过程再想一想：52÷2的除法算式该如何写呢？大部分学生茫然，最后教师只能自己讲授笔算除法竖式。
教学中，执教者也试图先让学生通过操作形成直观经验，帮助学生理解算理、掌握算法，然而从教学实际情况来看，课堂中的操作未能达到预期目标，学生未能运用操作建立的直观经验来指导其学习笔算除法。究其原因，最关键的一点是教者误认为只要让学生动手操作了，学生自然就会理解算理，掌握算法，导致操作活动与数学思维的脱节，“分小棒”的操作活动和理解算理、掌握算法之间，没有建立实质性的联系，缺乏教师的引导。
基于以上认识，在学生操作之后，教师应通过问题引领，沟通操作获得的直观经验与除法竖式的联系。例如，如果用竖式来表示分小棒的过程，先分什么？（帮助学生理解计算顺序：从高位算起。）每班分到2捆，2写在商的哪一位？为什么？（帮助学生理解商的定位。）余1捆，怎么办？（帮助学生理解十位上余下的数，与个位合并后再除以除数的算理。）每份分得多少？6写在商的哪一位？为什么？
通过问题引领，逐步完成除法竖式的教学，使学生感受到除法竖式与分小棒的思维过程是一致的，沟通了操作与除法竖式的联系，使操作更好地为学生理解算理、掌握算法服务，将学生通过操作获得的直观经验上升为抽象的数学概念。
二、表象提升
现代心理学认为，思维的发展都要经历“直观动作思维→具体形象思维→抽象逻辑思维”这样三个阶段。由此可见，学生在经历操作到得出结论的过程中，需要教师适时引导学生利用自己实践操作的直观经验，通过形成的表象来思维，将由操作获得的直观经验提升为理性认识，培养逻辑思维能力。
例如，一位教师在执教“长方体的体积计算”这一课时，让学生先用1立方厘米的小正方体摆出不同的长方体，并在相应的表格纸上分别记录自己所摆长方体的长、宽、高与体积，然后经过大量的数据观察，引导学生分析表格中体积与长、宽、高的关系，最后经过不完全归纳推理得出：长方体的体积=长×宽×高。
以上教学过程，虽然学生也是通过不完全归纳推理得出长方体的计算公式，但是这种没有“活动的内化”的做法，学生缺乏深刻的体验、反思与感悟，他们对结论的记忆是单薄的，对公式的理解是浅显的。笔者在执教该课时，作了如下的尝试。
在学生通过操作填写表格后，我没有急于引导学生去观察得出结论，而是增加了以下的教学环节：
师：（出示下图两个长方体）你能计算下面长方体的体积吗？
生：第一个长方体每排有4个，有3排，摆了2层，一共摆了4×3×2=24(个)小正方体，所以体积是24立方厘米。
生：第二个长方体每排有5个，有2排，摆了3层，一共摆了5×2×3=30个小正方体，所以体积是30立方厘米。
师：刚才的两个长方体都是由棱长1cm的小正方体摆成的，大家很容易就解决了，那么，（下图）这个长方体你能想办法算出它的体积吗？
生：把这个长方体想成是用棱长1cm的小正方体摆成的，每排需摆5个，每层摆3排，摆3层，一共摆了5×3×3=45（个）小正方体，所以它的体积是45立方厘米。
生：还可以这样想：把它切成小正方体，每排切成5个，切成3排，切成3层，一共切成了5×3×3=45（个）小正方体，所以它的体积是45立方厘米。
师：要知道一个长方体的体积，你会怎么办？
（几乎所有的学生都知道了长方体的体积=长×宽×高。）
师：这个结论是否正确呢？我们可以利用前面操作实验的数据来验证。
（学生利用表格中的数据进行验证，确信方法是正确的。）
追问：你能用自己的话说说为什么长方体的体积=长×宽×高吗？
学生独立思考之后，汇报交流时，有的学生举例说明，有的学生还能进行如下的抽象概括：长方体的长表示每排摆的个数，宽表示摆的排数，高表示摆的层数，长×宽×高就算出了一共摆了几个小正方体，也就是它的体积。
笔者认为，这节课教学的成功之处在于，教师适时启发学生利用自己实践操作获得的直观经验，利用表象在头脑中进行“操作”，通过表象思维得出猜想：长方体的体积=长×宽×高，然后用实验操作获得的数据进行验证。再通过理性反思，使学生不但知其然，而且知其所以然。学生在从操作到得出结论的过程中，利用表象架设桥梁，实现“操作活动的内化”，获得意义上的建构。
三、比较反思
动手操作能丰富学生的感性认识和直观体验，但如果我们的教学只是停留于实际操作的层面，则不可能发展任何真正的数学思维。数学中操作活动最终还是要促进学生的抽象思维发展，为学生形成概念或经验所用。因此，在学生操作后，教师应引导学生通过比较和反思，帮助学生以已有的直观形象和经验为基础，通过合理的抽象建立相应数学概念，将概念与直观形象和直观经验有效整合。
例如：笔者是这样教学“分数的意义”的。
作者单位
江苏省宜兴市第二实验小学
◇责任编辑：李瑞龙◇